Математическая статистика и её роль в медицине и здравоохранении. 2

«Узловский филиал Тульского областного медицинского колледжа»

  

 

 

 

 

 

Реферат  по математике на тему: «Математическая статистика и её роль в медицине и здравоохранении»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2014 г

-1-

Содержание:

Математическая статистика и её связь с теорией вероятности;

Основные задачи и понятия математической статистики;

Определение выборки и выборочного распределения;

Графическое изображение выборки;

Определение понятие полигона и гистограммы;

Санитарная (медицинская) статистика — отрасль статистической науки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2-

       1. Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Предмет и метод математической статистики.       

Статистическое описание совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по ее общим свойствам, совсем не требующим ее расчленения на отдельные объекты, с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные. С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (т. е. данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием не расчлененных образов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия ее образования и пр.     

Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистического метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, например, социально-экономическую статистику, физическую статистику, звездную статистику и т. п. в одну науку.

    Общие черты статистического метода в различных областях знания сводятся к подсчету числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количественных признаков, применению выборочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая

-3-

сторона статистических методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых объектов, и составляет предмет математической статистики.

Связь математической статистики с теорией вероятностей 

Связь математической статистики с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Теория вероятностей изучает не любые массовые явления, а явления случайные и именно «вероятностно случайные», т. е. такие, для которых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее теория вероятностей играет определенную роль и при статистическом изучении массовых явлений любой природы, которые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок. В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приемы их исследования.     

Более важную роль играет теория вероятностей при статистическом исследовании вероятностно случайных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы математической статистики, как проверка статистических гипотез, статистическое оценивание распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д. Область же применения этих более глубоких статистических методов значительно уже, т. к. здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определенным вероятностным закономерностям. Например, статистическое изучение режима турбулентных водных потоков или флюктуаций в радиоприемных устройствах производится на основе теории стационарных случайных процессов. Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам в виду того, что входящее в определение стационарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течении длительного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо.     

Вероятностные закономерности получают статистическое выражение (вероятности осуществляются приближенно в виде частот, а математические ожидания – в виде средних) в силу закона больших чисел.

-4-

2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИКИ

 

 Объект исследования — это область научных знаний, в пределах которой выявлена и существует изучаемая проблема, это процесс или явление, порождающее проблемную ситуацию и выбранное для изучения.

 Предмет исследования — отдельная проблема определенной области знаний, которую исследователь собирается изучать и анализировать.

 Цель исследования — это желаемый конечный результат исследовательской деятельности. Цель исследования определяет тактику организации научной деятельности.

Задачи исследования — это перечень проблем, которые должны быть всесторонне рассмотрены для полноценного анализа изучаемой темы.

Субъект — непосредственные исполнители медико-статистического исследования. Статистическая совокупность — группа относительно однородных элементов в конкретных условиях времени и пространства.

В зависимости от охвата единиц наблюдения статистическая совокупность может быть:

      – генеральная — состоит из всех качественно однородных единиц наблюдения, которые могут быть к ней отнесены в зависимости от целей исследования;

      – выборочная — часть генеральной совокупности, отобранная специальным выборочным методом и предназначенная для характеристики генеральной совокупности.

 

Общий обзор

В статистике популяция представляет целую группу индивидуумов, которые нас интересуют. Вообще, изучать целую популяцию довольно дорого и трудоемко, а в некоторых случаях просто невозможно, так как популяция может быть гипотетической, поэтому собирают данные по выборке индивидуумов, как предполагают, представителей этой популяции, и используют их для того, чтобы сделать выводы ( т.е. делать заключения) относительно этой популяции.

Когда берут выборку из популяции, имеют ввиду, что информация в выборке не может

-5-

полностью отражать то, что истинно в этой популяции. Возможна ошибка, обусловленная выборкой, так как изучалась только часть популяции. 

Далее мы разберем, как использовать теоретическое распределение вероятности для определения величины этой ошибки.

