Картография. 2

Введение

 

Численные методы анализа  эмпирических данных используются в  науке и инженерных отраслях вот уже более 300 лет.

Фактически, сегодня можно  с уверенностью утверждать, что геологические  науки, в самом широком смысле этого термина, вплотную подошли к созданию реальных пространственно временных моделей и реконструкции реальных процессов, происходящих и происходивших на Земле и в ее недрах.

Легкость, с которой  сегодня могут быть получены эмпирические данные приводит к появлению опасной тенденции, не обращать внимание на их качество, тщательно отслеживая только процедуры последующей обработки и анализа. Автоматизация инструментальных средств измерения, генерации данных и их анализа должна включать методы оценки качества, как на этапе получения данных, так и на этапе их обработки. К сожалению, это делается далеко не всегда. Производители оборудования обычно разрабатывают и изготовляют его, предполагая, что они хорошо знают, чего хочет от него потребитель. Как правило, это приводит к допущению, что автоматизированное обеспечение контроля качества измерений менее важно чем низкая стоимость, удобство пользования, скорость и длительность срока эксплуатации.

Например, при использовании  трехмерных (3D) координат точек, описывающих топографию местности для двух разных эпох, отличия в координатах, а следовательно, в полученных по ним поверхностям рельефа, могут быть обусловлены следующими основными причинами: 1) координатные сетки (datums) для разных эпох могут быть различными; 2) различия в данных могут определяться различиями в методах их интерполяции; 3) наконец, топография могла просто измениться за указанное время.

 

1 Понятие об  отображении земной поверхности  на плоскости

 

Физическая поверхность  Земли имеет неправильную форму  и потому не может быть описана замкнутыми формулами. В силу этого, для решения задач, эту поверхность заменяют математически правильной поверхностью. В самом точном приближении таковой поверхностью является поверхность геоида.

Геоид – это геометрическое тело, ограниченное уровенной поверхностью морей и океанов, связанных между собой и имеющих единую водную массу. В каждой своей точке эта поверхность нормальна направлению силы тяжести.

Геоид тоже не может быть описан замкнутыми формулами. Вместо него, в качестве поверхности относимости, используется эллипсоид вращения с малым сжатием, причем, берут его таких размеров и так ориентируют в теле Земли, чтобы он напоминал геоид – это референц- эллипсоид (земной эллипсоид, рис.1.).

Рис.1. эллипсоид

 

В разных странах приняты  свои референц- эллипсоиды, различающиеся своими параметрами (см.табл.). В нашей стране используется референц-эллипсоид Красовского.

Эллипсоид вращения – это тело, образованное вращением эллипса вокруг полярной оси.

 

Рис. 2.

 

В случае использования  эллиптической модели Земли, мы должны учитывать параметры определяющие главную (большую) и второстепенную (малую) оси эллипса (рис. 3.). Параметр сжатия (уплощения) определяется как отношение этих осей и примерно равен 0.003353.

Рис. 3.

 

Для решения практических задач, земная поверхность может быть принята за сферу (рис. 4.).

           Рис. 4.

 

Сжатием эллипсоида можно  пренебречь в следующих случаях:

1) При создании мелкомасштабных  обзорных карт

2) Когда при заданных  величинах искажений невозможно  получить

непосредственно проекцию эллипсоида на плоскости.

В этих случаях прибегают  к двойным преобразованиям:

Эллипсоид                 Сфера                   Плоскость

Размеры земной сферы  могут быть получены по-разному. В  частности, можно потребовать, чтобы земная сфера имела равную площадь с эллипсоидом. Если сфера равновелика с поверхностью эллипсоида, то ее радиус равен 6 376 116 метров. Можно потребовать, чтобы сфера была равна объему эллипсоида, тогда ее радиус будет равен 6 376 110 метров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Понятие о  картографической проекции

 

Проблема изображения  земной поверхности на плоскости  решается в два этапа:

1. Неправильная физическая  поверхность Земли отображается  на математически правильную поверхность (поверхность относимости).

2. Поверхность относимости  отображается на плоскости (по тому или иному закону). В результате получаем картографические проекции.

Картографическая проекция позволяет установить зависимость  между точками на земной поверхности и на плоскости (карте).

Картографическая проекция – определенный математический закон отображения одной поверхности на другую, при следующих условиях:

1) точки, взятые на  одной поверхности, соответствуют  точкам на другой поверхности  и наоборот;

2) непрерывному перемещению  точки на одной поверхности  соответствует перемещение на второй поверхности.

Картографическая проекция – определенный способ отображения одной поверхности на другую, устанавливающий аналитическую зависимость между координатами точек эллипсоида (сферы) и соответствующих точек плоскости.

