Механика жидкости и газа. 2

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

 

    Уравнения  математической  физики  распространяются  на многие разделы физической науки. Это такие разделы как, например механика сплошной среды, механика твердого тела, механика жидкости газа и плазмы.

    Предметом  механики жидкости и газа является модель сплошной деформируемой среды,  обладающей, в отличие от упругого тела, неограниченной деформируемостью - текучестью. То есть в основе газогидродинамической модели лежит фундаментальное  предположение о "сплошности  среды".  Как  известно,  любая среда дискретна - она состоит из отдельных микрочастиц (атомов, молекул, ионов, электронов  и т.д.),  расстояния между которыми во много раз превышает их собственные размеры.  Эти частицы хаотически движутся, сталкиваясь  друг  с другом.  Расстояние,  пройденное частицей за время между двумя столкновениями, называется длиной свободного пробега. Эта длина тем меньше,  чем больше частиц заключено в единице объема среды, т.е. чем больше ее плотность.

    Количественным  критерием  применимости  приближения  сплошной среды может служить неравенство  l / L << 1, где l -длина свободного пробега, L-характерный размер задачи.  Например, корабль идет по морю,  или летит в воздухе самолет. Здесь ясно, что длина свободного  пробега молекул в жидкости много меньше длины корабля. Точно также длина свободного пробега молекул в газе много меньше длины самолета. Поэтому здесь критерий сплошности среды выполняется с хорошей точностью.

    Для  воздуха в одном (мм)³  содержится  2.7·10¹⁶  молекул, а размер тела и его элементов достигают существенно больших величин. Это позволяет ввести гипотезу сплошности  изучаемой  среды  и считать массу среды  непрерывно  распределенной  по  объему. 

    Предположение  о  сплошности среды в газовой динамике и гидродинамике берет свое начало от Эйлера,  который впервые стал рассматривать газ и жидкость как непрерывную, легко деформируемую материю.

    В  математическом отношении предположение о сплошности, непрерывности среды позволяет взять на вооружение достаточно хорошо разработанный аппарат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное исчисление.

    Рассмотрим  ряд общих для всех жидкостей  и газов  механических свойств,  которые отличаются от свойств твердых и упругих тел.

    Газ   не  имеет ни формы, ни объема и стремится заполнить весь замкнутый объем.

    Жидкость - это физическое тело, которое  характеризуется некоторым объемом  и отсутствием определенной формы. Первое обстоятельство сближает жидкость с твердым телом, а второе с газом.

    Жидкость  оказывает значительное сопротивление  сжатию,  т. е. весьма мало изменяет величину своего объема при изменении  давления и температуры.

    В  отличие от твердого тела силы  связи между  молекулами  жидкости и газа невелики и они слабо сопротивляются деформации сдвига, поэтому жидкость и газ обладают текучестью.

    Жидкость  отличается от газа и тем,  что она в какой-то мере оказывает  сопротивление растягивающим усилиям, тогда как газ такого сопротивления практически не оказывает.

    Сжимаемость. Способность жидкости и газа изменять  свой объем под действием сжимающих усилий называется сжимаемостью. Ее характеризует коэффициент сжимаемости. Выделим мысленно объем газа или жидкости W, находящийся под давлением Р. Если это давление  изменить на dP, то W изменится на dW. Относительная объемная деформация, взятая с обратным знаком, на единицу изменения давления называется коэффициентом сжимаемости β_р :

      

    Из  этой формулы следует, что изменение давления  связано с относительной объемной деформацией соотношением:

,

то есть зависимость  между относительной  объемной  деформацией  и давлением  линейная, что соответствует закону Стокса для жидкости и закону Гука для твердого тела.

    Сжимаемость  воды в 14 тысяч раз меньше  сжимаемости воздуха при давлении в одну атмосферу, и при решении задач аэрогидромеханики считают и воздух и воду жидкостью, однако,  воздух  называют сжимаемой жидкостью, а воду - несжимаемой жидкостью.               

    Скорость звука. Характеристикой сжимаемости  сплошной  среды может также служить скорость звука. Как известно из курса физики, предел отношения приращения давления ΔР к приращению плотности Δρ при Δρ → 0 равен квадрату скорости распространения в среде малых возмущений, или квадрату скорости звука:

,    или   

    Для  жидкости скорость звука равна  1500 м/c. Для воздуха - 340 м/c.

    В  аэрогидромеханике широко используется  понятие "жидкой частицы". Этим  термином обозначают малый объем сплошной среды, который при движении деформируется, но масса которого не  смешивается с окружающей средой. Несколько  упрощенную  жидкую частицу  можно представить как каплю краски, пущенную в жидкость и перемещающуюся вместе с ней.

