Микрополоскове структуры с фотонной запрещенной зоной

              Общее положение.

Для того чтобы начать исследования по данной теме, необходимо рассмотреть некоторые определения и понятия.

Изначально  рассмотрим,  что же такое фотонные кристаллы и фотонная запрещенная зона.

             Фотонные кристаллы  и фотонная запрещенная  зона.

Итак, в  простой формулировке фотонным кристаллом называется материал, структура которого характеризуется периодическим  изменением показателя преломления  в пространственных направлениях, что приводит к образованию фотонной запрещённой зоны. Обычно, чтобы понять смысл терминов «фотонный кристалл» и «фотонная запрещённая зона», такой материал рассматривают в качестве оптической аналогии полупроводникам. Решение уравнений Максвелла для распространения света в диэлектрической решётке показывает, что из-за Брегговской дифракции распределение фотонов по частотам ω(k) в зависимости от волнового вектора k (2π/λ) будет иметь области разрыва. Данное утверждение графически представлено на Рисунке 4, где приведена аналогия между распространением электрона в 1D кристаллической решётке и фотоном в 1D фотонной решётке. Непрерывная плотность состояний, как свободного электрона, так и фотона в вакууме, претерпевают разрыв внутри, соответственно, кристаллической и фотонной решёток в так называемых «стоп-зонах» при значении волнового вектора k (т.е. импульса), который соответствует стоячей волне. Это и является условием Брэгговской дифракции электрона и фотона.  

Фотонная  запрещенная зона представляет собой  диапазон частот ω(k) в обратном пространстве волновых векторов k, где распространение  света определённой частоты (или  длины волны) запрещено в фотонном кристалле во всех направлениях, при  этом падающий на фотонный кристалл свет полностью отражается от него. Если же свет «возникнет» внутри фотонного  кристалла, то он окажется «вмороженным»  в него. Сама зона может быть неполной, так называемой стоп-зоной. На рисунке 5 представлены 1D, 2D и 3D фотонные кристаллы  в реальном пространстве и плотность  состояний фотонов в обратном пространстве.

Фотонная  запрещённая зона трёхмерного фотонного  кристалла является некоторой аналогией  электронной запрещённой зоны в  кристалле кремния. Следовательно, фотонная запрещённая зона «управляет»  потоком света в кремниевом фотонном кристалле аналогично тому, как происходит транспорт носителей заряда в  кристалле кремния. В этих двух случаях  образование запрещённой зоны обуславливается  стоячими волнами фотонов или  электронов, соответственно.

Подобно концепции запрещенной энергетической зоны, в физике твердого тела, материалы  с запрещенной фотонной зоной  запрещенной зоной (ФЗЗ), или как  их еще называют фотонные кристаллы  (ФК),  дают возможность управлять  распространением электромагнитных волн в оптическом и СВЧ диапазонах. В СВЧ диапазоне такие структуры могут быть получены, в частности, с использованием микрополосковых линий (МЛП).

Микрополосковые структуры с фотонной запрещенной зоной вызывают большой интерес, благодаря их уникальным характеристикам, а также возможностью их широкого применения в микрополосковых  цепях в качестве фильтров, резонаторов, микроволновых антенн, и т.д.

 На  сегодняшний день известно несколько  способов изготовления микрополосковых  структур с фотонной запрещенной  зоной: высверливание периодического  ряда отверстий различной формы,  в подложке микрополосковых линий;  вытравливание периодических отверстий определенной формы в центральном проводнике линии; периодическое изменение формы центрального проводника микрополосковой линии без травления отверстий  в нижней пластине.

Полученные, таким образом, микрополосковые  структуры, в определенных частотных диапазонах (эти диапазоны зависят от геометрических и материальных параметров исследуемой структуры), обладают свойствами присущими фотонным кристаллам оптического диапазона - в этих частотных областях невозможно распространение электромагнитных волн (фотонная запрещенная зона).

Благодаря простоте изготовления и широкой  области потенциальных применений, микрополосковые линии с фотонной запрещенной зоной становились предметом изучения многих исследований. Такая структура была теоретически исследована с помощью двухступенчатого метода моментов. Было показано, что ширина запрещенной зоны данной микрополосковой структуры, зависит от места расположения проводника относительно центра блока (центрального ряда отверстий). Данная структура может быть широко использована в СВЧ диапазоне для создания различных микроволновых компонентов, в частности антенн.

