Mathematical constants
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Тульский государственный университет
Кафедра Иностранных языков
Реферат
” Mathematical constants “
Выполнил: ст. гр. 220531
Проверила:
2014
Contents
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
In computer culture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Antiquity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Computer era and iterative algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Adoption of the symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Motivations for computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Infinite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Spigot algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
История . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 В компьютерной культуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Теория чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
Античность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Компьютерная эра и итерационные алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Принятие символа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Мотивы для вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Бесконечные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Spigot алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
e
The number e is an important mathematical constant that is the base of the natural logarithm. It is approximately equal to 2.71828. And is the limit of (1 + 1/n)n as n approaches infinity, an expression that arises in the study of compound interest. It can also be calculated as the sum of the infinite series.
The constant can be defined in many ways; for example, e is the unique real number such that the value of the derivative (slope of the tangent line) of the function f(x) = ex at the point x = 0 is equal to 1. The function ex so defined is called the exponential function. Its inverse is the natural logarithm, or logarithm to base e. The natural logarithm of a positive number k can also be defined directly as the area under the curve y = 1/x between x = 1 and x = k. In which case, e is the number whose natural logarithm is 1. There are also more alternative characterizations.
Sometimes called Euler's number after the Swiss mathematical
Leonhard Euler. e is not to be confused with γ—the Euler – Mascheroni constant,
sometimes called simply Euler's constant. The number e is also known as Napier's constant. But
Euler's choice of the symbol e is said to have been retained in his honor. The
number e is of eminent importance in mathematics, alongside 0, 1, and i. All five of these numbers play important
and recurring roles across mathematics. And are the five constants appearing
in one formulation of Euler’s identity. Like the constant π, e is irrational: it is not a ratio of integers;
and it is transcendental: it is not a root of any non-zero polynomial with rational coefficients.
The numerical value of e truncated to 50 decimal places is 2.
History
The first references to the constant were published in 1618 in the table of an appendix of a work on logarithms by John Napier. However, this did not contain the constant itself, but simply a list of logarithms calculated from the constant. It is assumed that the table was written by William Oughtred. The discovery of the constant itself is credited to Jacob Bernoulli, who attempted to find the value of the following expression (which is in fact e):
.
The first known use of the constant, represented by the letter b, was in correspondence from Gottfried Leibniz to Christian Huygens in 1690 and 1691.Leonhard Euler introduced the letter e as the base for natural logarithms, writing in a letter to Christian Goldbach of 25 November 1731. Euler started to use the letter e for the constant in 1727 or 1728, in an unpublished paper on explosive forces in cannons, and the first appearance of e in a publication was Euler’s Mechanica (1736). While in the subsequent years some researchers used the letter c, e was more common and eventually became the standard.
In computer culture
In contemporary internet culture, individuals and organizations frequently pay homage to the number e.
For instance, in the IPO filing for Google in 2004, rather than a typical round-number amount of money, the company announced its intention to raise $2,718,281,828, which is e billion dollars. Google was also responsible for a billboard that appeared in the heart of Silicon Valley, and later in Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; and Austin, Texas. It read "{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com". Solving this problem and visiting the advertised (now defunct) web site led to an even more difficult problem to solve, which in turn led to Google Labs where the visitor was invited to submit a resume. The first 10-digit prime in e is 7427466391, which starts at the 99th digit.
In another instance, the computer scientist Donald Knuth let the version numbers of his program Metafont approach e. The versions are 2, 2.7, 2.71, 2.718, and so forth. Similarly, the version numbers of his TeX program approach π.
Number theory
The real number e is irrational. Euler proved this by showing that its simple continued fraction expansion is infinite.
Furthermore, by the Lindemann-Weierstrass theorem, e is transcendental. Meaning that it is not a solution of any non-constant polynomial equation with rational coefficients. It was the first number to be proved transcendental without having been specifically constructed for this purpose the proof was given by Charles Hermite in 1873.
It is conjectured that e is normal, meaning that when e is expressed in any base the possible digits in that base are uniformly distributed (occur with equal probability in any sequence of given length).