Пусть на поверхности сфероида (S) задана замкнутая область D, ограниченная замкнутым контуром L (рис. 5.). Положение точки М на этой поверхности определено координатными линиями λ=const, φ=const.

Рис. 5.

Пусть этой точке М  на плоскости в прямоугольных  координатах X и Y соответствует точка М’ (рис. 6.).

Рис. 6. плоскость

 

Тогда между этими  точками существует следующая связь:

X=f1 (φ; λ)

Y=f2 (φ; λ)

В этих уравнениях X и Y – плоские прямоугольные координаты изображаемой на плоскости точки, выраженные как функции геодезических координат той же точки на поверхности эллипсоида.

Для того, чтобы эта  функциональная зависимость описывала  картографическое отображение, которое должно быть непрерывное и однозначное, необходимо наложить на функции следующие требования:

1) f1и f2 должны быть однозначны;

2) f1и f2 должны иметь  непрерывные частные производные

3) f1и f2 должны иметь  определитель системы (якобиан)  больше нуля

( H=XφYλ-XλYφ>0 )

Только в этом случае точка М отобразится только одной  точкой М’ и точке М’ будет соответствовать на поверхности единственная точка М.

Если выбрать под  тем или иным условием закон изображения  точек эллипсоида на плоскости, то можно, пользуясь написанными формулами, получить формулы для перехода от расстояний и углов на поверхности эллипсоида к соответствующим расстояниям и углам на плоскости.

Законов изображения  поверхности эллипсоида на плоскости  может быть бесчисленное множество; очевидно, каждый закон изображения определяется видом функций f1 и f2 в приведенных уравнениях.

Картографическая  проекция – однозначное, дважды непрерывно

дифференцируемое с  определителем, отличным от нуля, соответствие между точками поверхности эллипсоида и точками плоскости.

С геометрической точки  зрения условия, накладываемые на функции, означают следующее:

1) бесконечно малому приращению координат на одной поверхности,

соответствует бесконечно малое приращение координат на второй;

2) бесконечно малый  линейный отрезок, взятый на  одной поверхности,

отображается на второй также бесконечно малым линейным отрезком;

3) два линейных бесконечно малых параллельных отрезка, взятые на одной поверхности, отображаются на второй также бесконечно малыми параллельными отрезками;

4) т.к. Н>0 (якобиан), будет  сохраняться направление обхода  контура на одной и второй поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Классификация  картографических проекций

 

Известно, что признаков  для классификации может быть несколько, следовательно, и классификаций может быть несколько; при этом следует заметить, что одни и те же проекции в зависимости от признака могут попасть в разные группы. В настоящее время в нашей стране пользуются классификацией Каврайского. Согласно ей все проекции классифицируются по четырем признакам:

I. Характеру искажения

II. Виду меридианов  и параллелей нормальной сетки

III. Положению полюса  нормальной системы координат

IV. Способу использования

По характеру  искажения

Самым существенным признаком  проекций является свойство изображений.

Неизбежным же свойством  изображений являются искажения. Характер искажений определяется в зависимости от того, что искажается – длина, угол или площадь. Если величина искажений в большей или меньшей степени зависит от размеров и формы изображаемой территории, то характер искажений всецело зависит от самой проекции. Вот почему при выборе проекции решающую роль играет характер искажений.

По характеру искажения проекции делятся на:

1) Равноугольные (конформные) – углы и азимуты передаются без искажений, т.к. масштабы длин в точках не зависят от направления. Как следствие, в этих проекциях сохраняется подобие в бесконечно малых частях. Картографическая сетка в этих проекциях ортогональна. На картах в равноугольных проекциях можно измерять углы и азимуты, на них удобно производить измерение длин по всем направлениям.

2) Равновеликие (эквивалентные) – масштаб площадей остается постоянным и равным единице, а следовательно площади передаются без искажений. На картах в равновеликих проекциях можно делать сопоставление площадей.

3) Равнопромежуточные (эквидистантные) – масштаб по одному из главных направлений сохраняется и равен единице (а=1 или b=1)

4) Произвольные – присутствуют все виды искажений.

Свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности одновременно на одной и той же проекции несовместимы. Проекции, на которой всюду отсутствовали бы искажения длин, т.е. было бы сохранено постоянство масштаба, не существует. На карте могут отсутствовать либо искажения углов, либо площадей, но одновременно отсутствовать искажения углов и площадей не могут. Поэтому характерным свойством картографической проекции является обязательное наличие на карте того или иного искажения.