 

Репрезентативная выборка 

 

Репрезентативная выборка (representative sample) - одно из ключевых понятий анализа данных. Репрезентативная выборка - это выборка из генеральной совокупности с распределением F(x), представляющая основные особенности генеральной совокупности. 

Например, если в городе проживает 100 000 человек, половина из которых мужчины и половина женщины, то выборка 1000 человек из которых 10 мужчин и 990 женщин, конечно, не будет репрезентативной. 

Построенный на ее основе опрос общественного мнения, конечно, будет содержать смещение оценок и приводит к фальсификации результатов.

Необходимым условием построения репрезентативной выборки является равная вероятность включения в нее каждого элемента генеральной совокупности.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения  дает при большом объеме выборки достаточно хорошее представление о функции распределения F(x) исходной генеральной совокупности. 

 

Оценка параметров популяции: точечные оценки

Мы часто заинтересованы в оценке параметра в популяции, среднего или стандартного отклонения. Обычно обозначают среднее популяции как , а стандартное отклонение популяции как  .

В статистике принято обозначать популяционные параметры (генеральные) буквами греческого алфавита, а выборочные – соответствующими им буквами латинского алфавита, например,  и m , и  и т. д.

Мы оцениваем значение параметра, используя данные, собранные в выборке. 

-6-

Эта оценка – точечная оценка генерального параметра  ( т.е. она принимает только одно значение) в отличие от интервальной оценки, которая имеет интервал значений. 

Точечную оценку описывает выборочная статистика. 

Выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение 

Если повторить извлечение выборок того же самого объема из популяции, маловероятно, что оценки параметра популяции будут точно такими же в каждой выборке. Однако все оценки должны быть близки к истинному значению параметра (генеральному параметру) в популяции и подобны друг другу.  

Определяя величину вариабельности этих оценок, мы поймем, насколько они точны, и таким образом сможем оценить ошибку, обусловленную выборкой.  

Обычно берут только одну выборку из популяции. Однако можно использовать знания о теоретическом распределении выборочных оценок для того, чтобы сделать выводы относительно генерального параметра популяции. 

Выборочное стандартное отклонение s оценивается по наблюдаемой реализации выборки:

 

Стандартное отклонение отражает вариабельность в значениях данных и должно быть указано, если нужно пояснить изменчивость в наборе данных. 

 

 

 Выборочное распределение среднего, ошибка среднего 

Предположим, что мы заинтересованы в оценке среднего популяции; можно брать много повторных выборок объема n из популяции и оценить среднее в каждой выборке.

Если объем выборки разумно большой, оценки среднего имеют нормальное распределение при любом распределении исходных данных в популяции.

Данное утверждение следует из теоремы, известной как центральная предельная теорема:  

 → N (0,1) при n → ∞

 

-7-

Если объем выборки небольшой, оценки среднего отвечают нормальному распределению при условии, что данные в популяции также отвечают нормальному распределению;

Среднее этих оценок – несмещенная оценка истинного среднего в популяции

(генерального среднего), т.е. среднее этих оценок эквивалентно истинному среднему в популяции;

Вариабельность распределения выражается стандартным отклонением оценок, известным как стандартная ошибка среднего (часто обозначают как Standard Error Means, SEM). 

Если бы мы знали стандартное отклонение популяции σ, тогда стандартная ошибка среднего описывалась бы так:

 

В случае если есть, как обычно, только одна выборка, нашей лучшей оценкой среднего популяции будет выборочное среднее, а так как редко бывает известно стандартное отклонение в популяции (генеральный стандарт), то стандартную ошибку среднего оценивают следующим образом: 

 

где s – стандартное отклонение в выборке.

Стандартная ошибка среднего отражает точность нашей оценки.

Большая стандартная ошибка указывает, что оценка неточна;

Небольшая стандартная ошибка указывает, что оценка точна;

Стандартная ошибка уменьшится, т.е. мы получим более точную оценку, если:

Объем выборки увеличится;

Данные имеют небольшое рассеяние.

Итак, стандартная ошибка отображает точность выборочного среднего и должна быть указана, если интересует среднее значение набора данных.