Antiquity
The Great Pyramid at Giza, constructed c. 2589–2566 BC, was built with a perimeter of about 1760 cubits and a height of about 280 cubits; the ratio 1760/280 ≈ 6.2857 is approximately equal to 2 ≈ 6.2832. Based on this ratio, some Egyptologists concluded that the pyramid builders had knowledge of and deliberately designed the pyramid to incorporate the proportions of a circle. Others maintain that the suggested relationship to is merely a coincidence, because there is no evidence that the pyramid builders had any knowledge of , and because the dimensions of the pyramid are based on other factors.
The earliest written approximations of are found in Egypt and Babylon, both within 1 percent of the true value. In Babylon, a clay tablet dated 1900–1600 BC has a geometrical statement that, by implication, treats as 25/8 = 3.1250. In Egypt, the Papyrus, dated around 1650 BC, but copied from a document dated to 1850 BC has a formula for the area of a circle that treats as (16/9)2 ≈ 3.1605.
In India around 600 BC, the Shulba Sutras (Sanskrit texts that are rich in mathematical contents) treat as (9785/5568)2 ≈ 3.088. In 150 BC, or perhaps earlier, Indian sources treat as ≈ 3.1622.
Two verses in the Hebrew Bible (written between the 8th and 3rd centuries BC) describe a ceremonial pool in the Temple of Solomon with a diameter of ten cubits and a circumference of thirty cubits; the verses imply is about three if the pool is circular.
Definition
is commonly defined as the ratio of a circle's circumference C to its diameter d:
The ratio C/d is constant, regardless of the circle's size. For example, if a circle has twice the diameter of another circle it will also have twice the circumference, preserving the ratio C/d. This definition of implicitly makes use of flat (Euclidean) geometry; although the notion of a circle can be extended to any curved (non-Euclidean) geometry, these new circles will no longer satisfy the formula = C/d. There are also other definitions of that do not mention circles at all. For example, is twice the smallest positive x for which cos(x) equals 0.
Properties
is an irrational number, meaning that it cannot be written as the ratio of two integers (fractions such as 22/7 are commonly used to approximate ). Since is irrational, it has an infinite number of digits in itsdecimal representation, and it does not end with an infinitely repeating pattern of digits. There are several proofs that is irrational; they generally require calculus and rely on the reductio ad absurdum technique.
Because is a transcendental number, squaring the circle is not possible in a finite number of steps using the classical tools of compass and straightedge.
is a transcendental number, which means that it is not the solution of
any non-constant polynomial with
Computer era and iterative algorithms
The development of computers in the mid-20th century again revolutionized the hunt for digits of π. American mathematicians John Wrench and Levi Smith reached 1,120 digits in 1949 using a desk calculator. Using an inverse tangent (arctan) infinite series, a team led by George Reitwiesner and John von Neumann that same year achieved 2,037 digits with a calculation that took 70 hours of computer time on the ENIAC computer. The record, always relying on an arctan series, was broken repeatedly (7,480 digits in 1957; 10,000 digits in 1958; 100,000 digits in 1961) until 1 million digits was reached in 1973.
Two additional developments around 1980 once again accelerated the ability to compute . First, the discovery of new iterative algorithms for computing , which were much faster than the infinite series; and second, the invention of fast multiplication algorithms that could multiply large numbers very rapidly. Such algorithms are particularly important in modern computations, because most of the computer's time is devoted to multiplication. They include the Karatsuba algorithm.
The iterative algorithms were independently published in 1975–1976 by American physicist Eugene Salamin and Australian scientist Richard Brent. These avoid reliance on infinite series. An iterative algorithm repeats a specific calculation, each iteration using the outputs from prior steps as its inputs, and produces a result in each step that converges to the desired value. The approach was actually invented over 160 years earlier by Carl Friedrich Gauss, in what is now termed the arithmetic–geometric mean method (AGM method) or Gauss–Legendre algorithm. As modified by Salamin and Brent, it is also referred to as the Brent–Salamin algorithm.
