ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

(НИУ  «БелГУ») 

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ 
 
 
 
 
 

ИСТОРИЯ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ  СЧИСЛЕНИЯ

Реферат студентки

Очного  отделения 1 курса 011105 группы

Шевкун  Екатерины Алексеевны 
 
 

     Научный руководитель

                                       Гальцева Оксана Александровна 
 
 
 
 
 
 
 

БЕЛГОРОД,2011

Содержание 

ВВЕДЕНИЕ

     Современный человек в повседневной жизни  постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

     Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять  называть цифрами

     Но  что же люди понимают тогда под  словом "число"?

     Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем  конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

     Эталон  называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения  не всегда укладывалась целое число  раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность  ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

     Понятие числа - фундаментальное понятие  как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала  под числом мы будем понимать его  величину, а не его символьную запись.

     Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в  основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

     Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

     Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

     Наиболее  совершенными являются позиционные  системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

     Системы счисления, в которых каждой цифре  соответствует величина, не зависящая  от её места в записи числа, называются непозиционными.

     Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

     1.Единичная система

     Потребность в записи чисел появилась в  очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

     Учёные  назвали этот способ записи чисел  единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе  счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

     Неудобства  такой системы записи чисел и  ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

     Можно предложить, что для облегчения счёта  люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

     2.Индийская нумерация

     Счет  целых чисел в Индии с древних  (арийских) времен носил десятичный характер. Санскрит- индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1-эка, 2-дви, 3-три). В названиях чисел применялся аддитивный и субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и “навадаша”, (девять-де-сять) и "экауна-вимсати" (без одного двадцать). В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют названия для чисел от 10 до 50.

     Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены цифры “брахми”. В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. До сотни применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.

     Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной  нумерации.

     Первая  известная нам запись с помощью  цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместе него на счетной доске оставлялся пустой столбец.

     Наряду  с цифровой записью в Индии  широко применялась словесная система  обозначения чисел, этому способствовал  богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много  синонимов. При этом нуль обозначался словами “пустое”, “небо”, “дыра”; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами “близнецы”, “глаза”, “ноздри”, “губы”; четверка — словами “океаны”, “стороны света” и т. д.

     Применение  позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами “Луна — дыра — крылья — Луна”. Одно из названий нуля — “шунья” (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово “шунья” перевели арабским словом “сыфр”, имеющим то же значение. Слово “сыфр” при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово “цифра”, также первоначально означавшее нуль.

     Но  в это же время на судьбу нумерации  значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.

     Первое  достоверное свидетельство о  записи нуля относится к 876 г., в настенной  надписи из Гвалиора (Индия) имеется  число 270.

       На основе цифр брахми выработались современные индийские цифры “деванагари” (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев.

     Первым  свидетельством об индийской десятичной позиционной системе являются слова сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: “Я не стану касаться науки индийцев... их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков."

     Мы  называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как  заимствовали их у арабов, но сами арабы  называли эти цифры индийскими, а  арифметику, основанную на десятичной системе - “индийским счетом”

     3.Древнеегипетская десятичная непозиционная система

           История системы. Древнеегипетская  десятичная непозиционная система  возникла во второй половине  третьего тысячелетия до н.э.. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

           Сущность системы. Египтяне придумали  свою числовую систему, в которой  для обозначения ключевых чисел  1, 10, 100 и т.д. использовались специальные  значки – иероглифы. Все остальные  числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку. В древнеегипетской системе счисления использовались специальные знаки ( цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз. В основе как палочной, так и древнеегипетской систем счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи.

     4.Римская система

          История системы. Примером непозиционной  системы счисления, которая сохранилась  до наших дней, может служить  система счисления, которая применялась  более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Знакомая нам римская система принципиально ненамного отличается от египетской. Но она более распространена в наши дни: в книгах, в фильмах. Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

          Сущность системы. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, Х (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum – сто, Demimille – половина тысячи, Mille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

     XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (три десятка, пяток,  три единицы).

     Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

     Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

     Десятичное  число 99 имеет следующее представление:

     XCIX = -10 +100 -1 + 10.

     Значение  числа в римской системе счисления  равно:

     1)      сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

     2)      разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х (10), перед D(500) и Ь(1000) – только С(100), перед V(5) – только I(1);

     3)      сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

     5.Переводы

     Перевод из двоичной в десятичную

     Имеется следующая последовательность нулей  и единиц: 100100101₂-всего 9 разрядов. Необходимо представить ее в десятичном виде. Для перевода в десятичную систему счисления запишем справа налево 9 степеней числа 2 (от 0 до 8 степени), все просто, каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на 2:

     Запишем под степенями наше двоичное число (слева направо, как есть):

     Затем найдем сумму тех степеней двойки, под которыми стоят единицы:

     256 + 32 + 4 + 1 = 293, это и есть результат  перевода:

     100100101₂ = 293₁₀

     Итак, запишем правило перевода из двоичной системы счисления в десятичную: для перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную сосчитаем количество разрядов N и запишем степени двух от нулевой до N - 1 справа налево (помним, что каждое последующее чило получается умножением предыдущего на 2). Запишем под ними двоичное число и найдем сумму тех степеней, под которыми стоят единицы. Результатом будет десятичное число, представленное в виде суммы различных степеней числа 2.

