История математики. 2

Содержание:

1. Введение  ………………………………………………………………………. 3

2. Из родословной математики …………………………………………………. 5

3. Математика  в науках:

А) в химии ………………………………………………………………… 6

Б) в геологии …………………………………………………………….... 7

В) в метеорологии ………………………………………………………... 8

Г) в биологии ………………………………………………………..……. 9

Д) в астрономии ……………………………………………...………….. 10

4. Происхождение  греческих терминов ……………………………………… 11

5. Свойства функций в пословицах и поговорках:

А) определение функции ..……………………………………………… 12

Б) функции в пословицах и поговорках ……………………………….. 13

В) значение функций ……………………………………………………. 18

6. Заключение …………………………………………………………………... 19

7. Приложение. Цифры в пословицах и поговорках ………………………… 20

8. Список  литературы…………………………………………………………... 22

 

Всем известно, что математика является очень важной наукой, которая применяется во многих сферах нашей жизни: начиная от бытовых задач и заканчивая всевозможными делами, решающимися на работе. Но вот насколько она важна?

Великие говорили, что математика – царица наук. И действительно. Ни одна наука не может обойтись без математики. Она лежит в основе геометрии, биологии, физики, астрономии и т.д. Мы не можем обойтись без математики и в повседневной жизни – без неё мы даже не могли бы измерить время, массу, расстояние – она помогает всем наукам и поддерживает их, и поэтому мы должны возвеличить математику за её служение нам.

Математика  – великая и древнейшая наука. История её богата именами, событиями, замечательными, а иногда и великими открытиями. Если бы не было математики, не было бы и цивилизации. Ещё в  древнем Египте архитекторы рассчитывали размеры пирамид и величественных дворцов фараонов. Благодаря их точным расчётам эти воистину монументальные произведения искусства, воздвигнутые несколько тысяч лет назад, простояли  невредимыми до наших дней, а ловушки  для расхитителей гробниц работают даже сейчас!

Математика  обладает богатейшим арсеналом практических задач из повседневного быта: домашнее строительство, ремонт квартиры, покупки, разведение смесей для всевозможных практических потребностей и т.д. Философы считают, что именно математика прививает  такие высокие нравственные качества человека, как разумность, точность, обязательность, определённость мысли, любовь к истине, способность к  аргументированному убеждению, дисциплинированность и собранность в рассуждениях, внимательность. Эти личностные качества вытекают из присущих математике рациональности, точности, логической определённости, доказательности. Теория музыки построена  школой Пифагора, теория музыкальных  инструментов построена на основе математической теории колебания струны. Теория перспективы  в живописи представляет, по словам Леонардо да Винчи, «тончайшие исследования и изобретения, основанные на изучении математики». В.В. Бирюков и И.Б. Гутчин отмечают следующие направления работ по применению математики в искусстве

– стихосложение: анализ метра и ритма, анализ стилевых характеристик

– художественное восприятие: шкалирование эстетических оценок, измерение стилей.

– изобразительное  искусство: автоматизация архитектурного проектирования, высококачественное копирование  произведений искусства

– драматическое  искусство: алгоритмизация анализа  драматических построений.

Математика  – наука синтетическая, интегральная, она непостижимым образом интегрирует  знания человека в единую картину  мира, которая и является основой  научного мировоззрения. Знание математики накладывает особый отпечаток на мировоззрение человека, на его подходы  к решению любых теоретических  и практических проблем.

 

Из  родословной математики

ХХ век до н.э. – первые сведения об арифметики из стран Дальнего Востока.

VI век до н.э. – наиболее яркой личностью является Пифагор, который был ученым из Древней Греции.

III век до н.э. – Эвклид и Архимед. Начало буквенной алгебры.

IХ век н.э. – Трактат об индийском счете Мухаммеда Аль Хорезми «Десятичная позиционная система и нумерация».

Около 900 г. – Абу-Камиллой описаны вычисления и измерения сторон пяти- и десятиугольника.

ХIII век н.э. – Леонард Пизанский своим сочинением «Книга абака» – познакомил европейцев с достижениями математиков Востока. От индейцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, и позиционная система счисления; от Аль-Каши, работавшего в самаркандской обсерватории, – десятичные дроби.

ХV век н.э. – вместе с изобретением книгопечатания появляются первые печатные книги по математике (Италия).

ХVI век н.э. – Француз Ф. Виет в своих трудах обозначил числа буквами. Появление алгебры. В арсенале математиков уже есть: ноль, отрицательные числа, обыкновенные и десятичные дроби и многое другое.

ХIХ век – Математика стала складывать и умножать не только числа, но и векторы, функции, матрицы и многое другое, а также просто буквы и символы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика  в химии

   Благодаря достижениям математики и вычислительной техники, недавно возникла квантовая химия, которая изучает вопросы строения и реакционной способности химических соединений.

