Математическая модель организации рекламной кампании

Математическая  модель организации

рекламной кампании

Ахметова Акнур 

11 класс, СШОД  «Дарын»

рук. Ахметова Ж.И.

Введение.

Слово Реклама  происходит от французского слова “reclame”. О рекламной практике речь идёт уже в самых первых  документах  письменной

Рекламу придумали не для того, чтобы некстати прерывать ваш любимый фильм. Она нужна, чтобы делать продажи. С этим никто не спорит, но по-прежнему колоссальные деньги, которые компании выделяют на рекламу, тратятся впустую. Во многом это происходит благодаря мифу о том, что чем больше средств вложить в рекламу, тем большую отдачу она принесет. В сущности, мы очень мало знаем о том, как работает реклама. Большая часть денег, затрачиваемых на рекламу, уходит в песок. Важно научиться при наименьших затратах получать четко рассчитанный желаемый эффект. Именно поэтому главным вопросом, возникающим при разработке рекламной кампании, является оптимальное распределение рекламного бюджета по различным СМИ. Основным параметром при этом является отношение целевой аудитории ко всей аудитории как с точки зрения специализации рекламируемых товаров, так и с точки зрения территориальной распространенности товаров, реализуемых предприятием.

Цель данной работы – построить математическую модель организации рекламной кампании.

Задача – построить модель, характеризующую степень информированности потенциальных покупателей в результате рекламной кампании.

Актуальность: сегодня актуальность рекламы не вызывает сомнения, так  как  она  играет ключевую роль в развитии рыночной экономики и является её важным  элементом.

 

Глава 2 Эмпирические модели.

Отметим несколько особенностей существующих на данный момент методов  расчета рекламного бюджета.

Практически все методы рассчитаны на крупных рекламодателей.

Практически ни один из методов не дает ответа на вопрос - по каким СМИ и в каком количестве внутри этих СМИ распределять рекламный бюджет. То есть априори считается, что главное - это “сколько” потратить, а не каким образом это “сколько” распределить.

По принципу расчета  рекламного бюджета все методы можно свести к нескольким основным. В них объем рекламного бюджета рассчитывается:

в зависимости от величины оборота фирмы.

в зависимости от объемов  рекламных бюджетов фирм-конкурентов.

исходя из средств, оставшихся после распределения на все остальные нужды.

исходя из критерия оптимальности  затрат на рекламу.

А теперь подробнее.

I. Расчет рекламного бюджета в зависимости от оборота.                                                          В этих методах не без оснований полагается, что увеличение оборота фирмы пропорционально рекламным вливаниям.

1. Метод определения  объема рекламного бюджета в  процентах к объему сбыта [2].

В этом методе рекламный  бюджет оценивается относительно реально  существующего на данный момент оборота:

E_A=k*S₀, где

E_A - рекламный бюджет (затраты на рекламу);

k - сложившийся на рынке (или в самой фирме) показатель отчислений на рекламу относительно объема продаж;

S₀ - оборот фирмы на момент оценки рекламного бюджета.

Предположим, объем продаж фирмы составляет 500 тыс. долл. Сложившийся на рынке показатель процентного отчисления на рекламу от оборота равен 3%. Тогда рекламный бюджет составит 15 тыс. долл. (0.03 x 500).

Пожалуй, единственным достоинством данного метода является его простота. В остальном же этот метод недалеко ушел от принципа оценки рекламного бюджета, что называется “от балды”.

2. Метод определения  объема рекламного бюджета с  учетом целей и задач

Этот метод представлен  в [2] и [3]. Формализовать в линейном виде его можно следующим образом:

, где

p - стоимость одной, так называемой, рейтинговой единицы;

n₀ - количество рейтинговых единиц, необходимых для условно 100% охвата целевой аудитории;

S - желаемый уровень объема продаж;

S_max - максимальный уровень объема продаж (условно 100% охват целевой аудитории).

Допустим, S_max=100 тыс. долл., n₀=2000, p=10 долл. Тогда если фирма ставит целью достигнуть уровня объема продаж 75 тыс. долл., ей необходимо охватить рекламой 75% целевой аудитории (75/100), что потребует оплаты 1500 рейтинговых единиц (2000 x 0.75), что в свою очередь потребует 15 тыс. долл. (10 x 1500) рекламного бюджета.