The iterative algorithms were widely used after 1980 because they are faster than infinite series algorithms: whereas infinite series typically increase the number of correct digits additively in successive terms, iterative algorithms generally multiply the number of correct digits at each step. For example, the Brent-Salamin algorithm doubles the number of digits in each iteration. In 1984, the Canadian brothers John and Peter Borwein produced an iterative algorithm that quadruples the number of digits in each step; and in 1987, one that increases the number of digits five times in each step. Iterative methods were used by Japanese mathematician Yasumasa Kanada to set several records for computing between 1995 and 2002. This rapid convergence comes at a price: the iterative algorithms require significantly more memory than infinite series.
Adoption of the symbol
The earliest known use of the Greek letter π to represent the ratio of a circle's circumference to its diameter was by mathematician William Jones in his 1706 work Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics. The Greek letter first appears there in the phrase "1/2 Periphery ()" in the discussion of a circle with radius one. Jones may have chosen π because it was the first letter in the Greek spelling of the word periphery. However, he writes that his equations for are from the "ready pen of the truly ingenious Mr. John Machin", leading to speculation that Machin may have employed the Greek letter before Jones. It had indeed been used earlier for geometric concepts. William Oughtred used and δ, the Greek letter equivalents of p and d, to express ratios of periphery and diameter in the 1647 and later editions of Clavis Mathematicae.
After Jones introduced the Greek letter in 1706, it was not adopted by other mathematicians until Euler started using it, beginning with his 1736 work Mechanica. Before then, mathematicians sometimes used letters such as c or p instead. Because Euler corresponded heavily with other mathematicians in Europe, the use of the Greek letter spread rapidly. In 1748, Euler used in his widely read work Introductio in analysin infinitorum (he wrote: "for the sake of brevity we will write this number as ; thus is equal to half the circumference of a circle of radius 1") and the practice was universally adopted thereafter in the Western world.
Motivations for computing
For most numerical
calculations involving , a handful
of digits provide sufficient precision. According to Jörg Arndt and
Christoph Haenel, thirty-nine digits are sufficient to perform most cosmological calculations
Infinite series
The calculation of was revolutionized by the development of infinite series techniques in the 16th and 17th centuries. An infinite series is the sum of the terms of an infinite sequence. Infinite series allowed mathematicians to compute with much greater precision than Archimedes and others who used geometrical techniques. Although infinite series were exploited for most notably by European mathematicians such as James Gregory and Gottfried Wilhelm Leibniz, the approach was first discovered in India sometime between 1400 and 1500 AD. The first written description of an infinite series that could be used to compute was laid out in Sanskrit. Verse by Indian astronomer Nilakantha Somayaji in his Tantrasamgraha, around 1500 AD. The series are presented without proof, but proofs are presented in a later Indian work, Yuktibhāṣā, from around 1530 AD. Several infinite series are described, including series for sine, tangent, and cosine, which are now referred to as the Madhava series or Gregory–Leibniz series. Madhava used infinite series to estimate to 11 digits around 1400, but that value was improved on around 1430 by the Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī, using a polygonal algorithm.
Spigot algorithms
Two algorithms were discovered in 1995 that opened up new avenues of research into . They are called spigot algorithms because, like water dripping from a spigot, they produce single digits of that are not reused after they are calculated. This is in contrast to infinite series or iterative algorithms, which retain and use all intermediate digits until the final result is produced.
American mathematicians Stan Wagon and Stanley Rabinowitz produced a simple spigot algorithm in 1995. Its speed is comparable to arctg algorithms, but not as fast as iterative algorithms.
e
Число е важная математическая константа, являющаяся основанием натурального логарифма. Оно примерно равно 2,71828. И является пределом из (1 + 1/n)n , а n к бесконечности, выражение, которое возникает при изучении сложных процентов. Оно также может быть рассчитано как сумма бесконечной серии
Константа может быть определена по-разному; например, e
такое уникальное вещественное
число, что значение производной (наклон
касательной) функции f(x) = ex в точке x = 0 равно 1. Функция ex определена как экспоненциальная
функция. Её инверсия является натуральным
логарифмом, или логарифмом по основанию е. Натуральный
логарифм положительного числа k тоже может быть определён
непосредственно как площадь под кривой у=1/х между х=1 и х
Иногда его называют числом Эйлера в честь Швейцарского математика Леонарда Эйлера. е не путать с γ – постоянной Эйлера-Машерони, которую иногда называют просто постоянной Эйлера. Число е также известно как постоянное Напье. Но Эйлер выбрал символ е, как говорят, в его честь. Число е имеет огромное значение в математике, наряду с 0, 1, и i. Все эти пять чисел играют важную роль и встречаются во всей математике. И являются постоянными, входящими в одну формулировку тождества Эйлера. Как и число π, е является иррациональным: это не отношение целых чисел; и оно трансцендентное: это не корень из любого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Численное значение е усечено до 50 десятичных знаков
2.71828 18284 59045 23536
История
Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в приложенной таблице логарифмов Джона Напье. Однако, она не содержит самой константы, а только список логарифмов, рассчитанных по ней. Предполагается, что таблица была написана Уильямом Отредом. Открытие постоянной зачисляется к Якобу Бернулли, который пытался найти значение следующего выражения (что на самом деле и является е):
.