    При изучении движения жидкостей и газов жидкую частицу представляют как реальный объект, к которому применимы все законы  механики. Изучаемую массу жидкости и газа  рассматривают при этом как совокупность непрерывно  распределенных  по  объему  жидких частиц.

   Согласно  гипотезе сплошности масса среды  распределена в объеме непрерывно  и в общем случае неравномерно. Основной динамической характеристикой среды является плотность  ρ  распределения массы по объему или плотности среды, которая в произвольной точке А определяется соотношением:

,

где  Δm -есть масса, заключенная в малом объеме, включающем точку А, предел берется при стягивании объема  ΔW к этой точке.

   Размерность  плотности [ρ]  =кг/м³ в системе СИ.

   Наряду с плотностью  в рассмотрение вводится понятие  удельного объема v, который представляет собой объем,  содержащий  единицу массы:   v=1/ρ.             

   Плотность среды  может изменяться от точки  к точке и в данной точке  со временем, т.е. ρ=ρ(х,у,z,t).               .

   Связь между плотностью, температурой и давлением  устанавливается уравнением состояния, которое для реальной жидкости выводится в кинетической теории. Широкое распространение получило, например, уравнение Ван-дер-Ваальса:

(Р+а/v² )(v-в) = RT₀ ,

 где Р-давление, Т-абсолютная температура v - удельный объем.

    Чаще используется  уравнение Клайперона:

P=ρRT,

где R - газовая  постоянная.

    Газ, строго  подчиняющийся  уравнению   Клайперона,  называется идеальным  газом, а уравнение Клайперона  также называют уравнением состояния идеального газа.  

    В основе физических  явлений,  изучение которых мы  осуществляем, лежат законы сохранения массы, импульса и энергии.

    Аналогом закона  сохранения массы в механике жидкости,  газа и плазмы является уравнение неразрывности:

    Здесь ρ - плотность жидкости или газа.

   При нормальных условиях ρ_газа = 1.25 кг/ м³;  ρ_ж  = 1000 кг/м³.

    υ - скорость движения жидкости или газа.

    Закон сохранения  импульса выглядит следующим образом:

    И  уравнение сохранения энергии

    В Декартовой прямоугольной системе координат, покомпонентно эти законы выглядят следующим образом.

    Для   одномерных  течений (т.е. течений   только вдоль оси  Х, скажем по тонкой трубе):

 

 

    Эта  система  уравнений  распространяется  и  на большее число пространственных  переменных. Для двумерных течений, т. е. течений на плоскости эта система записывается так:

    Е - полная энергия.

    Аналогично  система уравнений распространяется и на пространственные (трехмерные) течения жидкости или газа.

    Уравнения  справедливы как для описания течения газов, так и для жидкостей.  Разница состоит в разных уравнениях состояния для газа и для жидкости.

 

    Для  газа:   P=ρe(γ-1);   γ=Cp/Cv.

 

Cp - теплоемкость газа при постоянном давлении;

Cv - теплоемкость газа при постоянном объеме.

 γ - величина табличная. Для воздуха γ =1,4.

    Газ,  подчиняющийся такому уравнению  состояния, называется идеальным.

 

    Для  жидкости       P=ρe(γ-1)+ ;        γ =7,15, где ρ₁ и С₁  - плотность и скорость звука в невозмущенной  жидкости. Здесь         е - внутренняя энергия, Е- полная энергия.

.

    Эта  система уравнений называется  системой  уравнений  Эйлера.

Это система уравнений  движения невязкого нетеплопроводного сжимаемого газа.  Форма записи дивергентная, т.е. все неизвестные функции находятся под знаком производных.

 

Эти уравнения мы с Вами, Господа студенты, уже выводили. Вспомните лекцию №17 «Вывод уравнений гидродинамики и акустики». 

Для вывода уравнений движения и неразрывности мы рассматривали некоторый объём жидкости D, ограниченный поверхностью S, и подсчитывали действующие на него силы. Пренебрегая силами трения, обусловленными вязкостью, т.е. рассматривая идеальную жидкость (идеальная жидкость – это невязкая жидкость). Итак, рассматривая идеальную жидкость, получали для результирующей сил давления выражение в виде поверхностного интеграла:

где S – поверхность объёма D, – единичный вектор нормали. Нормаль внешняя, поэтому знак минус.

Применяя  формулу Гаусса-Остроградского, получили:

.

При вычислении ускорения какой-либо точки жидкости необходимо учесть перемещение самой точки. Пусть x=x(t), y=y(t), z=z(t) уравнения траектории этой точки. Вычисляя производную скорости по времени, получали:

 

 

 

где   .

Такая производная, учитывающая движение частицы среды (субстанции) называется субстанциональной производной.