По виду меридианов и параллелей нормальной сетки

Классификация проекций по виду нормальной сетки наиболее наглядна и наиболее проста, и поэтому она легче всего воспринимается. Следует подчеркнуть, что классификация по этому признаку касается только проекций в нормальном положении, вид косых или поперечных сеток будет уже другой, не охватываемый классификацией.

По виду меридианов и параллелей нормальной сетки:

1) Круговые – проекции, у которых меридианы и параллели изображаются окружностями. Экватор и ср. меридиан – прямые линии. Применяются для изображения всей поверхности Земли. (произвольная Гринтена, равноугольная Лагранжа).

          

 

2) Азимутальные – параллели – одноцентренные окружности, меридианы – пучок прямых, расходящихся радиально из центра параллелей. Эти проекции применяются в прямом положении - для полярных территорий; в поперечном - для изображения зап. И вост. полушарий; в косом - для изображения территорий, имеющих округлую форму.

     

 

3) Цилиндрические – параллели - параллельные прямые, перпендикулярные осевому меридиану, причем параллели всегда равноразделенные (отрезки параллелей пропорциональны разностям долгот); меридианы - Все меридианы прямые, перпендикулярные параллелям. Расстояния между меридианами пропорциональны разностям долгот. В этих проекциях можно изобразить весь земной шар. Наиболее выгодны эти проекции для изображения территорий, расположенных вблизи экваториальных широт и растянутых вдоль экватора (или вдоль некоторой стандартной параллели).

        

 

 

4) Конические – параллели - Дуги концентрических окружностей, общий центр которых лежит на осевом меридиане или его продолжении. Параллели равноразделенные, т.е.вдоль каждой параллели отрезки между меридианами одинаковые; меридианы - пучок прямых, расходящихся радиально из точки, являющейся центром параллелей.

Углы между меридианами  пропорциональны разностям их долгот. Эти проекции наиболее выгодны для изображения территорий, расположенных в средних широтах и растянутых вдоль параллелей.

   

 

5) Псевдоконические – параллели - дуги концентрических окружностей, общий центр которых лежит на осевом меридиане или его продолжении; меридианы – некоторые кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана. Наиболее выгодны для изображения территорий, имеющих форму квадрата с вогнутыми сторонами. (проекция Бонна – применяется для карты Франции).

       

 

6) Псевдоцилиндрические – параллели - Параллельные прямые, перпендикулярные осевому меридиану. В большинстве случаев равноразделенные; меридианы – некоторые кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана.

Используются для изображения  всей земной поверхности. Наиболее выгодны  для изображения территорий растянутых вдоль среднего меридиана и экватора (равновеликая синусоидальная проекция Сансона, равновеликая синусоидальная проекция Эккерта, равновеликая эллиптическая проекция Мольвейде).

 

 

7) Поликонические – параллели - дуги окружностей (окружности), центры которых лежат на осевом меридиане сетки или на его продолжении; меридианы – некоторые кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана. Широко применяются для мелкомасштабных обзорных карт, выгодны для изображения территорий, растянутых вдоль среднего меридиана. (простая поликоническая проекция, видоизмененная поликоническая проекция для международной карты мира в масштабе 1:1 000 000).

    

 

По положению  полюса нормальной системы координат

P0 - полюс нормальной  системы координат совмещается  с центральной точкой картографируемой территории. Это делается для того, чтобы уменьшить величины искажений в пределах картографируемой территории. В зависимости от величины φ0 все проекции классифицируются:

1) Полярные (нормальная) – полюс нормальной системы координат совпадает с географическим - φ0=90°

      

 

2) Поперечные (трансверсионные) – полюс нормальной системы совпадает с экватором - φ0=0°

 

3) Косые (наклонные) – полюс нормальной системы координат располагается между географическим полюсом и экватором - 0°< φ0<90°

 

По способу  использования

1) Сплошные – вся картографируемая территория проектируется на плоскость по одному закону

2) Многополосные – территория разбивается на ряд широтных зон, каждая из которых проектируется на плоскость по одному и тому же закону, но с разными параметрами для каждой из зон. Преимущества - малые величины искажений; недостатки – невозможно получить сплошное изображение. (трапецивидная проекция Мюфлинга, применялась для карт крупного масштаба до 1928г. Для СССР)

3) Многогранные – территория разбивается на ряд меридианальных зон, каждая из которых проектируется на плоскость по одному и тому же закону, но с разными параметрами для каждой из зон. Преимущества - малые величины искажений; недостатки – невозможно получить сплошное изображение. (проекция Гаусса-Крюгера)

4) Составные – часть территории проектируется по одному закону, а оставшаяся часть по другому.

