Математикалық сөйлемдер

Жоспар

 

I. Кіріспе................................................................................................................3-4

 

II. Негізгі бөлім

 

1. Математикалық сөйлемдердің құрылымы..........................................5-7

2. Нақты сандар..........................................................................................7-8

3. Нақты сандардың абсолют шамасы.........................................................8

4. Функция ұғымы......................................................................................8-9

5. Математика сабақтарында оқушылардың математикалық сауаттылығын қалыптастырудың теориялық негіздері..................................9-14

6. Графикалық сауаттылық – математикалық тіл дамуының бір жолы..................................................................................................................14-17

7. Мектеп математикасының тілі..........................................................17-19

 

III. Қорытынды......................................................................................................20

 

IV. Пайдаланылған әдебиеттер  тізімі..................................................................21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

«Математика» гректің  «ғылым, ілім» сөзінен алынған. Математика – жүйеленген, орнықты және мазмұны  ғасырлар бойы өзгеріске ұшырамаған ғылым. Мысалы, «Евклид геометриясы», «Пифагор теоремасы», «Пифагор сандары», «Архимед аксиомасы» т.т. математиканың  тарихи қалыптасуын сипаттайды және оның ерекше бір көрінісі болып табылады.

Математиканың заңдары мен  ережелері табиғаттан, өмірден алынған  және бүкіл адамзатқа ортақ.

Математика екі жағы бар  біртұтас ғылым. Біріншісі, санауға, есептеуге, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге, функцияларды зерттеуге, геометриялық фигуралардың қасиеттерін, ауданын, көлемін  есептеуге, формулаларды қорытып шығаруға арналған. Математиканың бұл жағын  әдетте «есептеу математикасы» деп  атайды. Математиканың екінші жағы «есептеу математикасына» қажетті  басқа сұрауларға жауап береді. Олар: математика қалай құрылған ғылым; анықтама, аксиома, теорема, дәлелдеу, салдар деген  не; есепті шығару үшін әрі қажетті  және әрі жеткілікті шарттар деген  не; есептің (сұраудың) бір-ақ шешуі (жауабы) болуы үшін қандай ал-ғашқы шарттар  қажет; басқа ғылым салаларының  бәрінде қолданылатын «математикалық модельдеу» деген не; алгоритм деген  не; математикалық методтар деген  не; шешуі жоқ есептер бола ма т.т.

Математикалық білімнің негізгі  мақсаты – заңға негізделген  дедуктивтік ой қорытындылауды қалыптастыру. Әдетте математиканың салаларының  барлығы алдын ала берілген аксиомаларға негізделіп құрылады. Сондықтан математиканы аксиоматикалық, дедуктивтік немесе алдын ала берілген жалпы пікірлердің  жеке пікірлерге ауысуы негізінде құрылған деп атаймыз. Ал, «аксиома» гректің  «пікір» деген ұғымын білдіретін термин. Ол басқа пікірлердің-теореманың дұрыстығын дәлелдеу үшін қолданылатын «заң», «негізгі қасиет» деген мағынаны береді.

Математиканың негізгі «құрылыс материалы» – объектісі не екендігі айтылмайтын абстракты – «сан», «нүкте», «жазықтық» сияқты ұғымдар. Олардың (объектілердің) арақатынасын көрсететін «тең», «тиісті», «рет», «арақашықтық», «қозғалыс» (физикадағы жылдамдық, үдеу, күш ұғымдарымен, байланысты қозғалыс емес) сияқты ұғымдары қолданылады. Енді осы объектілер мен олардың арақатынастарының  негізгі қасиеттерін көрсететін, өмірден алынған тиянақты ойды білдіретін сөйлемдер қабылданады. Бұлар аксиома  деп аталады.

Бұл аксиомалар (заңдар) саны шектеулі болады. Математика салаларының  аксиомалар жүйесіне үш талап қойылады: қайшылықсыз, тәуелсіз, толық болуы.

1. Егер жүйенің аксиомаларынан  логикалық жолмен бір-біріне қарсы  пікір шығара алмайтын болсақ, жүйені қайшылықсыз дейміз.

2. Егер жүйенің аксиомаларының  бірі басқаларының салдары болмаса  жүйені тәуелсіз дейміз.

3. Егер жүйені бұрынғы  аксиомаларға қайшы келмейтін  аксиомамен толықтыруға болмаса,  жүйені толық дейміз.

