Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Математическая статистика. 4

Раздел I

Математическая статистика. Определение понятий: генеральная совокупность, выборочная совокупность, повторная и бесповторная выборка в вариационный ряд.

Математическая статистика - это раздел прикладной математики, в котором рассматриваются методы отыскания законов и характеристик случайных величин по результатам наблюдений и экспериментов.

Основные задачи математической статистики.

1. Создание методов сбора и группировки обрабатываемого статистического материала, полученного в результате наблюдений за случайными процессами.

2. Разработка методов анализа полученных статистических данных.

3. Получение выводов по данным наблюдений.

Анализ статистических данных включает оценку вероятностей события, функции распределения вероятностей или плотности вероятностей, оценку параметров известного распределения, оценку связей между случайными величинами.

Математическая статистика опирается на теорию вероятностей и в свою

очередь служит основой для разработки методов обработки и анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.

Генеральная совокупность и выборка.

Основными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.

Генеральная совокупность – это совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины.

Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.

Не следует смешивать понятие генеральной совокупности с реально существующими совокупностями. Например, на склад поступила продукция некоторого цеха за месяц, что является реально существующей совокупностью, которую нельзя назвать генеральной, поскольку выпуск продукции можно мысленно продолжить сколь угодно долго.

Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть ее объекты должны достаточно хорошо отражать свойства генеральной совокупности.

Выборка может быть повторной, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Применяют различные способы получения выборки.

1) Простой отбор – случайное извлечение объектов из генеральной совокупности с возвратом или без возврата.

2) Типический отбор, когда объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из ее «типической» части.

3) Серийный отбор – объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а сериями.

4) Механический отбор - генеральная совокупность «механически» делится на столько частей, сколько объектов должно войти в выборку и из каждой части выбирается один объект.

Число объектов генеральной совокупности и число объектов выборки называют объемами генеральной и выборочной совокупностей соответственно. При этом предполагают, что (значительно больше).

Вариационные ряды

Полученные различными способами отбора данные образуют выборку, обычно это множество чисел, расположенных в беспорядке. По такой выборке трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования).

Для обработки данных используют операцию ранжирования, которая заключается в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, то есть наблюдаемые значения случайной величины располагают в порядке возрастания.

Пример 1. Дана выборка :

¦ Проведем ранжирование выборки :

После проведения операции ранжирования значения случайной величины объединяют в группы, то есть группируют так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины одинаковы. Каждое такое значение называется вариантом. Варианты обозначаются строчными буквами латинского алфавита с индексами, соответствующими порядковому номеру группы .

Изменение значения варианта называется варьированием.

Последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Число, которое показывает, сколько раз встречаются соответствующие значения вариантов в ряде наблюдений, называется частотой или весом варианта и обозначается , где - номер варианта.

Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется относительной частотой или частостью (долей) соответствующего варианта и обозначается или , где - число вариантов. Частость является статистической вероятностью появления варианта . Естественно считать частость аналогом вероятности появления значения случайной величины .

Дискретным статистическим рядом называется ранжированная совокупность вариантов с соответствующими им частотами или частостями .

Дискретный статистический ряд удобно записывать в виде табл.1.

Таблица 1 (для примера 1)

;

Характеристики дискретного статистического ряда:

1. Размах варьирования .

2. Мода - вариант, имеющий наибольшую частоту

( в примере 1. ).

3. Медиана - значение случайной величины, приходящееся на середину ряда.

Пусть - объем выборки.

Если , то есть ряд имеет четное число членов, то . Если , то есть ряд имеет нечетное число членов, то .

( в примере 1. ).

Если изучаемая случайная величина является непрерывной или число значений ее велико, то составляют интервальный статистический ряд.

Сначала определяют число интервалов , в зависимости от объема выборки, с помощью табл.2.

Таблица 2.

Объем выборки	25-40	40-60	60-100	100-200	более 200
Число интервалов	5-6	6-8	7-10	8-12	10-15

Затем определяют длину частичного интервала :

, где - шаг ; - число интервалов .

Более точно шаг можно рассчитать с помощью формулы Стерджеса:

, число интервалов .

Если шаг окажется дробным, то за длину интервала берут ближайшее целое число или ближайшую простую дробь (обычно берут интервалы одинаковые по длине, но могут быть интервалы и разной длины).