4. Перспективные цилиндрические проекции эллипсоида вращения и принципы их получения

 

Рассмотрены теоретические  аспекты получения перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения на основе метода визирования.

Рассмотрим метод (принцип) получения перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения на примере проекции с негативным изображением на секущем цилиндре в нормальной ориентировке.

Пусть на рис. 1 показан эллипсоид вращения с полуосями a и b. Его пересекает цилиндр, ось вращения которого совпадает с осью вращения эллипсоида. А_k (φ_k, λ) – точка пересечения поверхности эллипсоида и цилиндра. Точка зрения g лежит произвольно, ее положение задается расстоянием Og=D и углом α. А (φ, λ) – текущая точка на поверхности эллипсоида. Визирный луч gA пересечет образующую цилиндра A’A_k в точке A’.

Пусть начало системы  координат лежит в точке О (0,0), тогда в системах координат плоскости каждого меридиана будем иметь:

О: x = 0;        A: x = N(1-e²)sinj;         A_k: x = N_k(1-e²)sinj_k;          g:  x = Dsinα;

у = 0;             y = - Ncosj;                      y = - N_kcosj_k;                    y = Dcosα.

Рис. 1. Схема получения перспективной цилиндрической проекции с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения

 

Уравнение визирного луча gA запишется  в следующем виде:

(x-Dsinα)(-Ncosj-Dcosα) = (y-Dcosα)(N(1-e²)sinj-Dsinα), а уравнение образующей цилиндра: y = - N_k(1-e²)sinφ_k.

Из совместного решения  уравнений визирного луча и образующей цилиндра, получим формулы прямоугольных координат проекции.

х = Dsinα+(Dcosα+N_kcosj_k)(N(1-e²)sinj-Dsinα)/(Dcosα+Ncosj);

y=N_kcosj_kλ.                                                       (1)

В этих формулах: x, y – прямоугольные координаты точек проекции;

D – расстояние от точки зрения до центра эллипсоида;

α – угол между плоскостью экватора и линией Оg;

N – радиус кривизны сечения первого вертикала; N=a/(1-e²sin²j)^1/2;

e – первый эксцентриситет эллипсоида вращения; e=(1-(b/a)²)^1/2;

a, b – большая и малая полуоси эллипсоида вращения.

Картографическая сетка  проекции показана на рис. 2.

Рис. 2. Сетка перспективной цилиндрической проекции эллипсоида вращения с негативным изображением с произвольным положением точки зрения

 

Подробно рассмотрено получение различных вариантов перспективных цилиндрических проекций: с негативным и позитивным изображениями, на касательном и секущем цилиндрах, с различным положением точки зрения, в том числе проекции типа Брауна (точка зрения лежит на поверхности эллипсоида в плоскости экватора), типа Уэтча (точка зрения лежит в центре эллипсоида), проекции с точкой зрения, лежащей в бесконечности. Приведены варианты получения комбинированных проекций с негативным и позитивным изображениями, построены картографические сетки.

Анализ вида картографических сеток всех перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения показал:

• параллели представляют собой прямые линии, а меридианы – ортогональные параллелям равноотстоящие прямые;
• в проекциях полюс изображается прямой линией или уходит в бесконечность (проекции типа Уэтча);
• сетки проекций ортогональны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора (рис. 2);
• изоколы имеют вид прямых линий, параллельных экватору;
• проекции являются произвольными по характеру искажений, ближе к равноугольным;

Разработанные перспективные  цилиндрические проекции эллипсоида вращения дополняют существующие, что дает возможность представить теорию перспективных проекций эллипсоида вращения в завершенном и полном виде (см. табл. 1).

 

4.1 Исследование и разработка теории перспективных проекций

трехосного эллипсоида

 

В главе освещены особенности  систем координат трехосного эллипсоида, введены понятия о широтах и долготах в связи с тем, что геодезическая система координат не является однозначной для трехосного эллипсоида.

Вопросами установления систем координат трехосного эллипсоида занимались: А. Кларк, Н. Ф. Красовский, Н. А. Беспалов и другие.

В работе используются понятия  условно-геодезической и геодезической  систем координат, приведенные в  работе Л. М. Бугаевского «Теория  картографических проекций регулярных поверхностей». В обеих системах координат долготы определяются одинаково, как двугранный угол между плоскостями сечений, проходящих через ось эллипсоида, начальный и текущий пункты. А понятия условно-геодезической и геодезической широт не совпадают.

Под условно-геодезической  широтой В понимается угол между нормалью АК к эллипсу РАР₁ в т. А и линией OD. Однако линия АК не является нормалью к его поверхности (рис. 3).