 

-8-

3. Выборка (sample, set) — конечный набор прецедентов (объектов, случаев, событий, испытуемых, образцов, и т.п.), некоторым способом выбранных из множества всех возможных прецедентов, называемого генеральной совокупностью.

Если исследователь не имеет возможности управлять выбором прецедентов, то обычно предполагается, что выбор прецедентов случаен. Если же выбором

прецедентов можно управлять, то возникают задачи оптимального формирования выборки, см. также активное обучение, планирование экспериментов, выборочное обследование.

По каждому прецеденту собираются (измеряются) некоторые данные (data), образующие описание прецедента. Совокупность описаний всех прецедентов выборки является входной информацией для статистического анализа данных, интеллектуального анализа данных, машинного обучения.

Термины выборка (sample, set) и данные (data) взаимозаменяемы; иногда они употребляются вместе как один термин выборка данных (data set). Поэтому анализ данных можно понимать также как анализ конечных выборок. Основные цели анализа данных:

проверка гипотез относительно имеющейся выборки данных;

эмпирическая индукция — выявление общих закономерностей, присущих всей генеральной совокупности, по имеющийся выборке данных;

прогнозирование — формирование статистически обоснованных предсказаний относительно новых данных, которые ещё не наблюдались.

Вероятностная модель порождения данных

 

Случайная выборка

Вероятностная модель порождения данных предполагает, что выборка из генеральной совокупности формируется случайным образом. Объём (длина) выборки  считается произвольной, но фиксированной, неслучайной величиной.

Формально это означает, что с генеральной совокупностью  связывается вероятностное пространство , где  — множество всех

-9-

выборок длины ,  — заданная на этом множестве сигма-алгебра событий,  — вероятностная мера, как правило, неизвестная.

Случайная выборка  — это последовательность из  прецедентов, выбранная из множества  согласно вероятностной мере .

 

Однородная выборка

Выборка называется однородной, если все её прецеденты  одинаково распределёны, то есть выбраны из одного и того же распределения .

Независимая выборка

Выборка называется независимой, если вероятностная мера на  представима в виде произведения  вероятностных мер на , то есть для любой системы подмножеств 

 

Если на  существует плотность распределения , то независимость означает, что -мерная плотность распределения на  представима в виде произведения  одномерных плотностей:

 

Простая выборка

Простая выборка — это случайная, однородная, независимая выборка (i.i.d. — independent, identically distributed).

Эквивалентное определение: выборка  простая, если значения  являются реализациями  независимых одинаково распределённых случайных величин.

Простая выборка является математической моделью серии независимых опытов. На гипотезу простой выборки существенно опираются многие методы статистического анализа данных и машинного обучения, в частности, большинство статистических

-10-

тестов, а также оценки обобщающей способности в теории вычислительного обучения.

Также существует множество методов, не предполагающих однородность и/или независимость выборки, в частности, в теории случайных процессов, в прогнозировании временных рядов. Метод максимума правдоподобия позволяет оценивать значения параметров модели по обучающей выборке, в общем случае не требуя, чтобы выборка была однородной и независимой. Однако в случае простых выборок применение метода существенно упрощается.

Обучающая и тестовая выборка

Обучающая выборка (training sample) — выборка, по которой производится настройка (оптимизация параметров) модели зависимости.

Если модель зависимости построена по обучающей выборке , то оценка качества этой модели, сделанная по той же выборке  оказывается, как правило, оптимистически смещённой. Это нежелательное явление называют переобучением. На практике оно встречается очень часто. Хорошую эмпирическую оценку качества построенной модели даёт её проверка на независимых данных, которые не использовались для обучения.

Тестовая (или контрольная) выборка (test sample) — выборка, по которой оценивается качество построенной модели. Если обучающая и тестовая выборки независимы, то оценка, сделанная по тестовой выборке, является несмещённой.

Оценку качества, сделанную по тестовой выборке, можно применить для выбора наилучшей модели. Однако тогда она снова окажется оптимистически смещённой. Для получения не смещённой оценки выбранной модели приходится выделять третью выборку.