К следующему виду относятся микрополосковые  структуры  с периодически вытравленными отверстиями в центральном проводнике линии. Ряд таких ячеек, периодически вытравленных в центральном проводнике микрополосковой линии, приведет к появлению у микрополосковой структуры, запрещенной фотонной зоны, ширину которой можно регулировать соответствующим выбором геометрических параметров ячеек. Преимущество данных фотоны кристаллов над другими рассмотренными здесь, являются их малые геометрические размеры, но в, то, же время эти структуры более сложны в изготовлении (обычно центральный проводник имеет ширину близкую к 1мм, а чаще всего меньше 1мм). Для расчета предложенной структуры будем использовать метод эквивалентных цепей.

Микрополосковая структура с фотонной запрещенной зоной, полученная путем синусоидального изменения формы центрального проводника, не требует вытравливание отверстий в нижней пластине и основана на периодическом изменении характеристического импеданса, который является функцией длины микрополосковой линии. Использование такой структуры приводит к появлению лишь одной запрещенной зоны. Изменение ширины центрального проводника микрополосковых линий приводит к изменению характеристического сопротивления линии. Такая структура характеризуется тремя значениями характеристического сопротивления: минимальным, максимальным и средним. Если поддерживать значение среднего сопротивления постоянным, но изменять размах минимального и максимального сопротивления, то можно в широких пределах варьировать ширину и глубину запрещенной зоны.

Самое большое внимание было уделено микрополосковым  структурам с фотонной запрещенной зоной, выполненным на основе микрополосковых линий с периодически вытравленными отверстиями в нижней пластине, это в первую очередь связано с простотой их изготовления, по сравнению с вышеописанными структурами. Для численного моделирования предложенных структур был использован метод конечных разностей.

Целью данной работы является теоретическое  исследование двухсторонних микрополосковых  структур с фотонной запрещенной  зоной. Такая структура может использоваться в качестве СВЧ фильтра.

Частотная фильтрация – одна из важнейших  процедур в микроволновой  схемотехнике. Чаще всего в микрополосковой  технологии, нежелательные частоты подавляются с помощью короткозамкнутых штырей, помещенных в микрополосковые линии на расстоянии половины длины волны между ними. К существенным недостаткам фильтрующих элементов, полученных с использованием данной технологии. Относятся их большие размеры и узкополосность.

В свою очередь, использование микрополосковых линий с фотонной запрещенной зоной – альтернативный путь решения данной задачи. В дальнейшем она могут быть легко интегрированы с другими микрополосковыми компонентами, что приведет к уменьшению размеров цепи. И улучшит ее частотно – избирательные параметры. 

            Исследуемая МПЛ  структура.

Исследуемая структура представляет собой микрополосковую  линию, с периодически изменяющейся шириной центрального проводника, в  нижней пластине, который вытравлен  одномерный периодический ряд круглых  отверстий.

Для исследуемой  структуры, характеристический импеданс Z, внутри одной ячейки, длинной , имеет треугольную вариацию, как функцию длинны микрополосковой линии. Произведение  

Должно  удовлетворять следующему условию:

          Z= ,

Где - минимальное и максимальное значение характеристического импеданса соответственно.  В нашем случае Z=50 Ом. 

Ширина  плоскости w (при фиксированной толщине подложки h),  соответствующая Z , может быть получена, с погрешностью не более 0.6 % , при Z=132 Ом, со следующих формул [10]:

Для случая:  Z≤132Ом:

                              =,(2)

Для случая: Ом:

               , (3)

Где

                              R, (4)

  регулярного региона микрополосковых линий , которая определяется следующим образом:

      , (5)

Здесь - относительная диэлектрическая проницаемость подложки микрополосковых линий.

К основным  характеристикам микрополосковых линий с фотонной запрещенной зоной относятся: центральная частота с запрещенной зоной, ширина запрещенной зоны, глубина запрещенной зоны, а также максимальный коэффициент отражения.

