Логарифмический мир

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №12 г. Пензы им. В.В. Тарасова. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Научно-практическая конференция школьников. 
 

Логарифмический мир 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                       Выполнила: ученица 10 «А» класса

                                                                                        Ведяшева Анастасия

                                                                                        Научный руководитель:

                                                                                        Тарыкина Татьяна Матвеевна

      Пенза 2011  
 

Содержание: 

Из истории логарифмов…………………………………………………………………………3

Звезды, шум и логарифмы……………………………………………………………………....3

Логарифмы в музыке…………………………………………………………………………….4

Логарифмическая спираль………………………………………………………………………5

Логарифмы на эстраде…………………………………………………………………………..6

Логарифмы в электроосвещении……………………………………………………………….7

Завещание на сотни лет…………………………………………………………………………8

Логарифмическая комедия………………………………………………………………………9

Любое число - тремя двойками ………………………………………………………………..10

Логарифмические диковинки…………………………………………………………………..11

Заключение………………………………………………………………………………………12

Список литературы……………………………………………………………………………...13

Из истории логарифмов. 

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма,  т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632)ПЕРВЫМ ОПУБЛИКОВАЛ РАБОТУ НЕПЕР  в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов  дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г.  Идеей логарифма  Непер овладел около   1594г. ,хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в   переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогрессии, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого.В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма»  и «мантисса». Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми.

Звезды, шум и логарифмы.

  Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения Кузьмы Пруткова; речь в самом деле пойдет о звездах  и о шуме в тесной связи с  логарифмами.

  Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

  Астрономы распределяют звезды по степеням видимой  яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что "величина" звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,5^3-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Не останавливаюсь здесь подробнее на этих интересных соотношениях, так как им уделено достаточно страниц в другой моей книге - "Занимательная астрономия".

  Сходным образом оценивается и громкость  шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит "бел", практически - его десятая доля, "децибел". Последовательные степени громкости - 1 бел, 2 бела и т. д. (практически - 10 децибел, 20 децибел и т. д.) - составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же "сила" этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

  Дело  станет яснее, если рассмотрим несколько  примеров.

  Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь - в 6,5 бела, рычанье льва - в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в

10^6,5-1 = 10^5,5 = 316000 раз;

  львиное рычанье сильнее громкой разговорной  речи в

10^8,7-6,5 = 10^2,2 = 158 раз.

  Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы ив 10-100раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел).

  Случайность ли то, что и при оценке видимой  яркости светил и при измерении  громкости шума мы имеем дело с  логарифмической зависимостью между  величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое - следствие общего закона (называемого  "психофизическим законом Фехнера"), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Логарифмы в музыке

  Музыканты редко увлекаются математикой; большинство  их, питая к этой науке чувство  уважения, предпочитает держаться от нее подальше. Между тем музыканты - даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, "алгеброй гармонию", - соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.

  Позволю себе по этому поводу привести отрывок из статьи нашего покойного физика проф. А. Эйхенвальда^*.

  ^* (Она была напечатана в "Русском астрономическом календаре на 1919 г." и озаглавлена "О больших и малых расстояниях".)

  "Товарищ  мой по гимназии любил играть  на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. "Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой".

  Представьте же себе, как неприятно был поражен  мой товарищ, когда я доказал  ему, что,, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так  называемые "ступени" темперированной  хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.

  Положим, что нота do самой низкой октавы - будем ее называть нулевой октавой - определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n × 2^m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т. д.; 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в   большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой

  Логарифмируя  эту формулу, получаем:

lg N_pm = lg n + m lg 2 + p lg 2/12

  или

lg N_pm = lg n + (m + p/12)lg 2,

  а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg 2 = 1), имеем:

lg N_pm = m + p/12.

  Отсюда  видим, что номера клавишей рояля  представляют собой логарифмы чисел  колебаний соответствующих звуков^*. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве^** - мантиссу этого логарифма".

  ^* Умноженные на 12.

  ^** Деленный на 12.

Логарифмическая спираль.

Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время  окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т.е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадает и точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали:

r = ae^k? ,

гед r – расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, ? – угол между лучом ОМ и выбранным лучом О_х , a и k – постоянные.

Решая его, получим:

ln e^k? = ln   , k? = ln   , ? =   ln   .

Так как это  уравнение связано с логарифмической  функцией, то вычисленную по этой формуле  спираль называют логарифмической.

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596-1650г.г.). Логарифмическая  спираль часто используется в  технических устройствах. Например, вращающиеся ножи имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали- под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетаю большие расстояние, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если же они ориентируются на точечный источник света, скажем, на пламя свечи, то инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание  своей формы. При этом они растут всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут  расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, по логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Логарифмы на эстраде.

Самый поразительный  из номеров, выполняемых перед публикой профессиональными счетчиками без  сомнения следующий.

 Предуведомленные афишей, что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней из многозначных чисел, будущие зрители заготавливают дома путем терпеливых выкладок 31 степень какого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-значным числовым линкором. В надлежащий момент зритель обращается к счетчику со словами: - а попробуйте извлечь корень 31-ой степени из следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.

Виртуоз вычислитель  берет мел, но прежде чем зритель  успел открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у него уже записан  результат: 13.

Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-ой степени, да еще в уме, да еще с молниеносной быстротой! Зритель изумлен, уничтожен и между тем во всем этом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто в том, что существует только одно число, именно 13, которое в 31 степени дает 35-значный результат. Числа <13, дают меньшее число цифр, чем 35, большие - больше.

Счетчику помогли  логарифмы, двузначные логарифмы, которые  он помнит наизусть для первых 15-20 чисел. Затвердить их вовсе не так трудно, как кажется, особенно если пользоваться тем, что логарифм составного числа = сумме логарифмов его простых множителей.

Зная твердо, логарифм 2,3,7, вы уже знаете, логарифмы  первого десятка, для второго  десятка требуется помнить логарифмы  еще четырех чисел. Как бы то ни было, эстрадный вычислитель мысленно располагает следующей табличкой двузначных логарифмов:

Математический  трюк состоял в следующем: . Искомый логарифм может заключаться между и или между 1,09 и 1,13. В этом интервале имеется логарифм только одного целого числа, именно 1,11-log13.

            Таким образом, и был найден результат. 

Логарифмы в электроосвещении

  Задача

  Причина того, что наполненные газом (часто  называемые неправильно "полуваттными") лампочки дают более яркий свет, чем пустотные с металлической нитью из такого же материала, кроется в различной температуре нити накала. По правилу, установленному в физике, общее количество света, испускаемое при белом калении, растет пропорционально 12-й степени абсолютной температуры. Зная это, проделаем такое вычисление: определим, во сколько раз "полуваттная" лампа, температура нити накала которой 2500° абсолютной шкалы (т. е. при счете от -273° Ц), испускает больше света, чем пустотная с нитью, накаленной до 2200°.

  Решение

  Обозначив искомое отношение через х, имеем  уравнение

x = (2500/2200)¹² = (25/22)¹²,

  откуда

lg x = 12(lg 25 - lg 22); x = 4,6.

  Наполненная газом лампа испускает света  в 4,6 раза больше, нежели пустотная. Значит, если пустотная дает свет в 50 свечей, то наполненная газом при тех  же условиях даст 230 свечей.

  Сделаем еще расчет: какое повышение абсолютной температуры (в процентах) необходимо для удвоения яркости лампочки?

  Решение

  Составляем  уравнение

(1 + x/100)¹² = 2,

  откуда

lg(1 + x/100) = lg 2/12 и x = 6%.

  Наконец, третье вычисление: насколько - в процентах - возрастет яркость лампочки, если температура ее нити (абсолютная) поднимется на 1%?

  Решение

  Выполняя  с помощью логарифмов вычисление

x = 1,01¹²,

  находим:

x = 1,13.

  Яркость возрастет на 13%.

  Проделав  вычисление для повышения температуры  на 2%, найдем увеличение яркости на 27%, при повышении температуры  на 3% - увеличение яркости на 43%.