Под геодезической широтой φ трехосного эллипсоида понимается угол между нормалью к поверхности трехосного эллипсоида в т. А и плоскостью экватора.

Рис. 3. Условно геодезическая система координат трехосного эллипсоида

 

Формулы связи геодезической  и условно-геодезической систем координат имеют следующий вид:

sinB = sinφ[(1+z²)/(1+z²sin²φ)^1/2]; cosB = cosφ[(1+z² sin²φ)^-1/2], где

z = - d_λ/d = k²sin2λ/[2(1-k²cos²λ);

d_λ = - ab(a²-b²)sin2λ/[2(a²sin²λ+b²cos²λ)^1/2];

d = b(1-k²cos²λ)^-1/2; k² = 1-(b/a)²,

a, b –полуоси трехосного эллипсоида,

φ – геодезическая широта данной точки,

В – условно-геодезическая широта данной точки,

λ – геодезическая долгота данной точки.

Различия в величинах  условно-геодезических и геодезических широт не велики и наглядно представлены на рис. 4, на примере проекции типа Брауна.

Рис. 4. Проекция типа Брауна в различных системах координат (сплошная сетка построена с использованием геодезической системы координат; штриховая сетка построена с использованием условно-геодезической системы координат)

 

В дальнейшем при рассмотрении вопросов, связанных с получением формул прямоугольных координат проекции использовалась условно-геодезическая система координат. Расчеты всех проекций выполнены для спутника Юпитера Амальтеи, т.к. его форма аппроксимируется трехосным эллипсоидом.

Перспективные цилиндрические проекции трехосного эллипсоида.

Получим формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции с негативным изображением на основе метода визирования.

Рассмотрим рис. 5, на котором представлена схема получения нормальных перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения.

 

Рис. 5. Схема получения перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения

 

Пусть положение точки  зрения g определяется расстоянием Og=D от центра трехосного эллипсоида и углом α. А (В, λ) – текущая точка на поверхности трехосного эллипсоида. А_k – точка пересечения образующей цилиндра и трехосного эллипсоида. R – радиус вспомогательного цилиндра. Возьмем начало прямоугольных координат в т. О. Тогда в системе координат плоскости каждого меридиана будем иметь:

О: x = 0;                     A: x = N(1-p²)sinB;                     g: x = Dsinα;

     y = 0;                          y = - NcosB;                               y = Dcosα.

Запишем уравнения визирного луча gA и образующей цилиндра A_kA’:

(x-Dsinα)(-NcosB-Dcosα) = (y-Dcosα)(N(1-p²)sinB-Dsinα); y = - R.

Совместное решение  этих уравнений, позволяет получить формулы прямоугольных координат проекции на секущем цилиндре:

x = Dsinα+(R+Dcosα)(N(1-p²)sinB-Dsinα)/(NcosB+Dcosα); y = Rλ.       (2)  

Если в качестве вспомогательной  поверхности использовать касательный цилиндр, то формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением будут иметь следующий вид:

x = Dsinα+(а+Dcosα)(N(1-p²)sinB-Dsinα)/(NcosB+Dcosα);                   (3) 

y = аλ.

В этих формулах:

x, y – прямоугольные координаты точек проекции;

В, λ – условно-геодезические  координаты;

R – радиус вспомогательного цилиндра;

D – расстояние от точки зрения до центра трехосного эллипсоида;

α – угол между направлением Og и плоскостью экватора;

N – радиус кривизны сечения первого вертикала; N = d/(1-p²sin²B)^1/2, где

d = b/(1-k²cos²l)^1/2; k² = 1-(b/a)²; p² = 1-(c/d)².

a, b, с – полуоси трехосного эллипсоида.

Рис. 6. Сетка прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения для спутника Юпитера Амальтеи с изоколами масштабов плошадей (Расчет производился по значениям: a=135000 (м), b=85000 (м), с=77500 (м); D=100000 (м), α=25˚; Rцилиндра=100000 (м))

 

В работе приведены 6 формул для нахождения прямоугольных координат перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным и позитивным изображением с различным положением точки зрения, а также формулы комбинированных перспективных цилиндрических проекций с негативным и позитивным изображением.

На основании расчетов прямоугольных координат проекций было построено 6 вариантов сеток разработанных проекций для спутника Юпитера – Амальтеи на рис. 7, 8 представлены 2 из них.

Рис. 7. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Уэтча с изоколами масштабов площадей

 

Рис. 8. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Брауна с изоколами масштабов площадей