Кез-келген осы салаларға  тиісті математикалық пікірлердің (теоремалардың) дұрыстығын, шындығын осы заңдарға негіздеп қана көрсетуіміз  керек. Математиканың аксиомалар жүйесіне қойылатын осы 3 талап Ата заңымыз  – Конституцияға да қойылуы қажет, яғни түрлі кодекстеріміз де Конституцияға  негізделуі қажет. Еліміздің әрбір  азаматының заңға негізделген іс-әрекеті  мен ой-қорытындылауы құқықтық мемлекет құрудың негізгі стратегиясы  болып табылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математикалық сөйлемдердің құрылымы

 

Әңгіме не туралы болып жатса соны обьект дейміз. Әңгіме фигуралар немесе өрнектер туралы болып жатса, онда оны математикалық обьект дейміз. Обьектілер бір-бірімен математика амалдары арқылы өрнектелсе, онда мұны күрделі обьект дейді. Егер тәуелді және тәуелсіз сөйлемдер бірімен-бірі жалғастырылса, онда мұндағы ақпарды пайымдайтын сөйлемді математикалық сөйлем дейміз.

Математикалық сөйлемдер аксиома, анықтама, теорема, формула, ереже, заң тағы да сол сияқты атаулармен аталады. Математиканы репродуктивтік (айтқанды немесе оқығанды қайталау) әдісімен үйретіп жүрміз. Бұл тұрғыдан қарастырғанда оқушылардан математикалық табиғи тілде тұжырымдау талап етілмейді. Біздің алға қойған мақсатымыз оқушыларды ойлауға үйрету. Математикалық есептеменің маңызды бөлігін табиғи тілде оқушылардың өздеріне тұжырымдату кезінде тіл грамматикасы мен синтаксисінің заңдары пайдаланып бірнеше сөйлемдер біріктіріледі, жалпыланады, редакцияланады. Осы уақытқа дейін редакциялану проблемасы математиканы оқыту әдістемесінде қарастырмай жүр. Информатика түрғысынан сөз обьектілерінің іс-қимылдардың кодалары, ал болып жатқан құбылыстарды сипаттау кезінде бұл кодалар бір-бірімен тіл грамматикасы арқылы байланыстырады. Осы грамматиканы білмеген адам ойын басқаға жеткізе алмайды. Онда оның білімі өзіне де басқаға да пайдасы жоқ. Осыған орай керекті жерінде математика мен тіл грамматикасындагы зандылықтарды байланыстырып, ашық айтқанда, математикалық өрнектер мен тұжырымдалған ойларды табиғи тілге және керісінше аударып отырудың оқушылардың абстракциялық ойларын арттыруға бағытталған тура жол деп есептейміз. Бұл аударманы тіл проблемасын шешу үшін емес оқушылардың математикалық білімін қалыптастыруға тигізетін пайдасы мол болғандықтан да ұсынып отырамыз.

Оқушылардың тілі де, ойы да жетілмеген. Осыны ескеріп, алғашқы теоремалардың, анықтамалардың, тұжырымдамаларын бірден бере салмай лабораториялық жұмыс ұйымдастыру арқылы немесс оқыту ойындары арқылы сөйлемдердің мағынасын ашқызып, оқушының өздеріне математика тілінде жазылған ойларды тұжырымдатқызу керек. Ол үшін оқушы математикалық сөйлемдердің құрылымдары және бұлардың арасында қандай айырмашылық болатындығы туралы хабардар болуға тиіс.

Анықтама құрылымы: анықтама құрылымы екі бөліктен тұрады. Бірінші бөлігінде шарты деп аталатын тәуелсіз сөйлем, яғни фигураның (обьектінің) қасиеті пайымдалады да, екінші бөлігінде фигураға (обьектіге) атау беріледі.