Первое известное использование постоянной, обозначенной буквой б, обнаружено в переписке Готфрида Лейбница с Христианом Гюйгенсом в 1690 и 1691 годах. Леонард Эйлер применил букву е в качестве основы для натуральных логарифмов, написав это в письме к Христиану Гольдбаху 25 Ноября 1731 года. Эйлер начал использовать букву е для константы в 1727 или 1728 году, в неопубликованной работе о взрывных силах пушек, и первое появление е в издании Механика Эйлера (1736). В последующие годы некоторые исследователи использовали букву c, но е была более распространена, и в конечном итоге стала стандартом.
В компьютерной культуре
В современной интернет-культуре, частные лица и организации часто воздают должное числу е.
Например, в заявке на IPO Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег, компания объявила о своём намерении заработать $2.718281828, что равно е млрд. Google также был ответственным за рекламный щит, который появился в самом сердце Силиконовой долины, затем в Кембридже, штат Массачусетс; Сиэтле, штат Вашингтон; и Остине, Техас. В нем говорилось "{первые 10 знаков найдены в последовательности цифр е}.com". Решение этой проблемы и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) веб-сайта привело к ещё более сложной проблеме, которая, в свою очередь, привела к Google Labs, где посетителю предлагалось предоставить резюме. Первые 10 цифр из е - 7427466391, которые начинаются на 99-й разряд.
В другом случае, компьютерный учёный Дональд Кнут давал номера версиям своей программы Метафонт как приближение к е. Версии 2, 2,7, 2,71, 2,718, и так далее. Аналогично, номера версий его программы TeX приближаются к .
Теория чисел
Вещественное число е является иррациональным.
Эйлер доказал это, показав,
что его простая цепная дробь бесконечна. Кроме
того, по теореме Линдеманн-Вейерштрасса, е явля
Предполагается, что е является нормальным, это означает, что, когда е выражается в любом возможном базисе, цифры этого базиса равномерно распределены (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности данной длины).
Античность
Великая Пирамида
в Гизе, построенная c. 2589-2566 до н.э., имеет
периметр около 1760 локтей и высоту около
280 локтей; соотношение 1760/280 ≈ 6.2857 примерно
равно 2 ≈ 6.2832.
На основе этого коэффициента, некоторые
египтологи пришли к выводу, что строители
пирамид знали о и намеренно включили
пропорции круга в пирамиду. Другие утверждают,
что это просто совпадение, поскольку
нет доказательств, что строители пирамид
знали о , и потому,
что размеры пирамиды основаны
на других факторах.
Самые ранние письменные значения найдены в Египте
и Вавилоне, как в пределах 1% истинной
стоимости. В Вавилоне, глиняная табличка, от 1900-1600 г. до н. э. геометрически
определяет как
25/8 = 3.1250. В Египте, Папирус, датированный
примерно в 1650 году до н.э., но скопированный
из документа, датированного 1850 г. до н.
э. содержит формулу площади круга, которая
определяет как
(16/9)2 ≈ 3.1605.
В Индии около 600 г. до н.э., тексты на санскрите,
богатые математическим содержанием,
определяют как
(9785/5568)2 ≈ 3.088. В 150 году нашей эры, или, может
быть, и раньше, индийские источники определяют ≈ 3.1622. Два стиха в Библии на иврите (в письменной
форме между 8-м и 3-м веках до н.э.) описывают
торжественный бассейн в Храме Соломона
диаметром в десять локтей и окружностью
тридцать локтей; стихи определяют около трех, если бассейн круглый.