3. Модель Юла  [4].

Приведем в общем  виде формулу для этой модели:

, где

p и n₀ имеют, по сути, те же значения, что и для метода 2.;

N_max - количество потенциальных клиентов фирмы-рекламодателя;

N - количество клиентов, которые станут постоянными клиентами данной фирмы;

k - отношение количества клиентов данной фирмы, ставших постоянными, к количеству клиентов, которые попробуют товар данной фирмы;

k₀ - отношение количества клиентов, которые попробуют товар данной фирмы, к количеству увидевших рекламу данной фирмы.

Нетрудно видеть, что  - это количество клиентов, попробовавших товар данной фирмы, а - это количество потенциальных клиентов, увидевших рекламу данной фирмы.

Пусть фирма хочет выйти на рынок  с новым видом сигарет. Рынок  состоит из 50 млн. курильщиков (N_max=50 млн.). Фирма хочет, чтобы на сигареты этой марки переключилось 4 млн. курильщиков (N=4 млн.). По расчетам маркетологов фирмы это будет составлять 40% от числа попробовавших сигареты данной марки (k=0.4, соответственно =10 млн.). Это в свою очередь будет составлять 25% от числа увидевших рекламу данной фирмы (k₀=0.25, соответственно =40 млн.). Таким образом, рекламой должно быть охвачено 80% потенциальных клиентов ( =0.8). Условно при охвате 100% потенциальных клиентов необходимо 4000 единиц рекламы (n₀=4000). Тогда для охвата 80% необходимо 3200 единиц рекламы ( =3200). Одна единица рекламы будет стоить 3 тыс. долл. (p=3 тыс. долл.). Тогда общий бюджет рекламной кампании должен составить 9600 тыс. долл.

Эта модель практически идентична  методу 2. за тем лишь исключением, что вместо величины оборота здесь используется величина количества клиентов, что в ряде случаев (как в случае с сигаретами) является достаточно оправданным.

4. Модель Видаля-Вольфа [2], [4].

Приведем формулу, которая  используется в этой модели как базовая:

, где 

S' - изменение уровня объема продаж по сравнению с текущим;

k₁ - константа реакции оборота на рекламу;

S_max - уровень насыщения рынка данным товаром (работой, услугой);

S₀ - текущий объем продаж;

k₂ - константа уменьшения объема продаж при отсутствии затрат на рекламу.

В этой формуле уже  появился свободный член ( ), который позволяет учесть сокращение оборота при отсутствии затрат на рекламу. Величина S_max аналогична одноименной величине из метода 2. Вычислив отсюда величину E_A, получим формулу для расчета величины рекламных затрат:

.

Например, фирма имеет оборот 50 тыс. долл. (S₀=50), через год оборот должен увеличиться еще на 50 тыс. долл. (S’=50), уровень насыщения рынка данным товаром составляет 500 тыс. долл. (S_max=500), k₁=8, k₂=0.1. Тогда величина рекламного бюджета E_A составит 7639 долл.

5. Модель ADBUDG [5].

В этом методе в качестве базовой используется следующая  формула: (1), где

P - доля рынка, которую желает занять фирма;

P_min - доля рынка, которую займет фирма при нулевой рекламе (E_A=0);

P_max - доля рынка, которую займет фирма при наивысшем уровне рекламы (E_A стремится к бесконечности);

g - коэффициент чувствительности функции реакции;

d - коэффициент ослабления.

Отсюда легко найти  величину рекламного бюджета:

.

Нетрудно заметить, что  величина доли рынка, занимаемой фирмой, есть не что иное, как отношение оборота фирмы к величине уровня насыщения рынка данным товаром (аналогична величине S_max из модели Видаля-Вольфа): . Тогда формула (1) преобразуется в , где

S - желаемый оборот фирмы;

S_min - оборот фирмы при нулевой рекламе;

S_max - оборот фирмы при наивысшем уровне рекламы.