Центральная частота, глубина, ширина  запрещенной  зоны для микроскопической структуры  с фотонной запрещенной зоной  определяется через период ,  радиус, вытравленных в нижней пластине микрополосковх линий , отверстий r , количество этих отверстий N и динамику вариации характеристического импеданса микрополосковых линий  ().

Высокая динамика вариации Z и большой радиус отверстий r, дают глубокую и широкую запрещенную зону.

Низкая  динамика Z и небольшой радиус r дают узкую и неглубокую запрещенную зону.

Центральная частота запрещенной зоны может  быть определена со следующего соотношения:

                        ,(6)

Где    =2()=2a

                  ,(7)

В (6) и (7) использованы следующие обозначения :

С - скорость света в вакууме;

- Брегговская длина  волны;

    ,       ,    - эффективная диэлектрическая проницаемость регулярного региона микрополосковых линий и региона с отверстием , соответственно. Эффективная диэлектрическая проницаемость регулярного региона микрополосковых линий может быть получена из формулы (5), а эффективная диэлектрическая проницаемость региона с отверстием имеет такой вид

             , (8) 

Где ,   - эквивалентная толщина воздуха, на которое провисает электромагнитное поле внутрь отверстия.

Если  частота выше, чем:

                                     =0.956(9)

Необходимо  учитывать дисперсионную зависимость  ɛ(). В (9) работчая частота, ГГц.

Если  удовлетворяется следующее соотношение:

                        ,

То для  определения ɛ(), можно использовать следующую эмпирическую формулу: 

Погрешность расчетов с использованием (10) не хуже 2%. В нашем случае  

Для расчета  спектральных характеристик использован  метод конечных разностей во временной  области (FDTD) , детально изложенный в следующем раздела. 
 
 
 

Метод   конечных  разностей  во временной области.

Метод конечных разностей во временно́й области (, FDTD) — это метод численного решения  задач электродинамики, основанный на нестандартной дискретизации  уравнений Максвелла во времени  и пространству. Метод работает во временной области, поэтому он годится  для решения задач в широком  диапазоне частот.

Этот  метод относится к общему классу сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Уравнения Максвелла  подвергаются дискретизации, используя  центрально-разностную аппроксимацию  по времени и пространственным координатам. Полученные конечно-разностные уравнения  решаются программными или аппаратными  методами в каждый момент временной  сетки, причем, как правило, рассчитанные поля разделены во времени половиной  шага дискретизации. Расчёт полей в  ячейках сетки повторяется до тех пор, пока не будет получено решение  поставленной задачи в интересуемом промежутке времени. Базовый алгоритм метода был впервые предложен американским ученым Кейном Йе (Калифорнийский университет) в 1966 г. в статье «Numerical solution of inital boundary value problems involving maxwell’s equations in isotropic media» журнала «IEEE Transactions: Antennas and Propagation». Однако, название «Finite-difference time-domain» и аббревиатура FDTD были даны методу Алленом Тефлавом (Северо-западный университет, штат Иллинойс).

Примерно  с 1990 г. метод конечных разностей  стал основным для численного моделирования  многих научных и инженерных проблем, связанных со взаимодействием электромагнитных волн с веществом. Он может быть с  успехом применен для решения  широкого спектра задач: от моделирования  сверхдлинных электромагнитных волн в  геофизике (включая процессы в ионосфере) и микроволн (например, для изучения сигнатурной радиолокации, расчёта характеристик антенн, разработки беспроводных устройств связи, в том числе цифровых) до решения задач в оптическом диапазоне (фотонные кристаллы, наноплазмоника, солитоны и биофотоника). К 2006 г. число публикаций, посвященных FDTD, достигло двух тысяч.

В настоящее  время 27 зарубежных компаний разработали  коммерческие программы, использующие метод конечных разностей. Также  существует 8 свободных проектов с  открытым исходным кодом и 2 бесплатных с закрытым кодом (предназначенных  для некоммерческого использования).

-Принцип  работы метода FDTD.

Рассматривая  уравнения Максвелла, легко заметить, что изменение электрического поля во времени (частная производная) зависит  от изменения магнитного поля в пространстве (а именно, ротора поля). Поэтому, в  каждой точке пространства значение вектора электрического поля в каждый момент времени зависит от его  значения в предыдущий момент времени  и от изменения распределения  вектора напряженности магнитного поля в пространстве.