Определение
обычно определяется отношением длины
окружности C к его диаметру (d):
Соотношение C/d является постоянным, независимо
от размера круга. Например, если круг
имеет диаметр в два раза больше диаметра
другого круга, он также будет иметь в
два раза большую длину окружности, сохраняя
соотношение C/d. Это определение неявно использует плоскую (евклидову) геометрию; хотя понятие
окружности может быть распространено
на любую изогнутую (неевклидову) геометрию,
эти круги, больше не удовлетворяют формуле = C/d. Существуют
и другие определения , которые не упоминают
о кругах. Например, в два
раза меньше положительного x, при cos(x)
равном 0.
Свойства
-это иррациональное число, означающее, что оно не может быть записано в виде отношения двух целых чисел (фракций, таких как 22/7, которые обычно используются для приближенного ).Так как иррационально, оно имеет бесконечное число цифр в его десятичной записи, и оно не заканчивается с бесконечно повторяющимся узором цифр.
это трансцендентное число, а значит это не решение любого непостоянного многочлена с рациональными коэффициентами, такого как . Трансцендентность имеет два важных следствия: во-первых, пи не может быть выражена с помощью любой комбинации из рациональных чисел и квадратных корней, или n-х корней, во-вторых, невозможно решить задачу о "квадратуре круга". Другими словами, невозможно построить с помощью только циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. "Квадратуре круга " была одной из важнейших задач по геометрии классической древности. Любители математики в современной эпохе, иногда пытались решить данную задачу, и иногда утверждали об успехе, несмотря на то, что это невозможно.
Компьютерная эра и итерационные алгоритмы
Развитие компьютеров в середине 20-го
века снова спровоцировали охоту за цифрами
числа пи. Американские математики Джон
Ренч и Леви Смит достигли 1120 цифр в 1949
году, используя настольный калькулятор.
С помощью арктангенса (arctg) бесконечного
ряда, команда под руководством Джорджа
Ритвиснера и Джона фон Неймана в том же
году расчитала 2037 цифр с расчётом семидесяти
часов компьютерного времени на компьютер
ENIAC. Запись, рассчитывая на arctg серии, была
нарушена неоднократно (7,480 знаков в 1957
году; 10 000 знаков в 1958 году; 100 000 знаков
в 1961 году) до 1 млн. знаков была рассчитана
ещё в 1973 году.
Два дополнительных события в районе 1980
года снова ускорили возможность вычисления . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов
для вычислительных пи, которые были намного
быстрее, чем бесконечные ряды; и во-вторых,
изобретение быстрых алгоритмов умножения,
которые могли бы увеличивать число очень
быстро. Такие алгоритмы особенно важно
в современных вычислениях , потому
что большинство времени компьютера
посвящено умножению. Они включают в себя
алгоритм Карацуба.
Итерационные алгоритмы были опубликованы
в 1975-1976 американским физиком Евгением
Саламиным и австралийским ученым Ричардом
Брентом. Они избегают зависимости от
бесконечных рядов. Итеративный алгоритм
повторяет конкретное вычисление каждой
итерации с использованием выходных сигналов
от предшествующих этапов и даёт результат
на каждом этапе, который сходится к необходимому
значению. Подход на самом деле был изобретён более 160 лет назад Карлом
Фридрихом Гауссом, который сейчас называется
арифметико-геометрическим средним (AGM
метод) или алгоритм Гаусса-Лежандра, с
изменениями Саламина и Брента, он также
упоминается как Брент-Саламин алгоритм.
Итерационные алгоритмы широко использовались после 1980 года, так как они быстрее, чем бесконечные ряды алгоритмов: а бесконечный ряд, как правило, увеличивает количество правильных цифр аддитивно в ряду, итерационные алгоритмы, как правило, умножают количество правильных цифр на каждом шагу. Например, Брент-Саламин алгоритм удваивает количество цифр в каждой итерации. В 1984 году Канадские братья Джон и Питер Борвейна произвели итерационный алгоритм, который в четыре раза увеличивал количество цифр в каждом шаге, а в 1987 году, который увеличивал количество цифр в пять раз в каждом шаге. Итерационные методы были использованы японским математиком Ясумасой Канадой, чтобы задать несколько записей для вычисления между 1995 и 2002 годами. Эта быстрая сходимость имеет свою цену: итерационные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные ряды.