Теорема құрылымы туралы оқушыларға күдік туғызатын мәселелер баршылық. Тұжырымдалған математикалық сөйлемде оның мағынасы толық ашылуы керек. Оқулықтарда теореманы «геометриялық фигуралардың қасиетін өрнектейтін және дәлеледейтін сөйлем» делінген. Бұл анықтамада теоремаға қатысты ой тұйықталмаған. Сондықтан төмендегідей ойлар туындап жатыр. Олар дәлелденетін математикалық сөйлемдердің барлығын математикалық теорема деп неге айтамыз? Қандай теореманы фигураның қасиеті, ол қандай теореманы оның белгісі деп айтады. Осы сияқты құрылымға қатысты оқушылардың мазалайтын сұрақтар математикада жеткілікті бола тұрса да әдіскерлер мен оқулық иегерлерінің үндері шықпай жатыр. Мәселелерді ашық-айқын бермеу түсінбеушілікті туғызады. Түсінбеушілік болғанда білім қалыптаспайды. Ойлауға үйрету әдістемесінің негізгі мақсаты көмескі ойды туғызбау. Теоремаға ұқсас есептерді теорема деп айтпайтынымыз олар жаттығу есептерінде сирек пайдаланылады. Есеп шығаруға көзделіп оларға аксиома, анықтама, теорема, формула тағы сол сияқты арнайы атаулар беріліп отыр деген түсініктеме берудің пайдасы барлығын өз тәжірибемізден байқадық. Оқушыныц жадына жеткізу әдісі теореманы өзіне тұжырымдатқызу. Тұжырымдау кезінде сөйлемдерді біріктіру, қажетті редакциялық түзетулер жасау сияқты процесстер оның ой өрісін дамытуға ықпал етеді. Теореманыц құрылымы туралы толық мағлұмат болғанда ғана ол теореманы өзі тұжырымдай алады. Теорема математикалық сөйлемдерден құрастырылады. Математикалық сөйлемдерде обьектілердің арасындағы немесе олардың арасындағы байланыс және солардан жасалатын қорытынды пайымдалады. Сонымен теоремага мынадай анықтама беруге болады: «Тәуелсіз және тәуелді математикалық сөйлемдерден құрастырылған жиі пайдаланылатын күрделі сойлемді теорема дейді. Тәуелсіз сөйлемді пайдаланатын күрделі сөйлемді теорема дейді. сойлемді пайдаланатын күрделі сөйлемді теорема дейді. Тәуелсіз сөйлемді теореманың шарты, ал тәуелді сөйлемді оның қорытындысы немесе талабы дейді.» Теоремадағы сөйлемдердің әрбіреуінің обьектілері әр түрлі де, бірдей болуы да мүмкін. Бұлардың бір-біріне тәуелділігіне, тәуелсіздігіне байланысты теоремаларды топқа бөлуге және құрылымдарындағы сөйлемдердің саны туралы да тиянақты пікір айтуға болады. Егер екі сөйлемнің обьектілері әр түрлі болса, онда теорема екі сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы, “егер жазықтық параллель екі түзудін біріне перпендикуляр болса, онда ол екінші түзуге де перпендикуляр болады” деген теорема шартының обьектілері жазықтық және екінші түзу. Түзулер әр түрлі болуына байланысты шарт пен қортының обьектілері де әр түрлі дейміз. Дұрыс түсіну түрғысынан қарастырғанда мұндай сөйлемдерде алғашқы кезде. «Егер ..., онда....» түрінде тұжырымдап кейінде қысқартып былай тұжырымдатқызуға болады. «Параллель екі түзудің біріне перпендикуляр жазықтық, екіншісіне де перпендикуляр». Егер екі сөйлемніц обьектілері бірдей болса, онда теорема бір сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы, «Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180º-қа тең» - деген теореманың шартының обьектісі бұрыштар, ал қорытындысынын обьектісі де сыбайлас бұрыштар. Екі сөйлемнен құрастырылған теореманың кез-келген тәуелсіз сөйлем үшін қабылдауға болады, яғни қорытынды мен шарттың орындарын ауыстырып жаза аламыз. Онда соңғы теорема алғашқыға кері деп аталады. Мысалы, «егер төртбұрыш параллелограмм болса, онда оның диагоналдары қиылысу нүктелерінде қақ бөлінеді (қорытынды)» - деген теореманың шарты мен қорытындысының орындарын ауыстырып «Төртбұрыштардың диагоналдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінсе, онда ол параллелограмм болады» деген біріншіге кері теорема аламыз. Теореманың екі бөлігін алмастыру арқылы әрқашанда кері теорема алынады деген ой оқушыға қалыптасуы мүмкін. Осындай теріс ойды оқушыға қалыптастырмау үшін сөйлем құрылымына талдау жасатқызу керек. Мысалы: Сыбайлас бұрыштар арқылы сипатталатын үш түзудің параллельдік белгісін алдымен математика тілінде жаздырып

 

<1=<2  1.а||в

 

<2=<3  2.в||с

 

Шарт пен қорытындысының орындарын ауыстырып кері теорема  аламыз.

 

1.а||в  <1=<2

 

2.в||с  <2=<3

 

(Т2) - ның қорытындысының екінші бұрышты қайталандырмай жазсақ, онда мына теорема аламыз.

 

1.а||в

 

2.в||с  => <1=<3

 

Түрлендіру (ТЗ) - ші (Т2) - ші теоремага кері бола алмайды. Ендеше ол (Т1 ) - шіге де кері теорема бола алмайды (ТЗ) – шінің қорытындысын түзулердіц орналасуы арқылы жазсак, онда

 

а||в

 

в||с  => а||в

 

Түйетіні: қорытынды мен шарттардын орындарын ауыстырсақ, онда бұл екеуі бір-біріне кері теоремалар бола алады. Ал бұлардың біреуінің қорытындысын түрлендіріп құрылымын өзгертсек, онда түрленген мен түрленбеген теоремалар өзара кері теоремалар бола алмайды.