В то же время, из аналогичных рассуждений  можно заключить, что значение вектора H в каждый момент времени зависит  от его значения в предыдущий и  от изменения распределения вектора E в пространстве. В памяти компьютера хранятся значения векторов E и H в каждой ячейке сетки, которые обновляются  с каждой итерацией процесса по времени.

Поля  в ячейке сетки FDTD. Из таких ячеек  составляется пространственная трёхмерная сетка (сетка Йе), взаимодействие волн с веществом учитывается заданием каждой ячейке значений диэлектрической  и магнитной проницаемости, а  так же проводимости Описанное справедливо  как для одномерного и двумерного случая, так и для трёхмерного. Если задача поставлена в нескольких измерениях, то численный расчёт ротора полей сильно усложняется. Поэтому  для упрощения расчётов в методе FDTD сетки электрического и магнитного поля сдвинуты друг относительно друга так, что магнитное поле считается в точках, расположенных точно между точками, в которых считается электрическое поле, и наоборот. Аналогичная (разделённая) сетка уже давно используется при решении задач гидродинамики (для давления и поля скорости). Эта схема, известная теперь под названием сетки Йе, оказалась очень надежной и в настоящее время составляет основу многих современных реализаций метода.

- Использование метода FDTD.

Для использования  метода необходимо обязательно задать счетную область. Счетная область  это просто та область пространства, в пределах которой выполняется  численное моделирование. В каждой точке счетной области задается её материал, и вычисляются вектора полей E и H. Как правило, материал это вакуум (или воздух), металл или диэлектрик. Указав значения диэлектрической и магнитной проницаемости, а также проводимости можно использовать в моделировании любой материал.

После того, как задана расчётная область и материалы в ячейках сетки, необходимо задать источники. В зависимости от задачи, источником может быть точечным источником, плоской электромагнитной волной, полем витка тока или чем-нибудь еще.

Так как  вектора электрического и магнитного полей непосредственно определяются в ходе моделирования, итоговым результатом, как правило, является серия значений векторов полей в последовательные моменты времени в одной или  нескольких точках расчётной области.

Полученные  в результате моделирования векторы E и H могут быть подвергнуты дополнительной обработке, в том числе, обработка  данных может происходить параллельно с расчётом поля в следующий момент времени.

Так как  по методу FDTD рассчитывается электромагнитное поле в ограниченной пространственной области, слабые и/или излучаемые в  пространство поля могут быть получены с помощью преобразований ближнего поля в дальнее.

- Достоинства алгоритма.

▪ Любая техника численного моделирования имеет свои сильные и слабые стороны, и метод FDTD не исключение.

 ▪ FDTD — это очень разносторонний метод решения уравнений Максвелла, он интуитивно понятен, поэтому пользователи могут легко понять, как он работает и каких результатов ждать от его применения в той или иной задаче.

▪ FDTD работает во временной области, это значит, что за один этап моделирования могут быть получен результат в большом диапазоне частот, например, при использовании широкополосных импульсных источников (например, излучающих гауссовы импульсы). Это может быть очень полезным при решении задач, в которых не известны резонансные частоты или в случае моделирования широкополосных сигналов.

▪ Так как, согласно методу, поля вычисляются последовательно с течением времени, это позволяет создавать анимированные изображения распространения волновых процессов в счетном объеме. Такие изображения могут быть очень полезны для понимания того, что происходит с моделью, и позволяют удостовериться, что модель работает корректно.

▪ Метод позволяет указать материал в каждой точке счетного объема и может быть легко приспособлен для моделирования не только широкого спектра металлов и диэлектриков, но и материалов с нелинейными свойствами.

▪ Метод позволяет непосредственно моделировать эффекты на отверстиях, так же как эффекты экранирования, причем, поля, внутри и вне экрана могут быть рассчитаны как напрямую, так и нет.

▪ Метод FDTD возвращает сразу значения векторов E и H, знание которых необходимо для решения большинства задач на электромагнитную совместимость/электромагнитное взаимодействие, что очень удобно, так как оказывается ненужным промежуточное преобразование результатов моделирования.

- Недостатки метода FDTD.