За начало первого интервала рекомендуется брать величину , а конец последнего должен удовлетворять условию . Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала шаг.

Просматривая результаты наблюдений, определяют сколько значений случайной величины попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения, большие или равные нижней границе интервала, и меньшие – верхней границы.

В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки .

Во второю строку статистического ряда вписывают количество наблюдений (где ) попавших в каждый интервал; то есть частоты соответствующих интервалов.

Подсчет частот для каждого интервала удобно проводить методом «конвертиков». Этот метод состоит в том, что попадание значения случайной величины в тот или иной интервал, отмечается точкой, а также и черточкой. В результате каждому десятку будет соответствовать фигура, похожая на конверт.

При вычислении интервальных частостей округление результатов следует производить таким образом, чтобы сумма частостей была равна 1.

Иногда интервальный статистический ряд, для простоты исследований, условно заменяют дискретным. В этом случае серединное значение -го интервала принимают за вариант , а соответствующую интервальную частоту - за частоту этого варианта.

1.2. Полигоны и гистограммы

Статистическое распределение изображается графически с помощью полигона и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами ; полигоном частостей – с координатами , где , .

Полигон служит для изображения дискретного статистического ряда.

Полигон частостей является аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей.

Гистограммой частот (частостей) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания которых расположены на оси и длины их равны длинам частичных интервалов , а высоты равны отношению:

- для гистограммы частот; - для гистограммы частостей.

Гистограмма является графическим изображением интервального ряда.

Площадь гистограммы частот равна , а гистограммы частостей равна 1.

Можно построить полигон для интервального ряда, если его преобразовать в дискретный ряд. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и ставят в соответствие интервальные частоты (частости). Полигон получим, соединив отрезками середины верхних оснований прямоугольников гистограммы.

Пример 2. Дана выборка значений случайной величины объема 20:

12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12

18, 17, 15, 13, 17, 14, 14, 13, 14, 16

Требуется: - построить дискретный вариационный ряд;

- найти размах варьирования , моду , медиану ;

- построить полигон частостей.

1) Ранжируем выборку : 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14,

15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19.

2) Находим частоты вариантов и строим дискретный вариационный ряд (табл.3)

Таблица 3.

Значения вариантов

Частоты

Частости

3) По результатам таблицы 3 находим:

, ,

4) Строим полигон частостей.

Пример 3. Результаты измерений отклонений от нормы диаметров

50 подшипников дали численные значения ( в мкм ), приведенные в табл. 4.

Таблица 4.

-1,760	-0,291	-0,110	-0,450	0,512
-0,158	1,701	0,634	0,720	0,490
1,531	-0,433	1,409	1,740	-0,266
-0,058	0,248	-0,095	-1,488	-0,361
0,415	-1,382	0,129	-0,361	-0,087
-0,329	0,086	0,130	-0,244	-0,882
0,318	-1,087	0,899	1,028	-1,304
0,349	-0,293	0,105	-0,056	0,757
-0,059	-0,539	-0,078	0,229	0,194
0,123	0,318	0,367	-0,992	0,529

Для данной выборки: - построить интервальный вариационный ряд;

- построить гистограмму и полигон частостей.

1. Строим интервальный ряд.

По данным таблицы 4 определяем: ;

Для определения длины интервала используем формулу Стерджеса:

Число интервалов .

Примем =0,6 , .

За начало первого интервала примем величину

Конец последнего интервала должен удовлетворять условию:

Действительно, ; .

Строим интервальный ряд (табл. 5).

Таблица 5.

Интервалы

Подсчет частот

Частоты

Частости

Интервалы

Подсчет частот

Частоты

;

Частости

Строим гистограмму частостей.

Вершинами полигона являются середины верхних оснований прямоугольников гистограммы.

Убедимся, что площадь гистограммы равна 1.

1.3. Эмпирическая функция распределения. График.

Пусть получено статистическое распределение выборки и каждому варианту из этой выборки поставлена в соответствие его частость.

Эмпирической функцией (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения частость события ,

- где - объем выборки, - число наблюдений, меньших .

При увеличении объема выборки частость события приближается к вероятности этого события. Эмпирическая функция является оценкой интегральной функции в теории вероятностей.