Отметим общие недостатки, характерные для методов расчета рекламного бюджета в зависимости от оборота. Зависимость величины оборота от величины рекламного бюджета имеет либо линейный характер (как в первых 4-х методах), либо нелинейный характер (метод ADBUDG). В этих зависимостях присутствуют от 1-го до 4-х коэффициентов (как линейно зависимых, так и линейно независимых между собой). Чисто с математической точки зрения для нахождения этих коэффициентов необходимо, во-первых, знать количество точек зависимости S=f(E_A), равное количеству линейно независимых коэффициентов, а во-вторых, решить систему уравнений относительно этих коэффициентов. Однако если мы можем определить хотя бы одну точку зависимости S=f(E_A), тогда непонятно, почему нельзя определить необходимую нам точку. Так, например, для 2-го метода можно было бы непосредственно оценить, что для достижения уровня объема продаж в 75 тыс. долл. необходимо затратить на рекламу 15 тыс. долл. Для модели Юла точно так же можно было бы непосредственно оценить, что для привлечения 4 млн. курильщиков потребуется 9600 тыс. долл. рекламного бюджета. Для остальных методов ситуация аналогичная. Однако, допустим даже, что мы правильно определили величину рекламного бюджета исходя из величины оборота (текущего или желаемого). Но вряд ли есть основания считать, что величина желаемого оборота является оптимальной величиной. Она может быть как завышена (тогда часть рекламных расходов совершаются впустую), так и занижена (тогда при большей величине рекламного бюджета фирма имела бы рентабельность больше, чем получается при данной величине рекламного бюджета).

II. Расчет рекламного бюджета в зависимости от объемов рекламных бюджетов фирм-конкурентов.

В общем случае

(2), где 

E_Ai - рекламный бюджет i-й фирмы-конкурента;

N - количество фирм-конкурентов;

k - коэффициент пропорциональности между суммой рекламных бюджетов фирм-конкурентов и рекламным бюджетом данной фирмы.

К таким методам можно  отнести:

1. Метод оценки  рекламного бюджета с учетом практики конкурирующих фирм [4].

В этом методе объем рекламного бюджета рассчитывается как среднее  между объемами рекламных бюджетов фирм-конкурентов: 
.

Надо заметить, что этот метод вряд ли несет хоть какую-либо смысловую нагрузку. Допустим, что на рынке присутствуют две основные фирмы-конкурента. Первая тратит на рекламу 20 тыс. долл., а вторая - 100 тыс. долл. Нетрудно подсчитать, что этот метод дает величину рекламного бюджета 60 тыс. долл., хотя понятно, что все зависит от величины данной фирмы. Если эта фирма по величине сопоставима с первой фирмой, она вряд ли сможет позволить расчетную величину рекламного бюджета без ущерба для оборотных средств. Если же фирма сопоставима со второй фирмой, то для успешной конкуренции она может и должна тратить на рекламу больше расчетной величины.

 

2. Метод долевого  участия на рынке [4].

Этот метод в чистом виде использует формулу (2). Здесь k - это доля рынка, которую рассчитывает занять данная фирма. Кроме того, в данном методе необязательно оценивать величины рекламных бюджетов каждой фирмы-конкурента, а достаточно оценить суммарный объем рекламных вливаний по данному товару, работе или услуге.

В данном случае суммарный  объем рекламных вливаний по данному товару является величиной внешней для данной фирмы (т.е. определенной). Оценить эту величину можно более или менее точно. Однако гораздо более важно правильно оценить величину доли рынка (k), которую рассчитывает занять данная фирма. Именно от оценки этой величины и зависит, насколько величина рекламного бюджета будет оптимальной. А поскольку данный метод не дает способа оценки этой величины, ценность этого метода весьма сомнительна.

III. Расчет рекламного бюджета по остаточным средствам .

Величина рекламного бюджета рассчитывается, исходя из средств, оставшихся после использования  на все остальные нужды. Этот метод, по всей видимости, один из самых неудачных, так как низводит рекламную политику до уровня "падчерицы", причем абсолютно несправедливо. Вложения в рекламу ничем не отличаются от любых других вложений. Величина их рентабельности может быть как выше, так и ниже этих других (альтернативных) вложений. Поэтому и рассматриваться затраты на рекламу должны наравне с другими затратами.

IV. Расчет рекламного бюджета исходя из критерия оптимальности затрат на рекламу

Модель Данахера-Руста [6].