▪ Весь счетный объем должен быть разбит на ячейки сеткой Йе, и величина шага дискретизации по пространству должна быть достаточно малой по сравнению с наименьшей длиной волны, используемых в конкретной задаче. Кроме того, этой величина определяет детализацию распределения материалов в пространстве. Поэтому может оказаться, что счетный объем должен быть разделен на очень большое число ячеек, что означает большие затраты памяти и большое время моделирования. Поэтому оказывается сложным моделировать задачи, с длинными, тонкими пространственными структурами, например, поля проводников с током.

▪ FDTD рассчитывает поля в каждой точке счётного объёма. Если требуется найти поле на некотором отдалении от источника, это, скорее всего, значит, что счётный объем окажется чрезмерно большим. Существуют расширения метода для нахождения дальних полей, но они требуют постобработки.

▪ Так же это означает, что счётный объем должен быть конечным, чтобы уместиться в памяти компьютера. В большинстве случаев это достигается с помощью задания искусственных граничных условий в счетном объеме. Но их нужно использовать с осторожностью, чтобы свести к минимуму вызываемые ими искажения. В настоящее время известно несколько эффективных граничных условий поглощения для алгоритма FDTD, позволяющих имитировать бесконечную счетную область. Многие современные реализации используют вместо них специальный абсорбирующий «материал», называемый идеально согласованным слоем (PML).

          Численные результаты.

В ходе численного моделирования было исследовано  три типа микрополосковых структур:

1)микрополосковым фильтр, полученный путем периодической модуляции ширины центрального проводника микрополосковых линий;

2) микрополосковый  фильтр, полученный путем вытравливания периодического ряда круглых отверстий в нижней пластине микрополосковых линий;

3)двухсторонняя  структура, полученная объединением 1 и 2 структур.

Исследуемые микрополосковые линии характеризуются  следующими параметрами:

h=1.27мм, =10.2, Tan=0.0026, Z=50 Ом.

С применением  формул (2) и (9),  получены следующие  значения : количество отверстий N=9, радиус отверстий r=5.1 мм, период

Zmax=80 Ом, Zmin=31 Ом. Данные параметры микрополосковых линий соответствуют фотонной запрещенной зоне центрированной на 2.8 ГГц.

На рисунке 4 представлены результаты расчета  спектральных характеристик для  структур 1-3. Как следует из полученных характеристик, для всех  образцов присутствует фотонная запрещенная зона с центром около 2.8 ГГц, что соответствует расчетным значениям. В то же время, ширина и глубина запрещенной зоны зависят от типа исследуемой структуры: 
наиболее узкая ФЗЗ получена для структуры первого типа  ,а самая широкая ФЗЗ с минимальным коэффициентом прохождения получена для структуры третьего типа. Исходя из данных результатов , можно сделать вывод, что в качестве полосовых фильтров , наиболее целесообразно использовать двухсторонние структуры.

 На  рисунке  5 представлены результаты расчета коэффициентов пропускания для двухсторонней структуры (рис 1) с различным положением отверстий ,под центральным проводником ,а именно отверстия располагаются под регионами с равным характеристическим сопротивлением центрального проводника. На рис 5  кривая и точек соответствует случаю, когда отверстия находятся под участком с характеристическим сопротивлением Z=31 Ом, сплошная кривая – Z=50 Ом и пунктирная кривая –Z=80 Ом. Как следует и спектральных характеристик глубина, и ширина запрещенной зоны сильно зависят от месторасположения отверстий . максимальная ширина и глубина ФЗЗ отвечает случаю расположения отверстий под регионом с максимальным  сопротивлением Z=80 Ом.

Полученная  закономерность может быть использована при проектировании перестраиваемых  микрополосковых фильтров на основе двухсторонних микрополосковых  структур с фотонной запрещенной  зоной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                           Выводы.

Таким образом, результаты проведенного численного моделирования свидетельствуют  о возможности широкого применения двухсторонних микрополосковых  структур, с фотонной запрещенной  зоной, в качестве дешевых и простых  в изготовлении частотно-избирательных    фильтров СВЧ диапазона. В зависимости  от области применения, а соответственно и от требований, выдвигаемых к  спектральным характеристикам структуры, могут применяться, как односторонние структуры, так и предложенная двухсторонняя структура.