 

Нақты сандар

 

Математикада негізінен  сандармен жұмыс істейтін болғандықтан олардың кейбір түрлерін келтірейік. Бүтін және оң 1,2,3...n ... сандарды натурал  сандары деп атайды. Оң және теріс, бүтін және  бөлшек, бөлшектердің  ішінде  ақырлы немесе шексіз периодтық  ондық бөлшектер жиыны рационал  сандары болады. Шексіз периодты емес ондық  бөлшектен тұратын, яғни  рационал емес сандарды иррационал сандары  деп атаймыз. Рационал және иррационал  сандар жиынтығы бірігіп нақты сандар деп аталады.

Нақты сандары мен сандар осі бойындағы  нүктелер арасында бір мәндік сәйкестік болады. Нақты  сандар өзара  шамаларымен  реттелген, яғни әрбір  екі нақты сан арасында келесі үш қатынастың біреуі орындалады  х<у,  х=у,   х>у

Нақты сандардың негізгі  қасиетінің бір: екі кез келген нақты  сан арасында рационал немесе иррационал сан табылады. Бұл  қасиет нақты сандарының үзілісіздігі.

 

Нақты сандардың  абсолют шамасы

 

Берілген х санының  абсолют  шамасы деп,  егер х≥0 болса, сол х санының өзі болады, егер х<0 болса абсолют шамасын анықтау  үшін

х-ке теріс таңба  қояды, яғни  

Абсолют  шамалардың қасиеттерін  келтірейік:

а) Екі санның қосындысың абсолют шамасы (модулі) олардын  абсолют шамаларының  қосындысынан аспайды: 

б) Екі саның айырымының абсолют шамасы  осы сандардың  абсолют шамалар айырымынан кем  болмайды:   

в) кез келген х және у  сандары үшін     және     теңдіктері орындалады.[kgl]

 

Функция ұғымы

 

Айталық Х және У нақты  сандардан тұратын жиындар болсын.

1-Анықтама.  Егер белгілі   бір ереже (заң) бойынша Х  жиынын құрастыратын әрбір нақты  х санына у жиынын құрастыратын  сандардың біреуі бірғана у  сәйкес келсе, онда Х жиынында  бір мәнді        функциясы  берілген дейді.

Мұнда Х жиынын функцияның анықталу  немесе берілу облысы,  ал У жиынын функцияның мәндерінің облысы, х-ті тәуелсіз  айнымалы немесе аргументі дейді.

2- Анықтама. Егер Х жиынында  анықталған  f(x) функциясы х-тің  Х жиынына енетін және х1<х2  теңсіздігін қанағаттандыратын   әр түрлі екі мәні үшін     теңсіздігі орындалса, яғни аргументің  үлкен мәніне  функцияның  үлкен  мәні сәйкес келсе, онда мұндай  функцияны үдемелі функция деп  атайды.

3- Анықтама . Егер Х жиынында  анықталған  f(x) функциясы х-тің  осы Х  жиынына енетін және  х1<х2  теңсіздігін қанағаттандыратын  әр түрлі екі мәні үшін     теңсіздігі орындалса, яғни аргументің  үлкен мәніне функцияның кіші  мәні сәйкес келсе, онда мұндай  функцияны кемімелі функция дейді.

 

 

Математика сабақтарында оқушылардың математикалық сауаттылығын қалыптастырудың теориялық негіздері

 

Білімді, өнерді, ақыл-ойды, іскерлік пен дағдыны меңгерудің қажеттілігін түсініп, талғамына қарай  таңдап тауып, игеруді өзі ұйымдастыру  сияқты іс-қимылды баланың орындауын  П.М. Эрдниевтің «Келешек тиімді математика оқулығы түсіндірілуі жүйеленген теориялар  мен жүйеленген жаттығулар негізінде  ғана құрылады» деген пікіріне сүйеніп  оқу материалы мен теорияны қолдану  әдісін, егжей-тегжейлі бірнеше санмен баяндайтын жаттығулардың кестесі  түрінде жүйелеуді жөн көрдік. П.М. Эрдниевтің тәжірибесінде есептің, санның, сызбаның, графиктің кестесі (матрица) жан-жақты қолданылған.

Материалды кестелерге жүйелеу  білімді бір мезгілде, бір орында суретпен, сөзбен, өрнекпен баяндау  мүмкіндігін береді.

Мұның өзі меңгерілген  білімнің беріктігін қамтамасыз етеді. Мате-матикалық білімнің негізін  қалайтын сандарға амалдарды орындауға  арналған кестелердің кейбіреулерінің  тақырыптарын келтіреміз. Олар:

- сандарды қосу және  азайту кестесі;

- сандарды разрядтық бірліктерден  құру кестесі;

- сандарды көбейту кестесі;

- саңдарды бөлу кестесі;

- сандарды жай көбейткіштерге  жіктеу кестесі.