В основу данного метода положен алгоритм поиска оптимальной  величины рекламного бюджета по критерию максимума отношения эффективности  рекламы к затратам на нее. Это, пожалуй, первый метод, перед которым уже можно слегка приподнять шляпу.

В этом методе предполагается, что эффективность рекламы, выражаемая в относительной величине охвата целевой аудитории, зависит от затрат на рекламу следующим образом:

(3), где 

f - значение охвата целевой аудитории (при 100% охвате f=1);

E_A - величина затрат на рекламу (величина рекламного бюджета);

E_A0 - некий коэффициент, по смыслу равный величине затрат на рекламу, при которой эффективность рекламы равна нулю (f=0). Очевидно, что затраты на рекламу равные E_A0 и меньшие этого значения не имеют экономического смысла.

Нетрудно заметить, что 100% охват целевой аудитории (f=1) достигается при бесконечной величине затрат на рекламу (E_A стремится к бесконечности).

Конечно, трудно судить, насколько  эта зависимость близка к реальной, тем не менее, она, хоть и примитивно, но по смыслу верно определяет экономическую  суть соотношений между величинами охвата целевой аудитории и затрат на рекламу.

Дальше оптимизируется отношение величин охвата целевой  аудитории и затрат на рекламу:

(4).

Приравняв производную этой функции по E_A нулю и найдя величину E_A, получим оптимальную величину затрат на рекламу . Подставив это значение в выражение (4), получим максимальное значение отношения величин охвата целевой аудитории и затрат на рекламу и оптимальное значение охвата целевой аудитории f_opt=0.5 (50%).

Поскольку в формуле (3) присутствует только один коэффициент (E_A0), для его определения необходимо найти только одну точку зависимости f(E_A). Например, маркетологи фирмы определили, что при затратах на рекламу 25 тыс. долл. (E_A=25) охват целевой аудитории составит 88% (f=0.88). Из формулы (3) нетрудно найти величину коэффициента E_A0: =3. Соответственно оптимальная величина затрат на рекламу составит в данном случае 6 тыс. долл.

В оригинале этого  метода используется более сложный  вариант формулы (3):

(5), где 
k - коэффициент, позволяющий, во-первых, учесть скидки на рекламу при увеличении объема, а, во-вторых, более точно учесть падение эффективности рекламы при увеличении объема. С математической же точки зрения, введение дополнительного коэффициента просто позволяет более точно оценить зависимость f(E_A) не по одной точке (E_A1,f₁), как в предыдущем случае, а по двум точкам (E_A1,f₁) и (E_A2,f₂).

По сути, все остается прежним, лишь немного меняются оптимальные  значения (их нетрудно вычислить в  данном случае):

(6), 
, 
.

Поскольку в данном случае в исходной формуле используется 2 коэффициента, то для их определения необходимо найти уже не 1, а 2 точки зависимости f(E_A), а затем решить нелинейную систему 2-х уравнений:

, откуда можно найти коэффициенты k и E_A0:

, .

Например, маркетологи  фирмы определили, что при затратах на рекламу 5 тыс. долл. (E_A1=5) охват целевой аудитории составит 16% (f₁=0.16), а при затратах 25 тыс. долл. (E_A2=25) - 88% (f₂=0.88). Подставив эти значения, получим значения коэффициентов E_A0=4.32, k=1.21. Из формулы (6) находится оптимальное значение величины рекламного бюджета E_Aopt = 8.34 тыс. долл. Оптимальный охват целевой аудитории составит при этом f=0.55 (55%).

В оригинале этого  метода для характеристики затрат на рекламу используется некая промежуточная  величина общих рейтинговых единиц GRPs (Gross Rating Points). Чисто математически это не оправдано, поскольку между затратами на рекламу и количеством GRPs в методе устанавливается достаточно однозначное соответствие.

Теперь необходимо отметить, что функция f(E_A), аппроксимирующая зависимость величины охвата целевой аудитории от величины рекламного бюджета, может иметь и другой вид. Например, эту зависимость можно аппроксимировать функцией . Здесь так же, как и в формуле (5), f стремится к 1 при E_A стремящемся к бесконечности. Значения коэффициентов k и E_A0 аналогично находятся решением системы уравнений. Значение же E_Aopt в данном случае нельзя найти аналитически, что не мешает найти это значение методом подстановки. Для тех же значений f₁, f₂ и E_A1, E_A2 значение E_Aopt=10.39 тыс. долл. для данного вида аппроксимирующей функции. Оптимальный охват целевой аудитории составит при этом f=0.46 (46%).