Проверочная выборка (validation sample) — выборка, по которой осуществляется выбор наилучшей модели из множества моделей, построенных по обучающей выборке.

 

 

-11-

 

 

-12-

5. Гистогра́мма (от др.-греч. ἱστός— столб + γράμμα — черта, буква, написание) — способ графическогопредставления табличных данных.

Количественные соотношения некоторого показателя представлены в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны. Чаще всего для удобства восприятия ширину прямоугольников берут одинаковую, при этом их высота определяет соотношения отображаемого параметра.

Таким образом, гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки.

Полиго́н часто́т (в математической статистике) — один из способов графического представления плотности вероятности случайной величины. Представляет собой ломаную, соединяющую точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов

 

6. Медицинская статистика (синоним: санитарная статистика, статистика в медицине и здравоохранении, медико-санитарная статистика, статистический метод в медицине и здравоохранении) - отрасль статистики, изучающая явления и процессы в области здоровья населения и здравоохранения.

Основные задачи медицинской статистики:

1) разработка специальных методов исследования массовых процессов и явлений в медицине и здравоохранении; 
2) выявление наиболее существенных закономерностей и тенденций в здоровье населения в целом и в различных его группах (возрастных, половых, профессиональных и др.); 
3) изучение и оценка состояния и динамики развития сети, деятельности учреждений здравоохранения и медицинских кадров.

Основой медицинской статистики являются общая теория статистики и математическая статистика.  
Важная роль в развитии теории и практики медицинской статистики принадлежит

-13-

математике, кибернетике,информатике, вычислительной технике, автоматизированным системам обработки информации.

В медицинской статистике выделяют следующие основные разделы:

1) общая теория и методы медицинской статистики (включают методологию медико-статистического исследования, т. е. совокупность специфических научных методов и приемов сбора, обработки, анализа и оценки медико-статистической информации); 
2) статистика здоровья населения (изучает показатели общественного здоровья и факторы, влияющие на них); 
3) статистика здравоохранения (изучает сеть и "кадры" здравоохранения, показатели их деятельности); 
4) применение методов медицинской статистики в управлении, в клинических, лабораторных, экспериментальных исследованиях.

Основные методы статистических исследований:

1) статистическое наблюдение (включая методы планирования и организации); 
2) группировка и сводка материалов наблюдения; 
3) методы первичной статистической обработки данных; 
4) метод выборочного медико-статистического исследования; 
5) методы математико-статистического анализа; 
6) статистическая оценка значимости различий сравниваемых показателей,  
исследование и оценка связей и взаимозависимостей, исследование динамики  
явлений и процессов, статистическое планирование эксперимента, прогнозирование.

Медико-статистическое исследование включает пять самостоятельных, но взаимосвязанных этапов:

1) планирование исследования (формулировка цели, разработка задач, программы и плана исследования); 
2) статистическое наблюдение (сбор материала для его последующей статистической обработки); 
3) статистическая группировка и сводка материалов наблюдения; 
4) первичная статистическая обработка данных; 
5) научно-статистический анализ, графическое и литературное оформление

-14-

результатов исследования.

Несмотря на наличие этапов, медико-статистическое исследование представляет собой единое, 
органически связанное целое, в основе которого лежит целостный, системный подход к изучаемому объекту.

I этап. Организационно-подготовительный этап или составление программы и плана статистического исследования.

1. выбор темы исследования (Тема исследования - это лаконичное, конкретное название, дающее общее целостное представление); 
2. постановка цели и задач исследования (Целью санитарно-статистического исследования может быть изучение различных сторон здоровья населения, деятельности системы здравоохранения для обоснования конкретных управленческих решений. Она должна быть сформулирована четко и быть ясной не только автору, но и другим специалистам. Задачи исследования - это конкретизированное, расширенное и уточненное определение цели.);

Пример. 
Цель исследования: Разработка мер профилактики и борьбы с курением у студентов-медиков. 
Задачи исследования: Изучение распространенности никотинизма среди студентов-медиков в начале и в конце обучения в вузе. Изучение причин и возраста начала курения.