  С помощью ЭВМ можно проводить даже химические эксперименты без пробирок и колбочек, т.к. решив уравнения, машина дает вам ответ, какое именно химическое соединение получится при взаимодействии исходных веществ. При этом бывают неожиданности. Так, например, ЭВМ утверждала, что при взаимодействии газообразного аммиака и хлористого водорода образуется газообразный хлористый аммоний. Химики привыкли к тому, что образуется твердый продукт, однако потом выяснилось, что правы и машина и химики.

 

 

Математика  в геологии

   Наша Родина богата полезными ископаемыми: нефтью, газом, углем, цветными металлами. Всего и не перечислить. Поиски продолжаются. А как искать?

   Ровными  рядами расставить вышки, авось,  повезет, где-нибудь да брызнет  нефтяной фонтан? Ясно, что это  слишком дорого. Совсем недавно  им на помощь пришли ЭВМ.

   Вначале  землю прослушивали и простукивали  геофизики, геохимики, анализируя  почву, воду и даже растения, и только тогда, когда были  собраны многочисленные данные  и поставлен предварительный  диагноз, можно приступать к  прямому зондированию – глубокому  бурению.

 

 

Математика  в метеорологии

   Всем известно, что старые люди предсказывали погоду. Недаром даже в сводках погоды нет-нет, да промелькнет фраза со ссылкой на народные авторитеты: «Такой погоды и старожилы не помнят» или: «Старожилы утверждают, что сорок лет назад…». Незаметно для себя, они применяют методы математики, анализируя некоторые признаки, - «поясницу ломит», «птицы летят у самой земли».

   Современные предсказатели погоды также анализируют «за» и «против». Они вооружены ЭВМ и математическими формулами. Но и они нередко ошибаются. Погоду нельзя предсказать абсолютно точно, по крайней мере, сейчас ЭВМ обрабатывают поступающую информацию о давлении воздуха, воды, распределении температуры и т.д. На основании этого составляют черновую карту распределения давления.

   Но это еще не прогноз погоды – затем опытные метеорологи по данным этой карты рассчитывают, каковы наиболее вероятны в будущем max и min суточной температуры, направления и силы ветра, количество облаков и т.д.

 

 

Математика  в биологии

   Долгое время биология и медицина были науками относительными. При наборе солдат во Франции записывали рост, цвет волос, вес и т.д. Сто лет регистрировали эти, вроде бы случайные, данные.

   Но вот появились вычислительные машины, и один из ученых решил с помощью математической статистики обработать эти данные. Посчитав на ЭВМ, он понял, что случайные признаки вовсе не случайные – неожиданно выяснилась закономерность – процент новобранцев-брюнетов из года в год снижается.

 

 

Математика  в астрономии

Союз  математики с астрономией сложился много столетий назад, однако, некоторые  астрономические задачи раньше считались  неразрешимыми из-за массы, вычислений. Теперь им помогает ЭВМ. Астрономы посчитали, где в данный момент должен находиться астероид Аталия, обнаруженный в 1903 году, а потом затерявшийся в сонмище  звезд.

Легче найти  булавку в стоге сена, чем такое  миниатюрное небесное тело, коли ему  удалось выскользнуть из поля зрения телескопов. Астрономы вряд ли смогли бы провести вычисления, необходимые  для того, чтобы проследить путь Аталии, с помощью же ЭВМ. Эта работа была выполнена без особых затруднений. Когда астрономы направили телескопы  в указанный машиной пункт  неба, огни обнаружили потерянный астероид.

 

 

Происхождение греческих терминов

Конус – (гр. конос – сосновая шишка).

Цилиндр – (сначала гр. «кюлиндрос», а затем на латинском «цилиндрус» – каток, валик).

Сфера – (гр. «сфайра» – мяч).

Трапеция – (лат. «трапезиум» – столик; заметим, «трапеза» – стол).

Ромб – (лат. «ромбус» – бубен). Мы привыкли, что бубен – круглой формы, а раньше они были в виде квадрата или ромба.

Точка – (лат. «пункт» – пунктир; «пунктум» - укол).

Хорда – струна

 

 

 

Определение функции

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Идея  функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже  в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в  первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако  явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое  изучение функциональной зависимости  берут своё начало в XVII в. в связи  с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции  в XVII в. ещё не было, однако путь к  первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить  с помощью уравнений, притом преимущественно  алгебраических. Постепенно понятие  функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и Бернулли.

 

Функции в пословицах и поговорках

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные  свойства функций обратимся к  пословицам и поговоркам. Ведь пословицы  – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

Возрастающая функция

Определение: Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из Х (х₁< х₂), выполняется неравенство f(х₁)< f(х₂).

Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее  значение функции.