Уравнение движения жидкости выражает обычную связь между ускорением частиц и действующими на них силами:

где последний  интеграл представляет собой равнодействующую внешних сил, приложенных к объёму. Отсюда в силу произвольности объёма получим уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера:

Выведем теперь уравнение неразрывности. (Это аналог закона сохранения массы в классической механике). Если внутри D нет источников и стоков, то изменение в единицу времени количества жидкости, заключённой внутри D, равно потоку через границу S:

Преобразование поверхностного интеграла в объёмный по формуле Гаусса-Остроградского даёт:

Так как это  равенство справедливо для сколь  угодно малых объёмов, то отсюда следует  отмеченное выше уравнение неразрывности:

 

      Теперь необходимо вывести уравнение сохранения энергии. Рассмотрим опять некоторый объём жидкости D, ограниченный поверхностью S. Полная энергия (кинетическая плюс потенциальная) представляется объёмным интегралом

  Изменение энергии в этом объёме происходит за счёт потока энергии через границу области S и за счёт работы внешних сил. Вы знаете, что энергия – это способность тела производить работу. Пренебрегая силами трения, обусловленными вязкостью, т.е. рассматривая идеальную жидкость (идеальная жидкость – это невязкая жидкость), получаем, что внешние силы отсутствуют и остается только работа сил давления.

Поток энергии через  границу S в единицу времени выражается следующим интегралом:

  где S – поверхность объёма D, – единичный вектор нормали. Нормаль внешняя, поэтому знак минус.

Работа сил давления в единицу  времени  выражается следующим интегралом:

 

где S – поверхность объёма D, – единичный вектор нормали. Нормаль внешняя, поэтому знак минус.

Применяя  формулу Гаусса-Остроградского к этим двум интегралам, получим:

 

      Изменение в единицу времени  энергии, заключённой внутри D, равно:

Собирая эти  три интеграла вместе, получим:

     Так как это равенство справедливо для любых произвольных объёмов, то отсюда получаем уравнение энергии:

 Вспоминая, что полная энергия обозначается буквой Е:  получаем следующее уравнение энергии:

К этим уравнениям следует присоединить ещё уравнение состояния в виде , тогда получаем систему шести уравнений с шестью неизвестными функциями:u_x, u_y, u_z, P, r Е. Таким образом система уравнений:

;

;

представляет  собой замкнутую систему уравнений гидродинамики или газовой динамики в зависимости, как уже было сказано выше,  от уравнения состояния.

 

    Газ  называется баротропным, если  плотность газа зависит только от давления    ρ=ρ(Р),  в противном случае газ называется бароклинным:    ρ=ρ(Р,Т), 

    1) Газ  несжимаем, если ρ=соnst

    2) Процесс  изотермичен, если температура  постоянная. В этом случае имеет  место формула:

    3) Процесс  адиабатичен (нет притока тепла  извне), тогда имеет место адиабата:

,   т.е.  

где γ - показатель адиабаты. Для воздуха          γ = 1,4. Для одноатомного газа   γ = 5/3.

    Для  стационарного потока идеальной  несжимаемой  жидкости  или газа справедлива теорема Бернулли: Р+ρυ² /2 = соnst = P₀.         

    Формулировка  теоремы:  при  стационарном  движении  идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии объемных сил полный напор, равный сумме пьезометрического и скоростного  напора, сохраняет свою величину вдоль линии тока (траектории).

    Рo  - полный напор, или полное давление;

    Р - пьезометрический напор, или статическое давление;

    ρυ² /2 - скоростной напор.

    Из  формулы Бернулли находится скорость:  .  Эта формула показывает, что газ может течь только под действием перепада давления. Нет перепада давления - нет движения.

    Отношение  скорости    движения  газа в данной точке потока к соответствующей в данной точке скорости звука называется  числом Маха.  Число Маха  отличается  от числа  π тем,  что оно не постоянное.               π = 3.141593, а число Маха изменяется            0 < М < ∞.  Но тем не менее это число потому,  что оно безразмерное. Это число характеризует будет ли поток в данной точке  дозвуковым M  <  1,  звуковым  М =1 или сверхзвуковым М >  1. Скорость звука в воздухе 342 м/с. Скорость ветра 34 м/с - это ураган,  но по сравнению со скоростью звука - это глубокий дозвук, т.к. число Маха М = 0.1.

    На  срезе сопла ракеты число Маха М= 3 - 4.  Спускаемые аппараты входят в атмосферу со скоростью 20 Махов.

    Определим  еще одну функцию  состояния  -  энтропию.  Согласно второму   закону термодинамики при реальных процессах, протекающих в конечной изолированной системе энтропия возрастает (энтропия это еще одна,  наряду с давлением функция состояния, определяемая дифференциальным соотношением dS =dQ/T, где dQ - полное количество  тепла,  подводимое как извне,  так и изнутри,  Т - абсолютная температура).