Оқу материалының мазмұнын қайталауда санның, өрнектің, сөйлемнің, аралық бет орын ауыстырғанда өзгермейтін  мүшелері сыртқы қабатқа, өзгеретін  мүшелері аралық бетке таңбамен, сөзбен, белгімен, белгілеумен түсірілді. Кесте-лердегі  сан таңбасының дыбысталуы, өр-нектің ой тұжырымымен, амалдың суретпен үйлестірілуі үздіксіздіктің тұтас-тығын сақтауға ұмтылу еді.

Көбейту кестесінде суреттің көру алаңындағы санына сәйкес жазылатын  көбейтудің сандық өрнегінің қосудың  өрнегінен алынуы, кебейтіндіні есептеу  ережесінің қосындыны есептеуден шығуы, сол сияқты сандарды бөлуде, көбейту  өрнегінің бөлінгіштің шамасына қарай түрленіп қосарлануы, кестелер арасындағы секіруді оңайлататын көпір  болумен қатар, оқу материалдары арасындағы үздік-сіздіктің сақталуының  дәлелі, баланың білгені мен білуге тиістісінің айыр-машылығы мен ортақ  сипатын сөзге, іс-қимылға айналдыруының  тірегі.

Дидактикалық ойындар - балалардың математикалық білімдерін арттырудың құралы. Математика сабақтарында ойын-дарды  қолданудың түрлі жолдары бар. Ойынды сабақтың басында қолдану жаңа сабаққа немесе сұралатын үй тапсыр-масына оқушыларды түгел қатыстыру мақсатын көздейді. Егер ойынды сабақтың ортасында қолданса, онда оқушылардың көңіл-күйлерін сергіту, шаршағанды ұмыт-тырып, ерік-жігерін дамыту мақсатын көздейді.

Ойын сабақтың соңында  болса, тақырыпты бекіту не сол сабақтан алған білімді жинақтау мақсатында пайдаланылады. Ойын оқушылардың оқуға  деген ынтасын арттырудың маңызды  құралы. Сондықтан да бастауыш сынып  оқушылары сабақ үстінде ойынды көп қажет етеді. Оларға пайдаланатын ойындар оқушылардың жас ерекшеліктеріне  қарай күрделеніп отырады. Яғни алты жасарлармен ойналатын ойынның  мазмұны жеңіл болады, ал сыныбы жоғарылаған сайын, яғни екінші, үшінші, төртінші сынынтарда бұл ойынның  мазмұны күшейеді.

Мысалы: 1-ші сыныпта қарапайым  ғана ойын түрлерін ойнатсақ, сынып  жоғарылаған сайын, ойынның мазмұнын да баланың жас ерекшелігіне сай  пайдаланған дұрыс.

Олай болса ойындарды  пайдаланудың маңызы зор. Ойындарды математика сабақтарында қолдана отырып, балаларды саналы ойлантуға үйретеміз.

Нәтижесінде балалардың қаншалық-ты білім меңгергенін анықтауға  болады.

Мұндай ойынның көптеген түрлері бар. Сондықтан ойынды балалардың жас ерекшеліктеріне және өтілетін сабақтардың тақырыбына, мазмұнына  сай етіп таңдап алған дұрыс.

Бала ойын іс-әрекеті үстінде  қандай да білімді игеріп жатқанын, ал оқу үрдісінін өзінде қалай  ойынға ұласып кеткенін аңғармай қалуы  тиіс. Сонда ғана ойын және іс-әрекеттері табиғи бірлікте болып, пәндік білім, білік  және дағдыны игеруге толық ықпал  жасайды.

Мысалы: 1-ші сыныпта заттарды санауға және олардың екі тобын  салыстыруға, өлшеміне, пішіміне және түстеріне қарай ажыратуға үйрету мақсатында «Жеміс жинау» ойынын ойнатуға болады.

Сабақ материалына лайықталған  ойынды алып, тек қана оқушының орындай  алатын іс-әрекетімен шектелу жеткіліксіз. Мұнда ойынды ұйымдастырудың және басқарудың сипаты мен жолдары да жан-жақты  ойластырылуы керек.

Ойын да халық педагогикасының  құрамдас бір бөлігі болып табылады. Ұлттық ойындар халықтың әлеуметтік-экономикалық жағдайларына байланысты туып, дамығанына қазақ халқының ойындарымен таныса отырып, көзіміз әбден жетеді.

Бастауыш мектепте математиканы оқытудың мақсаты мен маңызы бастауыш сыныптардағы оқушылардың матема-тиканы оқыту теориясы мен техноло-гиясынан білім, білік және дағдыларын қалыптастыру барысы. Бастауыш мектепте математиканы оқытудың мақсаты мен маңызын  қарастыра отырып, оқытудың әдістері, ғылыми-педагогикалық әдебиет-терді, бағдарламаларды, математикадан оқулықтар мен оқу-әдістемелік құралдарды теориялық талдау; озат педагогикалық тәжірибені оқып-үйрену және жалпылау.