Главная методологическая ошибка данного метода состоит, пожалуй, в том, что в качестве критерия принятия решения выступает максимум отношения величин охвата целевой аудитории и затрат на рекламу. Фактически это отношение эквивалентно рентабельности вложений в рекламу:

, где I - прибыль, обусловленная вложениями в рекламу E_A, с учетом этих затрат.

Пусть, например, рекламный  модуль в каком-либо издании стоит 5000 тенге, а прибыль, принесенная  этим рекламным модулем, составит 2500 тенге. Допустим, теперь, что модуль в 2 раза больший по площади стоит 10000 тенге., а прибыли он принесет 4000 тенге. Тогда рентабельность 1-го модуля составит 2500/5000=0.5 (50%), а рентабельность 2-го модуля составит 4000/10000=0.4 (40%). Если следовать критерию оптимальности, принятому в методе Данахера-Руста, нужно выбрать модуль, меньший по площади. Однако на самом деле все зависит от рентабельности альтернативных вложений. Ведь маленький модуль стоит тысячу рублей. А как можно использовать вторую тысячу рублей? Если рентабельность альтернативных вложений второй тысячи рублей составит величину меньшую 0.3 (<30%), тогда общая прибыль при вложении двух тысяч рублей будет меньше, чем при взятии большего по площади модуля. Например, рекламный модуль в другом издании будет стоить также 1000 руб., однако он принесет 200 руб. прибыли. Тогда общая прибыль составит 500+200=700 руб., что меньше 800 руб., которые получит фирма, если возьмет больший по величине модуль в первом издании.

Из приведенных выше рассуждений можно сделать следующий вывод. Если рекламные вложения самые рентабельные, то рекламный бюджет должен быть не ниже оптимальной величины по методу Данахера-Руста. Далее все зависит от величины альтернативных вложений. Чем менее они рентабельны по сравнению с рентабельностью рекламных вложений, тем больше должна быть величина рекламного бюджета относительно оптимальной величины по методу Данахера-Руста.

 

Глава 3 Простейшая математическая модель.

 

Фирма начинает рекламировать, новый товар или услугу. Разумеется, что прибыль от будущих продаж должна с лихвой покрывать издержки на дорогостоящую кампанию. Ясно, что вначале расходы могут превышать прибыль, поскольку лишь малая часть потенциальных покупателей будет информирована о новинке. Затем, при увеличении числа продаж, уже возможно рассчитывать на заметную прибыль, и, наконец, наступит момент, когда рынок насытится, и рекламировать товар далее не станет бессмысленно.

Модель рекламной кампании основывается на следующих основных предложениях. Считается, что величина dN/dt – скорость изменения со временем числа потребителей, узнавших о товаре и готовых купить его    (t-время, прошедшее с начала рекламной кампании, N(t) -число уже информированных клиентов).- пропорциональна числу покупателей, еще не знающих о нем, т.е. величине a₁ (t)(N₀ – N(t)), где N₀ – общее число платежеспособных потенциальных покупателей, a₁ (t)>0 характеризует интенсивность рекламной кампании (фактически определяемую затратами на рекламу в данный момент времени). Предполагается также, что узнавшие о товаре потребители тем или иным образом распространяют полученную информацию среди неосведомленных, выступая как бы дополнительными рекламными «агентами» фирмы. Их вклад равен величине a₁ (t)(N₀ – N(t)) и тем больше, чем больше число агентов. Величина a₂ (t)>0 характеризует степень общения покупателей между собой (она может быть установлена, например, с помощью опросов).

В итоге получаем уравнение

 

dN/dt=[a₁ (t)+ a₂ (t) N(t)](N₀-N).    (1)

 

При a₁ (t)>> a₂ N(t) из (1) получается модель типа модели Мальтуса, при противоположном неравенстве – уравнение логической кривой

 

dN/dt=N(N₀ – N), dt=a₂ (t)dt.

 

решением этого уравнения  является выражение

 

N(t)= N_p N(0) e^at  / (N_p N(0)(1- e^at  ) ).