3. формулировка гипотезы (Гипотезы - это обоснованное предположение о результатах исследования); 
4. определение научной новизны и научно-практической значимости (Научная новизна характеризует то, что впервые предлагается авторами исследования и ранее не было изучено. Научно-практическая значимость имеет теоретический и прикладной аспекты, включает медицинскую, социальную и экономическую направленность.); 
5. изучение истории проблемы (История проблемы - это изучение развития

-15-

теоретических знаний и практической деятельности по исследованию темы проблемы.); 
6. проведение информационного и патентного поиска (Информационный поиск - изучение тематических опубликованных материалов (до 10 лет). Могут ли результаты исследования "претендовать" на получение охранного авторского права (патента) для внедрения в клинический процесс определяет патентный поиск.); 
7. составление плана и программы исследования (План санитарно-статистического исследования - это порядок его проведения. Программа санитарно-статистического исследования - это перечень вопросов, подлежащих изучению.).

II этап. Сбор статистического материала. 
III этап. Разработка статистического материала. 
IV этап. Анализ полученных данных, выводы и предложения. 
V этап. Литературное оформление, графическое изображение и внедрение результатов исследований в практику.

Содержание плана санитарно-статистического исследования

1. Определение места исследования, то есть той территории, на которой проводится данное исследование. 
2. Определение сроков проведения исследования - составление календарного плана выполнения исследования, его отдельных этапов и элементов. 
3. Определение объема и метода исследования или характеристика объектов исследования. 
4. Определение вида исследования. 
5. Исполнители (кадры) для проведения исследования и их характеристика (численность и квалификация), под чьим руководством проводится исследование. 
6. Характеристика технического оснащения (требуемых материальных и финансовых средств, необходимое лабораторное оборудование и приборы, канцелярские товары, счетная техника. Указываются способы разработки полученного материала - ручная, машинная и т. д. ) 
7. Объект статистического исследования - статистическая совокупность (явлений, предметов, лиц), о которых будут собираться сведения: население, студенты

-16-

определенного института, госпитализированные больные в определенную больницу и т.п.

Для характеристики объекта исследования необходимо определить объем исследования, т.е. число наблюдений, включенных в исследование. В зависимости от цели исследования число наблюдений в нем будет различным.

Графическое изображение статистических показателей необходимо, так как:

1) дает наглядность представления статистических данных; 
2) увеличивает доказательность выводов; 
3) характеризует культуру научной работы.

Основные виды графических изображений статистических показателей:

1)диаграммы; 
2) картограммы и картодиаграммы.

Диаграммы - это изображение статистических данных при помощи линий и фигур.

Картограмма - это способ картографического изображения (но не карта), визуально показывающая интенсивность какого-либо показателя в пределах территории на карте (напр., плотность населения по областям). Данные могут наноситься на карту штриховкой различной густоты, окраской определенной степени насыщенности (фоновая картограмма) или точками (точечная картограмма)

Картодиаграмма — карта, показывающая с помощью диаграммной фигуры суммарную величину какого-либо статистического показателя в пределах каждой единицы нанесенного на картодиаграмму территориального деления (напр., количество населения по областям, площадь пахотных земель).

 

 

 

 

 

-17-

Список использованной литературы:

1. Елисеева И.И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 656 с.

2. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов / М.Р. Ефимова и др. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 368 с.

3. Мелкумов Я.С. Социально-экономическая статистика: учебно-методическое пособие. – М.: ИМПЭ-ПАБЛИШ, 2007. – 200 с. 

4. Салин В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 480 с.

5. Социально-экономическая статистика: практикум: учебное пособие / В.Н. Салин и др.; под ред. В.Н. Салина, Е.П. Шпаковской. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 192 с.

6. Статистика: учебное пособие / А.В. Багат и др.; под ред. В.М. Симчеры. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 368 с.

7. Статистика: учебник / И.И. Елисеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Высшее образование, 2008. - 566 с.

8. Теория статистики: учебник для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с.

19. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учебное пособие для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. – 416 с.