«Чем дальше в лес, тем больше дров», – гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по  мере  продвижения вглубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная  ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать  количество топлива на данном километре  дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Согласно  пословице эта функция неизменно  возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более  дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

 

Неубывающая функция

Определение: Если для любых х₁ и х₂ из множества Х (х₁<х₂₎ справедливо неравенство f(х₁)≤f(х₂), то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х.

«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.

 

Убывающая функция

Определение: Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из Х (х₁<х₂) выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂).

Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, какие бы два  значения аргумента, принадлежащие  этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента  соответствует меньшее значение функции.

«Дальше кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

 

Ограниченная функция

Определение: Функция y=f(x), определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1 Х, если f(x₁), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке Х, если существует такое число k, что для всех выполняется неравенства f(x)≤k или f(x)≥k.

Функция ограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m. Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=m.

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

 

 

Максимум функции

Определение: Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция у=f(x) имеет максимум в точке x0, если существует такая b – окрестность точки x0, что при x0–b<х<x0+b выполняется неравенство f(x)<f(x0), т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0.

«Пересев хуже недосева», - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен  как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

«Недосол на столе – пересол на спине». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно вкусным. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

 

Вогнутость и выпуклость функции

«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включённой в правила научной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение.

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы.

«Горяч на почине, да скоро остыл».

Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Рост одной  функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции  называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента.

Наклон  другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции  называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента.

 

Периодичность функции

Определение: Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f(x+T)=f(x)=f(x–T). Число Т называется периодом функции y=f(x).

«Сказка про белого бычка». Так говорят, когда какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Ссылку  на сказку про белого бычка часто  заменяют цитированием первых слов песни  «У попа была собака».

Периодичностью  в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость  может быть более или менее  строгой.

В обыденной  речи утвердилось выражение «период  солнечной активности». Если бы все  явления на Солнце подчинялись строгой  периодичности, их можно было бы предсказывать  на сколь угодный долгий срок. Стала  бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится  количество солнечных пятен, интенсивность  солнечных вспышек и т.п.

 

 

Значение функций

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого  из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно также облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая  различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых  событий. Общей оказывается и  математическая модель, построенная  на основе этих закономерностей.

Математические  формулы – лишь удобный язык для  изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать  используя привычные и наглядные  образы из окружающей жизни.

 

Математика  – самая древняя наука, игравшая важнейшую роль в жизни и деятельности человека на всех исторических этапах, т.к. людям всегда нужно было что-либо считать и чертить, измерять и  вычислять, прогнозировать и проектировать, создавать новое.

Сегодня можно говорить, что современная математика – это метанаука, объединяющая комплекс дисциплин: арифметику – теорию чисел, алгебру, геометрию, математический анализ, теорию множеств, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию игр и многие, многие другие (насчитывают несколько десятков крупных направлений). На стыках наук появляются разделы: математическая физика, математическая логика, математическая лингвистика, математическая экономика и др. Также математика неразрывно связана с другими (даже с гуманитарными науками) и необходима в обычной жизни

 

 

 

Приложение. Цифры в пословицах и поговорках

Один

Один за всех  и все за одного.

Один в  поле не воин.

В страду одна забота – не стояла бы работа.

От великого до смешного – один шаг.

Одной рукой  и узла не завяжешь.

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Трус умирает  сто раз, герой – один раз.

Один раз  солгал – навек лгуном стал.

 

Два

За двумя  зайцами погонишься, ни одного не поймаешь.

Два сапога – пара.

Одна голова – хорошо, а две – лучше.

Скупой платит дважды, а лентяй дважды работает.

Убить двух зайцев.

 

Три

Бог любит  троицу.

У мужика в  августе три заботы – и косить, и пахать, и сеять.

Не узнавай  друга в три дня – узнавай  в три года.

Из третьих  рук.

Обещанного  три года ждут.

 

Четыре

Изба без  четырех углов не ставится.

Конь о  четырех ногах, и тот спотыкается.

 

Пять

Знать как  свои пять пальцев.

Рассказывать  с пятого на десятое.

Быть как  пятое колесо в телеге.

 

Шесть

Шесть дней лайся, седьмой – кайся.

Беда шестёриком правит.

 

Семь

Семь раз  отмерь, один раз отрежь.

Семеро одного не ждут.

У беспокойной  хозяйки семь пятниц на неделе.

Тайна за семью  печатями.

Семеро с  ложкой – один с сошкой.

На седьмом  небе.

 

Восемь

Весна да осень  – на дню погод восемь.

Восьмое чудо света.

 

Девять

За тридевять  земель, в тридевятом царстве.

 

Десять

Не трусливого десятка.

Рассказывать  с пятого на десятое.

 

 

 

Список  литературы

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 2001

2. Даль В.И. Пословицы русского народа. М., Русская книга. 1993

3. Никитина Н.Н. Математика в пословицах, загадках и стихах. М., Литера, 2007

4. Пухначев Ю.А., Попов Ю.Н. Математика без формул. М., АО «Столетие», 1995