 

Полученная аналогия вполне понятна, так как при построении данной модели и модели роста численности популяции использовалась одна и та же идея «насыщения»: скорость роста со временем какой-либо величины пропорциональна произведению текущего значения этой величины N(t) на разность N₀ –N(t) между ее равновесным (популяция) либо предельным (покупатели) и текущими значениями.

Аналогия между обоими процессами заканчивается, если в какой  то момент времени величина a₁   + a₂N становится нулевой или даже отрицательной (для этого необходимо, чтобы один или оба коэффициента a₁ (t),  a₂ (t) стали отрицательными). Подобный негативный эффект довольно часто встречается в рекламных кампаниях различного рода и должен побудить их организаторов либо изменить характер рекламы, либо вовсе отказаться от дальнейшей пропаганды. Мероприятия по увеличению популяции товара могут, в зависимости от значении величин a₁ (t), a₂ (t),

N(t), направляться на улучшение результатов как прямой (параметр a₁ ), так и косвенной(параметр a₂ ) рекламы.

Модель (1) лишена очевидного недостатка, присущего логическому  уравнению. Действительно, оно не имеет решений, обращающих в нуль в конечный момент времени (N(t)®0 t®-¥). Применительно к рекламе это означало бы, что часть покупателей еще до начала кампании уже знают о новом товаре. Если же рассмотреть  модель(1) в окрестности точки  
N(t=0) =  N(0) = 0 (t=0 – момент начала кампании), считая, что N<<N₀,      a₂ (t)N<<a₁ (t), то уравнение(1) принимает вид

 

dN/dt =  a₁ (t) N₀

 

и имеет решение

N(t) = N_{0    0} ò^t a₁ (t) dt,    (2)

 

Удовлетворяющее естественному  начальному условию при t=0.

Из (2) относительно легко  вывести соотношение между рекламными издержками и прибылью в самом  начале кампании. Обозначим через p величину прибыли от единичной продажи, какой бы она была без затрат на рекламу. Считаем для простоты, что каждый покупатель приобретает лишь одну единицу товара. Коэффициент  a₁ (t) по своему смыслу – число равнозначных рекламных действий в единицу времени (например, расклейка одинаковых афиш). Через s обозначим стоимость элементарного акта рекламы. Тогда суммарная прибыль есть

 

P = pN(t) = pN_{0    0} ò^t a₁ (t) dt,     (3)

 

А произведенные затраты

 

S = s  ₀ ò^t a₁ (t) dt.

 

Прибыль превосходит  издержки при условии pN₀ > s, и если реклама действенна и недорога, а рынок недостаточно емок, то выигрыш достигается с первых же моментов кампании (в реальности между оплатой рекламы, рекламным действием и последующей покупкой имеет место так называемый лаг – временная задержка, которая может быть учтена в более полных моделях). При не слишком эффективной или дорогой рекламе фирма на первых шагах несет убытки. Однако это обстоятельство, вообще говоря, не может служить основанием для прекращения рекламы. Действительно, выражение (3) и полученное с его помощью условие pN₀>s справедливы лишь при малых значениях N(t), когда функции P и S растут со временем по одинаковым законам. При увеличении N(t) отброшенные в (1) члены становятся заметными, в частности усиливается действие косвенной рекламы. Поэтому функция N(t) может стать более «быстрой» функцией времени, чем в формуле (3). Этот нелинейный эффект в изменении величины N(t) при неизменном темпе роста издержек дает возможность скомпенсировать финансовую неудачу начальной стадии кампании.

Поясним данное утверждение  в частном случае уравнение (1) с  постоянным коэффициентом a₁ ,a₂ . Заменой

N^’ = a₁ /a₂ + N

Оно сводится к логическому  уравнению

 

dN^’/dt = a₂ N^’(N^’₀ – N^’),    N^’₀ = a₁ /a₂ + N₀   (4)

 

имеющему решение

 

N^’(t) = [1+(N^’₀ a₂ /a₁ – 1) e ^{-N’0 a2 t} ]^-1            (5)

 

При этом N^’ (0) = a₁ /a₂ , так как N (0) = 0, и начальное условие выполняется. Из (4) видно, что производная функции N^’(t) и, следовательно, функции N(t) может при t>0 быть больше ее начального значения (при условиях N^’₀ > 2a₁ /a₂ или N₀ > a₁ /a₂). Максимум производной достигается при N^’ = N^’₀ /2, N^’ = (a₁ /a₂ + N₀)/2:

(dN^’/dt)_m = (dN/dt)_m = a₂ N^’₀² = a₂(a₁ /a₂ + N₀)² /4.