Математика әдістемесінің  басқа ғылым салаларымен /философия, логика, математика, педагогика, психология т.б/ байланысты. Қазақстан Республикасында  бастауыш мектепке арналған математика жаңа оқу-әдістемелік топтаманың ендірілуімен және оқытудың жаңа технологияларының  жасалуымен байланысты. Кеңестік дәуір  кезіндегі бастауыш мектеп математикасын  дәстүрлі оқытудың дамуына М.И. Моро, А.С. Пчелко, А.М. Пышкало, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова және т.б ғалымдар елеулі үлес қосқан. Аталмыш ғалымдардың  дайын-даған математиканы оқытудың ғылыми негіздері сол кездегі  оқу-әдістемелік топтамада қаланған. Осы авторлардың құралдары қайта  өңделіп және толықтырылып, ТМД елдерінде  қазіргі кезде де қолданылады.

80-90 жылдары дамыта оқыту  іс-әрекеттік және жеке тұлғалық  тұрғыдан қарау сияқты мәселелердің  дамуына орай бастауыш мектеп  математикасы әдіс-теменің қалыптасуына  Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Д.Б.  Эльконин, П.М. Эрдниев, Н.Б. Истомина  және т.б ғалымдардың еңбектері  елеулі роль атқарады. Кеңес дәуіріндегі  Қазақстан мектептерінде оқыту  орыс тілінде басылған дәстүрлі  оқулықтар мен оқу құралдары  жүзеге асырылды, сондай-ақ ішінара  лайықталаған оқулықтар да қолданылады.  Қазақстан Республи-касында 1997 жылдан  бастап жаңа технологиялар ескерілген  профессор Т.Қ.Оспановтың басшылығымен  авторлар ұжымының (Ш.Х. Құрманалина,  Ж.Т. Қайыңбаев, Б.М. Қосанов,  К.А. Ерешова, В.Я. Анисимова)  дайындаған жаңа оқу-әдістемелік  топтамасы тәжірибеге енді-рілді.  Аталмыш ғылымның қазіргі заман  даму тенденцияларына орай техноло-гияларын  енгізуді, әр түрлі нұсқадағы  ОӘТ-ны дайындау негізінде 12 жылдық білім беру жүйесіне көшуі.

Математиканы оқыту жұмысын  ұйымдастырудың басқа формаларын сабақтан тыс жеке оқушылармен жұмыс, топ  оқушыларымен өткізілетін сабақтар, үйге берілетін өзіндік жұмыс, экскурсиялар, сабақпен тығыз байланысты және соған  бағындырылған математикадан өткен  сабақтан тыс жұмыстар сабақта алған  білімді тереңдете және кеңейте  түсу мақсатымен және білімдеріндегі, білік-теріндегі және дағдыларындағы жою мақсатымен өткізіледі. Біріншіден, ол математикадан сыныптан тыс түрліше  жұмыстар жүргізу арқылы, екіншіден  пән жөнінен артта қалғандығы байқалған және сыныппен ілесіп кете алмайтын балалармен жеке және топқа  бөліп, оқу жұмысын өткізу ұйымдастырылады. Олқылықтар көбінесе оқушының ауру себебінен  оның жұмысына мұғалімнің көңіл аудармауынан, нерв жүйесі ерекшеліктерінің салдарынан, т.б. пайда болуы мүмкін. Сондықтан  мұғалім әртүрлі әдістерді қолданып, жұмыс жүргізеді.

Математикадан үйге берілетін  өзіндік жұмыс: оқушының өз бетімен  білімді игеріп алуына көмектеседі, мұғалім мен ата-ана оқушының біліп отыруына мүмкіндік береді, үйде баланың бос уақытын ұйымдастыруға көмектеседі. Оларда бағалы қасиеттерді қалыптастыруға көмектеседі.

Үй тапсырмасы жекелей  және топтық бола алады, оқушылардың  бірнеше топқа бөлініп, жалпы  сынып тапсырмасының бөлігі болып  қандай да бір тапсырмасының бөлігі болып қандай да бір тапсырманы орындайтын түрі. Мысалы: сан материалды жинау  кезінде 1 топ оқушы оқу құрал-жабдықтарының  бағаларын біледі, 2-ші тобы азық-түліктің бағасын, 3-ші топ ойыншықтардың бағаларын  біледі, т.с.с. Үйге берілетін оқу  тапсырмасын басқаруды мұғалім  оқушыларға нұсқау беру арқылы және орындалған жұмысты тексеру арқылы жүзеге асырылады. Үй тапсырмасын бергенде мұғалім  қысқаша нұсқауға көше отырып, түсіндіру  керек. Үй тапсырмасының көлемі өте  үлкен болмауы тиіс. Үй тапсырмасын  тексеру түрліше жолмен жүзеге асырылады. Жазбаша жұмыстарды мұғалім үйде де, сабақ кезінде сыныпта тексереді. Балаларға үйге берілетін оқу  ісіне байланысты жұмысты дұрыс  ұйымдастыру үшін, мұғалім оқушылардың  жанұясымен тығыз байланысты болуы  керек.