Принятие символа
Самое ранее известное использование греческой буквы для представления отношения длины окружности к её диаметру было математиком Уильямом Джонсом в 1706 году в его работе Synopsis Palmariorum Matheseos; или Новое Введение в Математику. Впервые греческая буква появилась во фразе "1/2 Периферии ()", половина круга единичного радиуса. Джонс, возможно, выбрал π, потому что это был первый случай в греческом написании слова периферии. Тем не менее, он пишет, что его уравнения для от "готового пера действительно гениального Джона Машина", а следовательно Мачин, возможно, уже использовал греческую букву перед Джонсом. Она действительно использовалась ранее для геометрических понятий. Уильям Отред использовал и , эквивалентные греческим p и d, чтобы выразить соотношение периферии и диаметра в 1647 году и более поздних выпусках Clavis Mathematicae.
После Джонс представил греческую букву в 1706 году, но она не была принята другими математиками до тех пор, пока Эйлер не начал использовать её, начиная с 1736 в работе Mechanica. До этого математики иногда использовали буквы, такие как c или p. Эйлер вёл много переписок с другими математиками Европы, поэтому греческая буква распространилась очень быстро. В 1748 году Эйлер использовал Pi в своей широко читаемой работе "Введение в анализ бесконечно малых" (он писал: "для краткости мы будем обозначать это число, как ; так как равна половине длины окружности радиуса 1") и это было повсеместно принято впоследствии в западном мире.
Мотивы для вычисления
Для большинства численных расчётов, связанных с несколько цифр обеспечивают достаточную точность. По словам Йорга Арндта и Кристофа Хейнела, тридцать девять цифр достаточно для выполнения большинства космологических расчётов. Несмотря на это, люди работали усердно над вычислением тысяч и миллионов цифр числа пи. Эти усилия могут быть частично приписаны к тяге человека побить рекорды, и такие достижения с часто попадают в заголовки во всем мире. Обширные расчёты были также использованы для тестирования суперкомпьютеров и высокоточных алгоритмов умножения.
Бесконечные ряды
Расчёт был революционизирован путём развития бесконечных рядов в 16 и 17 веках. Бесконечный ряд является суммой условий бесконечной последовательности. Бесконечные ряды позволили математикам вычислить с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, которые использовали геометрические методы. Хотя бесконечные ряды использовались для вычисления особенно европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц, подход был впервые обнаружен в Индии где-то между 1400 и 1500 годами. Первое письменное описание бесконечного ряда, который может использоваться, чтобы вычислить , был заложен в Санскрите в стихе Tantrasamgraha индийского астронома Nilakantha Somayaji, примерно в 1500 году. Не было представлено никаких доказательств, но они были представлены в более поздней индийской работе, Yuktibhāṣā, приблизительно 1530 года. Несколько бесконечных рядов описаны, в том числе синус, косинус, тангенс, которые сейчас называют ряд Madhava или ряд Грегори-Лейбница. Ряд madhava оценивал до 11 цифр около 1400 года, но это значение было улучшено около 1430 года персидским математиком Jamshīd Аль-Kāshī, с помощью полигонального алгоритма.
- Mathematical Realism And Its Discontents Essay Research
- Math In Everyday Life Essay Research Paper
- Matilda Essay Research Paper MATILDABUFFYOut of all
- Matilda Essay Research Paper MatildaToo smart for
- Matilda Essay Research Paper Squinting her eyes
- Matisee Essay Research Paper Matisse Henri mile
- Matlab программасында жұмыс
- Master thesis proposal
- Mata Hari Essay Research Paper During the
- MatCad бағдарламасымен жұмысы
- Materialism Essay Research Paper MaterialismYes Americans are
- Materialism In Death Of A Salesman Essay
- Materialist Response To David Chalmers
- MATHCAD