 

В этот период для текущей, т.е. получаемой в единицу времени  прибыли имеем

P_m = p*dN/dt = pa₂ (a₁ /a₂ + N₀)² /4.

 

Вычитая из P_m начальную текущую прибыль, получаем

 

P_m- P₀ = p(a₁ /Öa₂ - Öa₂N₀)² / 4,

 

Т.е. разница между  начальной и максимальной текущей  прибылью может быть весьма значительной. Суммарный экономический эффект от кампании (его необходимым условием является, очевидно, выполнение неравенства   P_m = p(a₁ /Öa₂ - Öa₂N₀)² / 4 >a₁ s) определяется всем ее доходом , характеристики которого вычисляются из (4), (5) с помощью квадратуры.

Как следует из (4), начиная  с некоторого момента, продолжать рекламу  становится невыгодно. Действительно, при N^’(t), близких к N^’₀ , уравнение (4) записывается в виде

dN^’/dt = a₂ N^’₀(N^’₀ – N^’).      (6)

Его решение стремится  при t®0 к предельному значению N^’₀ (а функция  N(t) – к N₀) по медленному экспоненциальному закону. В единицу времени появляется ничтожное малое число новых покупателей, и поступающая прибыль при любых условиях не может покрыть продолжающихся издержек.

Аналогичные характеристики вычисляются для уравнения (1) и  различных его обобщений, широко используемых также для описания внедрения технологических и  иных новшеств.

По функции (5) попробуем построить график зависимости экономического эффекта от коэффициентов a₁  и a_2. 

 

 

 

 

На первом графике  мы брали

a₁  и a₂ равными единице (=1).

График 1

На втором графике a₁ =2, а a₂=1.

Мы можем  заметить, что в первое

время график быстро возрастает,

 но последующее время он идет

по-горизонтали.

График 2

Третьи график постоянно  возрастает, но медленно (здесь не наблюдается  такого резкого скачка,  как во втором графике).

 

 

 

График 3    

Исследуя эти 3 графика  становится явным то, что в самом  начале рекламной кампании ее эффективность определяется значением прямой рекламы, а последующее время - действием косвенной рекламы.

 

Заключение

При написании данной работы, мы убедились в правильности нашей гипотезы: эффективность рекламной  кампании напрямую зависит от ее интенсивности (фактически определяемую затратами на рекламу в данный момент времени), и конечно, степенью общения покупателей между собой     (она может быть установлена, например, с помощью опросов). Графики, построенные нами, полностью характеризует эту зависимость.     Конечно, не стоит просто вкладывать большие деньги на рекламу и ждать когда придет клиент, надо убедиться в ее качестве, ведь реклама – это такое сильное средство, которое может помочь продвижению даже самого неконтурентноспособного товара.

 

Литература:

1. Самарский А.А., Михайлов  А.П.  Математическое моделирование.  М.:Наука. Физматлит. Москва 1997.

2. Краснощеков П.С., петров  А.А. Принципы построения моделей.  – М.:Изд-во МГУ, 1983.

3. Дж. Эндрюс, Р.Мак-Лоун. Математическое моделирование. Пер.с англ. – М.:Мир, 1979.

4. Петров А.А., Поспелов  И.Г., Шананин А.А. Опыт математического  моделирования экономики. - М.:Энергоиздат,1996.

5.Самарский А.А. Математическое  моделирование и вычислительный  эксперимент. Вестник АН СССР.-1979.

6. Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. «Финансово-математические модели» изд. «РГУНГ им .И.М. Губкина» 1997.

7.Батра Р., Маейрс Дж., Аакер Д.А. Рекламнвй менеджмент. М.:СПб.,Киев,1999.

8. Энджел Дж.Ф., Блэкуэлл Р.Д., Миниард  П.У. Поведение потребителей. М.:СПб., Киев.,1999.