Экскурсия: бағдарлама тақырыбы бойынша істелетін жұмыстың бастамасы  болуы мүмкін. Оның мақсаты - оқушыларды оқып үйретілетін тақы-рыптарға қызықтыру, тақырып бойынша істелетін келесі жұмыс үшін қажетті материал жинақтауға көмектеседі. Мұндай экскурсияның мысалы: тас жолға немесе қаладағы көшеге экскурсия жасау болып табылады, бұл кезде оқушылар (3 сынып) қозғалысқа берілген есептерді шығару алдында  қозғалыстың әр түрімен танысады. Мысалы: шаманың арасындағы төмендегі  байланыстарды оқып үйрету кезінде  дүкенге экскурсия жасауға болады: баға-мөлшер құн, бір нәрсенің массасы - мөлшері жалпы масса, т.б. (2 сынып). Дүкенге экскурсия жасағанда  балалар сатып алу-сату процесін бақылайды, кейбір тәуелділіктерді  бақылайды, таразыны пайдалану ережесін білуі, т.с.с. экскурсияның міндеті - оқушының білімін бекіту және кеңейте түсу, бір сабақта және бірнеше сабақта  алған материалын жинақтау.

Математиканың бастауыш курсында мазмұнды есептердің алатын орны ерекше. Есепті шығару барысында оқушылар математикалық  жаңа білімдерді игеріп, практикалық  іс-әрекетке дайындалады. Мұндай есептер  олардың логикалық ойлау қабілетін дамытуға үлкен әсер етеді.

Сонымен қатар, мазмұнды есептерді  шығарудың оқушылардың жеке тұлға  ретінде қалыптасуында да тәрбиелік  маңызы зор. Сондықтан мұғалімнің мазмұндық  есептер туралы, оның құрылы-мы туралы кең түсігі болуы, ондай есеп-терді  әр түрлі тәсілмен шеше алуы керек.

Мазмұнды есеп қандай да бір ситуацияның кәдімгі тілмен осы ситуацияның бір компонетінің сандық сипаттамасын беруді талап етіп, оның компонеттерінің арасында қандай да бір қатысының бар жоқтығын тауып немесе қатынасының түрін  анықтап баяндау.

Кез–келген мазмұнды есеп екі бөлімнен тұрады: Шарты және талабы.

Есептің шартында объект және оның кейбір мәндері, объектіні сипаттайтын  белгілер, осы шамалардың белгілі  және белгісіз мәндері, олардың арасындағы қатыстар жөнінде айтылады.

Есептің талабы-нені табу керек  екендігін көрсету. Ол бұйрықты немесе сұраулы сөйлем түрінде көрсетіледі.

Есепті шешу-бұл есепте берілген айқын және жанама сандардың, шамалармен, олардың арасындағы қатыс-тарымен  логикалық дұрыс тізбектелген амалдар  мен операциялар арқылы есептің  талабын орындау.

Есептерді шығарумен таныстыру. Алдын ала дайындық жұмысын жүргізген  соң балаларды есептердің қарастырылып отырған түрін шығарумен таныстыруға  көшуге болады. Есептер шығаруға үйретудің  екінші кезеңінде есептермен жұмыс  істеу методикасында мына кезеңдердің  тәртібін сақтаған жөн.

І кезең – есептің мазмұнымен таныстыру;

ІІ кезең – есептің  шешуін іздеу;

ІІІ кезең – есепті шешу;

IV кезең – есептің шешуін  тексеру.

Бұл бөліп көрсетіп отырылған  кезеңдер өзара тығыз байланысты, әр кезеңдегі жұмыс негізінен  мұғалімнің басшылығымен жүргізіледі. Әр кезеңдегі жұмыс методикасын толығырақ қарастырамыз.