  Отсюда  ясно, почему в технике изготовления электролампочек так заботятся  о повышении температуры нити накала, дорожа каждым лишним градусом.

Завещания на сотни лет

  Кто не слышал о том легендарном числе  пшеничных зерен, какое будто  бы потребовал себе в награду изобретатель шахматной игры? Число это составлялось путем последовательного удвоения единицы: за первое поле шахматной доски изобретатель потребовал 1 зерно, за второе 2 и т. д., все удваивая, до последнего, 64-го поля.

  Однако  с неожиданной стремительностью числа растут не только при последовательном удвоении, но и при гораздо более умеренной норме увеличения. Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза. Как будто не столь заметно возрастание. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную сумму. Этим объясняется поражающее увеличение капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжения об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Веньямина Франклина. Оно опубликовано в "Собрании разных сочинений Веньямина Франклина". Вот извлечение из него:

  "Препоручаю  тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам^*. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4061000 фунтов стерлингов, из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3000000 - правлению Массачузетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов".

  ^* (В Америке в ту эпоху еще не было кредитных учреждений.)

  Оставляя  всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в

x = 1000 ×1,05¹⁰⁰ фунтов.

  Это выражение можно вычислить с  помощью логарифмов

lg x = lg 1000 + 100 lg 1,05 = 5,11893,

  откуда

x = 131000

  в согласии с текстом завещания. Далее, 31000 фунтов в течение следующего столетия превратятся в

y = 31000 × 1,05¹⁰⁰,

  откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим:

y = 4076500

  - сумму, несущественно отличающуюся от указанной в завещании.

Логарифмическая комедия

      Задача

  В добавление к тем математическим комедиям, с которыми читатель познакомился в главе V, приведем еще образчик того же рода, а именно "доказательство" неравенства 2 > 3. На этот раз в доказательстве участвует логарифмирование. "Комедия" начинается с неравенства

1/4 > 1/8,

  бесспорно правильного. Затем следует преобразование:

(1/2)² > (1/2)³,

  также не внушающее сомнения. Большему числу  соответствует больший логарифм, значит,

2lg₁₀ (1/2) > 3lg₁₀ (1/2).

  После сокращения на lg₁₀ (1/2) имеем: 2 > 3. В чем ошибка этого доказательства?

  Решение

  Ошибка  в том, что при сокращении на lg₁₀ (1/2) не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg₁₀ (1/2) есть число отрицательное. [Если бы мы логарифмировали при основании не 10, а другом, меньшем чем 1/2, то lg (1/2) был бы положителен, но мы не вправе были бы тогда утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм.]

Любое число - тремя двойками

  Задача

  Закончим  книгу остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники  одного съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

  Решение

  Покажем, как задача решается, сначала на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:  .

  Легко удостовериться в правильности этого  равенства. Действительно,

  Если  бы дано было число 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:

  Как видим, мы используем здесь то, что  при квадратном радикале показатель корня не пишется.

  Общее решение задачи таково. Если данное число N, то

  причем  число радикалов равно числу  единиц в заданном числе. 

  Логарифмические диковинки.

Решим несколько примеров:

1. Вычислить 

Решение: Так как   , то   .

Вывод:   при 0 < x  , 0 < y  .

2. Доказать, что если а и b – длины катетов, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, то:

Доказательство: Приведем все логарифмы к основанию b+c:

]

 ,  .

 Повторяя логарифмические выкладки в обратном порядке, докажем исходное равенство. Затем, что оно верно при дополнительных ограничениях   ,   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

В этой работе мы еще раз убедились в том, что математика это универсальный язык, используя который, как инструмент познания мира, можно увидеть в нем гармонию, красоту, а самое главное проявление закономерности в вещах, на первый взгляд никак между собой не связанных. Возможно, язык математики станет универсальным ключом к познанию мирозданья и перевернет представление человечества о пространстве и времени.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы: 

1. Перельман  Я.И. «Занимательная алгебра»,

2.Интернет-ресурсы