     Перевод из восьмеричной в  десятичную

     Необходимо  представить число 567₈ в десятичном виде. Для перевода в десятичную систему счисления запишем справа налево 3 степеней числа 8 (от 0 до 2 степени), каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на 8:

     Запишем под степенями наше восьмеричное число (слева направо, как есть):

     Затем умножим каждое число на соответствующую  ему степень восьмерки и найдем сумму произведений:

     5 * 64 + 6 * 8 + 7 * 1 = 320 + 48 + 7 = 375, это и есть  результат перевода:

     567₈ = 375₁₀

     Правила перевода из восьмеричной системы счисления в десятичную: для перевода числел из восьмеричной системы счисления в десятичную сосчитаем количество разрядов восьмеричного числа N и запишем степени восьмерки от нулевой до N - 1 справа налево (каждое последующее число получается умножением предыдущего на 8). Запишем под ними восьмеричное число в прямом порядке. Умножим записанные числа на соответствующие им степени. Найдем сумму всех произведений. Результатом будет десятичное число, представленное в виде суммы различных степеней числа 8, умноженных на соответствующие коэффициенты.

     Перевод из шестнадцатеричной  в десятичную

     Необходимо  представить число 5ВС₁₆ в десятичном виде. Исходное шестнадцатеричное число изображается тремя знаками. Поэтому для перевода в десятичную систему счисления запишем справа налево первые 3 степени числа 16 (от 0 до 2 степени), каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на 16:

     Запишем под степенями наше шестнадцатеричное  число (слева направо, как есть):

     Затем заменим буквенные обозначения цифровыми согласно знакам шестнадцатеричной системы и умножим каждое число на соответствующую ему степень шестнадцати, найдем сумму всех произведений:

     5 * 256 + В * 16 + С * 1 = 5 * 256 + 11 * 16 + 12 * 1 = 1468, 
это и есть результат перевода:

     5BC₁₆ = 1468₁₀

     Правило перевода из шестнадцатеричной системы  счисления в десятичную: для перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную сосчитаем количество разрядов шестнадцатеричного числа N и запишем степени шестнадцати от нулевой до N - 1 справа налево (каждая последующая степень получается умножением предыдущего числа на 16). Запишем под ними шестнадцатеричное число в прямом порядке. Умножим записанные числа на соответствующие им степени. Найдем сумму всех произведений. Результатом будет десятичное число, представленное в виде суммы различных степеней числа 16, умноженных на соответствующие коэффициенты. 
 
 
 
 
 
 
 

      Заключение

В кокой системе  счисления лучше записывать числа - это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используется всего две цифры 0 и 1, которыми можно представить двумя легко различимыми состояниями «нет сигнала» и «есть сигнал».

Изучая источники  по теме «Системы счисления» мы получили возможность провести исторический анализ, исследовать различные формы записи чисел, систематизировать материал и выявить различные спектры применения.

Различные системы  счисления окружают нас повсюду. Сами того не замечая мы ежедневно  пользуемся не только десятичной системой счисления, а так же двенадцатеричной, когда хотим узнать время или покупаем в магазине пуговицы.

Сейчас системы  счисления очень распространены в электронно-вычислительной технике, многие коды и шифры созданы на их основе.

В ходе проведения исследования:

-- исследовали историю  и развитие систем счисления,

-- исследовали практический  материал

-- рассмотрели область  применения и выявили актуальность  темы.

Нами решены задачи:

-- арифметические  действия в различных системах  счисления,

-- перевод из одной  системы счисления в другую.

Список используемой литературы

1. Алгебра и теория  чисел: Учеб. пособие для студентов-заочников  II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов  (Н.А.Казачёк и др.) / Под ред.  Н.Я. Виленкина - 2-е изд. М.: Просвещение, 1984. - 192 с.

2. Бендукидзе А.Д.  О системах счисления // Квант  - 1975 - №8 - с 59-61.

3.Берман Г.Н. Число  и наука о нем. Общедоступные  очерки по арифметики натуральных  чисел. Изд. 3-е. М.: Физматгиз, 1960. - 164с.

4. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика. III - I тысячелетия до н.э. М.: Изд. вост. лит., 1961. - 278с.

5. Выгодский М.Я.  Арифметика и алгебра в древнем  мире. Изд. 2-е, испр. идоп. М.: Наука, 1967. - 367 с.

6. Глейзер Г.И. История  арифметике в школе: IV - VI кл. Пособие  для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

7. Гутер Р.С. Вычислительные  машины и системы счисления  // Квант-1971 -№2.

8. Депман И.Я. История  арифметики, пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1959.-423с.

9. Депман И.Я., Виленкин  Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. -287с.

10. Детская энциклопедия: [В 10-ти т.] Для среднего и  старшего возраста. Гл.ред. Маркушевич  А.И. Т.2. - Мир небесных тел; Числа  и фигуры. -М.: Педагогика, 1972. - 480 с.

11. И. Дышинский Е.А. Игротека математического кружка. М.: Просвещение, 1972. - 144  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Алфавитный  указатель