1. Есептің мазмұнымен таныстыру: есептің мазмұнымен таныстыру дегеніміз – оны оқып шығып, онда келтірілген жайттардың өмірде болатын ситуа-цияларын көз алдына келтіру. Есепті, әдетте, оқушылар оқиды. Мұғалім есепті тек балаларда есептің тексі жоқ жағдайда немесе олар оқи алмайтын кезде ғана оқиды. Есепті дұрыс оқи білудің маңызы зор: сан мәндерді және амалды таңдап алуға қажетті сөздерді, мысалы, «бар еді», «кетіп қалды», «қалды», «бірдей болды» т.с.с. сөздерді баса айту, есепке қойылатын сұрақты дауыс көтере айту. Егер есептің тексінде түсініксіз сөздер кездессе, онда оларды түсіндіру керек немесе, есепте айтылатын нәрселердің мысалы: бульдозер, шөп шапқыш машина т.с.с. суреттерін көрсету керек. Есепті балалар бір-екі рет, кейде одан көп оқып шығады, бірақ біртіндеп оларды есепті бір оқығанда есте сақтап қалатындай етіп үйрету керек, өйткені бұлай еткенде олар бірден зейін қоя оқитын болады. Есепті оқи отырып оқушылар есепте айтылған мәселелерді өмірде қалай болатынын көз алдарына келтіре білулері тиіс. Осы мақсатпен оқып болған соң есепте айтылғанды көз алдарына келтіріп, оны қалай көз алдарына келтіргендерін айтып берулерін (сөзбен айтып түсіндірулерін) ұсыну керек.

2. Есептің шешуін іздестіру: есептің мазмұнымен танысқаннан кейін оның шешуін іздестіруге кірісуге болады: оқушылар есепке кірістірілген шамаларды, берілген сандармен ізделінді сандарды айқындау білуі тиіс, берілген мәліметтер мен ізделіп отырған шамалардың арасындағы байланысты тағайындауы тиіс, сөйтіп осылардың негізінде сәйкес арифметикалық амалдарды таңдап ала білулері тиіс. Жаңа түрдегі есепті енгізгенде оның шешуін табу жұмысына мұғалім басшылық жасайды, сонан кейін мұны оқушылар өздігінен орындайды. Екі жағдайда да балалардың шамаларды, берілген және ізделіп отырған сандарды мүшелерге бөлуге көмектесетін, олардың арасындағы байланыстарды тағайын-дайтын арнайы әдістер пайдаланылады. Мұндай әдістерге есептерді иллюст-рациялау, есептерді қайталау, есепті шығару жоспарын талдау және оны құру жатады.

Осы әдістердің әрқайсысын қарастырамыз.

Есепті иллюстрациялау –  есепке енетін шамаларды, берілген және ізделіп отырған сандарды мүшелерге  бөлу үшін, сондай-ақ олардың арасындағы байла-нысты тағайындау үшін көрнекілік құралын пайдалану. Иллюстрация  нәрсе түрінде немесе схема түрінде  болуы мүмкін.

Бірінші жағдайда иллюстрация  ретінде есепте сөз болып отырған  не нәрселердің өзі немесе олардың  суреттері пайдалануы мүмкін; солардың көмегімен заттардың тиісті амалдары иллюс-трацияланады.

Мысалы, мына есепті иллюс-трациялау  керек: «Балалар төбешіктен төмен қарай  сырғанап ойнап жүр. Олардан 5 қыз  бала, 2 ер бала үйлеріне кетіп қалды. Барлығы қанша бала үйлеріне кетті?». Бұл жағдайда иллюстрация ретінде  балалардың өздерін пайдаланған  дұрыс: тақта алдына төбешіктен сырғанап жүрген балаларды кескіндейтін бір  топ оқушыны шақырып алып, олардың  «үйге кеткендерін» көрсетуге болады, демек, 5 қызды бір шетке шығарып  қояды, содан кейін 2 ер бала «үйлеріне  кетеді» (қыздарға барып қосылады). Сонымен жиындардың бірігуі иллюстрацияланады, сонда балалар кетті делінетін  болса да есеп қосу амалымен шығарылатын  оқушыларға белгілі болады (оқушылар бұл етістікті әдетте азайту амалына  байланысты қолданады). Заттардың өзінен де гөрі көбіне олардың суреті немесе басқа заттар пайдаланылады.

 

Графикалық сауаттылық – математикалық тіл дамуының бір

жолы

 

Қазіргі уақытта мектептерде  окылып жүрген математика оқулықтарында, соның ішінде геометрия оқулыгында көптеген анықтамалар, теоремалар, аксиомалар табиғи тілде жазылған. Ал табиғи тілде  пайымдалған математикалық сөйлемдердің мазмүнында айкындалмағандық ілесе  жүреді. Сол айқындалмағандықты жою  үшін табиғи тілде пайымдалған математикалык  сөйлемдерді математика тіліне аудару кажет. Математика тіліне аударылған пікірдің мазмүны нақтылана түседі де оны  окушы жақсы түсінеді. Математикада математика тілін меңгермей, табиғи тілде пайымдалған математикалық  сөйлемдердің немесе пікірдің мазмүнын толық түсіну қиын.