    Для  адиабатического и плюс к этому  еще и изентропического течения газа кроме соотношения       справедливы формулы:

                       

    Связь  между отношениями незаторможенных и заторможенных плотностей,  давлений,  температур  и  чисел  Маха  потока называются изентропическими формулами:

 

     а)  отношения плотностей

         ;

         ;

 

     б)  отношения давлений

            ;           

           ;

 

     в)  отношения температур

                  ;

                 .

    г)  отношения скорости  потока к  скорости  звука в покоящемся  газе

    По  этим формулам определяют давление,  плотность, температуру заторможенного  газового потока т. е. если газ с известными значениями в потоке натекает на  стенку,  то  значения  параметров  на стенке определяются по изентропическим формулам.  По этим же формулам определяются параметры газа на срезе сопла ракеты  при известных значениях в камере сгорания.  В этом случае в камере сгорания газ является заторможенным.

    Итак, число  Маха  указывает  какой  здесь поток - дозвуковой, звуковой  или сверхзвуковой .

    Кроме  числа Маха есть и другие  важные числа.

    Число Рейнольдса:        ,    где

  l    - характерный размер,

  μ  - коэффициент динамической вязкости.

    Оно  характеризует  режим  течения  - ламинарный или турбулентный.  При ламинарном режиме течение имеет  спокойный,  струйчатый характер.

 

 

 

 

 

При турбулентном - движение неупорядоченное, вихревое.

                  

                                   

 

 

    Число  Рейнольдса может принимать значения от нуля  до  бесконечности.  Ламинарное  течение  реализуется при малых числах Рейнольдса. Переход ламинарного режима в турбулентный происходит при критическом значении числа Рейнольдса. Например при движении жидкости в трубах Rе = 2· 10³.  Характерным размером здесь является диаметр трубы.  Т. е.  критическое значение числа Рейнольдса для каждого потока своё.

    Число  Рейнольдса  определяет  отношение   силы вязкости к силе инерции.

 

    Число Прантля:    Рr = μ С_р λ _,

  λ - коэффициент теплопроводности.

    Число Прантля указывает на связь между вязкостью и  теплопроводностью. Или указывает на связь между тепловым потоком, вызванным трением,  и молекулярным переносом теплоты. (Определяет меру преобразования молекулярного переноса в теплоту).

    Число Нуссельта:   .

  α  - коэффициент теплоотдачи (теплопередачи),   l    - характерный размер,

  λ   - коэффициент теплопроводности.

    Число  Нуссельта характеризует интенсивность процесса  конвективного теплообмена т.е.  теплообмена при воздействии на тело потока газа или жидкости.

    Число Грасгофа:

    Здесь g = 9.8,  β - температурный коэффициент объемного расширения среды,

ΔT  - разность температур,   l  - характерный размер,     μ -коэффициент кинематической вязкости.

    Критерий  Грасгофа характеризует  относительную  эффективность подъемной силы,  вызывающей свободно-конвективное движение среды.

    Число Фруда:

    Оно  характеризует отношение силы  веса к силе инерции.  По  порядку величины  число Фруда определяет  отношение кинетической энергии жидкости к приращению её,  обусловленному работой сил тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью и наоборот.

    Число Эйлера:  .

    Число  эйлера  определяет  отношение   силы  гидродинамического давления  к силе инерции.

    Число Струхаля:   

    Число Струхаля  определяет отношение дополнительной (локальной) силы, вызванной неустановившимся характером движения, к силе инерции.

    Эти замечательные   числа  широко используются при моделировании,  т.е.  при получении характеристик на малых моделях.  Скажем необходимо определить мореходные качества корабля.  Строить большой корабль и на нем определять  его качества   нецелесообразно (дорого и трудоемко). Поэтому определяют нужные характеристики на маленьких моделях.

    Моделирование  проводят  по соответствующим критериям.  Например,  чтобы определить скорость, требуют, чтобы числа Маха на модели и на натуре совпадали. При моделировании режима течения требуют,  чтобы совпадали числа Рейнольдса для модели и для  натуры.

Имеем (Rе)_м   =  (Rе)_{н ,}

то есть 

    Но характерный  размер  l на натуре и на модели разные. Они отличаются в масштаб раз:  l_H =Масштаб · l_M . Если М =1:10 то  l_H =10 · l_M . Отсюда  и получается,  что для установления  равенства   чисел Re на модели и на натуре,  надо на модели  увеличивать, например, скорость в 10 раз.  Или увеличивать плотность, сохраняя скорость.

    Вот такую роль  играют все эти замечательные числа. Они, собственно, и были выведены исключительно из этих соображений.

    Таким образом,  кроме геометрического подобия, скажем два треугольника подобны, существуют другие виды подобия, например: гидродинамическое подобие.