Функция обладает теми же свойствами, что и функция :

1. ;

2. -неубывающая функция;

3. , .

Пример.

Построить эмпирическую функцию и ее график по данным табл.1

1.4. Числовые характеристики выборки. Понятия обычных условных и центральных моментов. Метод произведения для вычисления выборки средней и выборочной дисперсии.

Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:

Выборочное среднее можно записать и так: ,

где - частость.

В случае интервального статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а - соответствующие им частоты.

Начальным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое - х степеней всех значений выборки:

или .

Из определения следует, что начальный выборочный момент первого порядка: .

Центральным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое - х степеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего :

или .

Из определения следует, что центральный выборочный момент второго порядка:

Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии.

При больших значениях вариантов и соответствующих им частот вычисление выборочного среднего, дисперсии и выборочных моментов по приведенным ниже формулам приводит к громоздким вычислениям.

В этом случае используют условные варианты , определяемые по формулам: , где числа и выбираются произвольно.

Чтобы упростить вычисления в качестве выбирают вариант, который имеет наибольшую частоту или находится в середине ряда. Число называется «ложным нулем». В качестве выбирают число равное длине интервала ( в случае интервального ряда) или наибольший общий делитель разностей .

Для вычисления числовых характеристик выборки составляем табл. 6.

Таблица 6.

Контроль:

С помощью сумм, полученных в нижней строке таблицы, находим условные моменты:

, ,

, .

Числовые характеристики выборки вычисляем по формулам:

; ; ;

; ,

где и находим по формулам:

1.5. Статистическая гипотеза: нулевая и конкурирующая, простая и сложная. Ошибки 1 и 2 рода.

Статистической гипотезой называется всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (то есть по результатам наблюдений).

Примеры статистических гипотез:

- математическое ожидание случайной величины равно конкретному числовому значению;

- генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Гипотезы могут быть параметрические (гипотезы о параметрах распределения известного вида) и непараметрические (гипотезы о виде неизвестного распределения).

Различают гипотезы простые, содержащие только одно предположение, и сложные, содержащие более одного предположения.

Например, гипотеза - простая;

а гипотеза : , ( где ) – сложная гипотеза, потому что она состоит из бесконечного множества простых гипотез.

Процедура сопоставления гипотезы с выборочными данными называется проверкой гипотезы. Для проверки гипотез используют аналитические и статистические методы.

Ошибки 1 и 2 рода.

В соответствии с поставленной задачей и на основании выборочных данных формулируется (выдвигается) гипотеза , которая называется основной или нулевой. Одновременно с выдвинутой гипотезой , рассматривается противоположная ей гипотеза , которая называется конкурирующей или альтернативной.

Для проверки нулевой гипотезы вводят специально подобранную случайную величину , распределение которой известно и называют ее критерием.

Поскольку гипотеза для генеральной совокупности принимается по выборочным данным, то она может быть ошибочной. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза , когда она на самом деле верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза , когда она на самом деле верна.

1) Для определения вероятности ошибки первого рода вводится параметр :

- вероятность того, что будет принята гипотеза , при условии, что верна.

Величину называют уровнем значимости. Обычно выбирают в пределах .

2) Вероятность ошибки второго рода определяется параметром :

- вероятность того, что будет принята гипотеза , при условии, что верна.

Величину , то есть недопустимость ошибки второго рода (отвергнуть неверную и принять верную гипотезу ) называют мощностью критерия.

1.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.

Пусть выборка из генеральной совокупности задана в виде статистического интервального ряда ряда:

где - интервальные частоты, - объем выборки,

- число интервалов, - длина интервала, - середина интервала.

Требуется проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, применяя критерий Пирсона. (К.Пирсон, 1857-1936 г; английский математик, биолог, философ).

Правило проверки

1. Вычисляем и ( см. Пример 5).

2. Находим теоретические частоты .

Их можно вычислить двумя способами.

Первый способ

где - объем выборки, - шаг, ;

- функция Гаусса, значение которой в точке

находим по таблице.

- вероятность попадания значений случайной

величины в - й интервал.

Для вычисления составляем табл. 7.

Математическая статистика. 4 📙 Реферат → 🆔 142086