Модель производственной функции

ВВЕДЕНИЕ

 

Производственная функция занимает важное место в экономической теории как модель, непосредственно относящаяся не к процессу обмена, а к процессу производства, который связан с потреблением различных ресурсов (сырье, энергия, труд, оборудование и т.д.).

Построение производственных функции, то есть выявление фактических  технологических взаимосвязей в  производстве, является одной из важнейших  эконометрических задач. Экономический  анализ производства исследует отношение  между затратами и выпуском. Это отношение, и определяет максимальный объём выпуска при определенных комбинациях факторов производства.

Исследование производственной функции применяется в различных  областях знаний и для широкого типа данных. Функции могут относиться к технологическим процессам в промышленности или сельском хозяйстве. При работе с производственной функцией возникают различные проблемы: выбор надлежащих объясняющих переменных, подготовка соответствующих данных, выбор математической функции, статистическая оценка, интерпретация результатов. Рассмотрение двух факторов производства обосновано при анализе промышленного производства, как предприятия, отрасли, так и национального, мирового хозяйств. Особый интерес для исследования представляет сельское хозяйство.

Сельскохозяйственная отрасль на мой взгляд является одной из базовой отраслью развитого государства, которая занимается выращиванием различных зерновых культур (а Украина как известно является одним из основных экспортеров зерна, пшеницы и др. зерновых культур). В условиях НТП (научно-технического прогресса) роль сельского хозяйства возрастает в связи с развитием технологий выращивания, с развитием и совершенствованием сельскохозяйственной техники и ростом населения, все это обуславливает интенсивное производство и как следствие потребление продукции сельского хозяйства.

И именно поэтому, в этой курсовой работе я решил попытаться разработать  модель производственной функции для  сельскохозяйственной отрасли.

Для исследования были использованы данные по валовой стоимости продукции в сельском хозяйстве Украины за 20 лет (1986 – 2007) относительно рабочей силы (L) и капитала (K).

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Понятие производственной функции

 

Производственная функция –  это функция, независимая переменная которой принимает значения объёмов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объёмов выпускаемой продукции.

 

           (1)

 

В формуле (1) и - числовые величины, т. е. есть функция одной переменной . В связи с этим ПФ называется одно-ресурсной или однофакторной ПФ, её область определения – множество неотрицательных действительных чисел (т. е. ). Запись означает, что если ресурс затрачивается или используется в количестве единиц, то продукция выпускается в количестве единиц. Символ - знак функции – является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. Символ связывает между собой независимую переменную с зависимой переменной . В макроэкономической теории принято считать, что - это максимально возможный объём выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно, при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – это статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика , где - вектор параметров ПФ.

ПФ могут иметь различные  области использования. Принцип  «затраты – выпуск» может быть реализован как на микро - так и  на макроэкономическом уровне. Сначала  остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса в течение года на отдельном предприятии и годовым выпуском продукции этого предприятия. На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом (точнее хозяйственная система региона или страны) – имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трёх типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Точное толкование понятий  затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объём человеко-часов – натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (её величина – стоимостной показатель). Выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т. п.) или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т. е. суммарные величины произведений объёмов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственная функция (ПФ) – это модель, которая выражает технологическую зависимость между результатами деятельности технического объекта и затратами факторов производства. Входными параметрами являются ресурсы R₁, ..., R_n, а выходными - результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Y₁, ..., Y_m .

В качестве ресурсов (факторов производства) наиболее часто рассматриваются  величины затрат живого труда, предметов  и средств труда, используемых в  процессе производства: накопленный  труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд. В качестве результата рассматривается валовой выпуск (либо валовой внутренний продукт, либо национальный доход).

Простейшей моделью  производственной функции является:

Y – выход;

K – капитал;

L – трудовые ресурсы.

Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме ПФ

 

Y= F(K, L),

 

т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (капитала и труда).

Если модель учитывает  время t затрат на производство, то производственная функция записывается в виде:

 

Y = F(K, L, t)

 

Производственная функция должна удовлетворять следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1) F(K, L) – непрерывная дважды дифференцируемая функция в области K>0;

 

2) ,

 

• с ростом ресурсов выпуск растет;

3) ,

 

• с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

Темпы прироста часто  убывают при увеличении какого-либо фактора, особенно, если производство ведется по какой-либо неизменной технологии. Убывание темпов роста при увеличении масштабов производства часто связано с вынужденным использованием более дорогих или менее качественных ресурсов. При этом при достижении определенного уровня инвестиций в производство какого-нибудь отдельного фактора рост производства прекращается полностью, несмотря на увеличение рассматриваемого фактора.

 

4) F(lK, lL) = lF(K, L)

 

- гипотеза однородности

 

5) F(0, L) = F(K, 0) = 0

 

- при отсутствии одного из  ресурсов производство невозможно;

 

6) для F(K, L, t)

Виды производственных функций

 

Рассмотрим 4 производственные функции:

1. Линейная модель (функция с взаимозамещением ресурсов), задается уравнением:

 

Y = a₀ + b₁K + c₁L,

 

где b₁, c₁ >0 – частные эффективности ресурсов (предельный физический продукт затрат)

2. Квадратичная модель, задается уравнением:

 

Y = a₀ + b₁K + c₁L + b₂K² + c₂L²

 

3. Модель Кобба-Дугласа, задается уравнением:

 

Y = AK^aL^b,

 

где А — коэффициент  нейтрального технического прогресса; а₁, a₂ -коэффициенты эластичности по труду и капиталу.

4. Модель с учетом НТП, задается уравнением:

 

Y = AK^aL^be^r0t,

 

где - специальный множитель технического процесса, r0 – параметр нейтрального НТП (r0 >0)

Параметры функции могут  быть определены по методу наименьших квадратов

1. Для линейной модели:

Функция неувязок:

 

G = = ® min по а₀, b₁, c₁

 

Производные по коэффициентам:

 

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

       (1)

 

2. Для квадратичной модели:

Функция неувязок:

 

G = = ® min по а₀, b₁, c₁, b₂, c₂

 

Производные по коэффициентам:

 

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

   (2)

 

3. Для модели Кобба-Дугласа:

Прологарифмируем функцию:

 

lnY = lnA + alnK + blnL

 

Функция неувязок:

 

G = = ® min по A, a, b

 

Частные производные  по коэффициентам:

 

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

(3)

 

4. Для модели с учетом НТП:

Прологарифмируем функцию:

 

lnY = lnA + alnK + blnL + r0t

 

Функция неувязок:

 

G = = ® min по A, a, b, r0

 

Частные производные по коэффициентам:

 

 

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

  (4)

 

Далее из полученных уравнений находим  неизвестные коэффициенты

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Исходные данные для построения ПФ

 

Годы	Y, Валовая стоимость продукции, млн. руб.	K, Капитал, млн. руб.	L, Расходы по з/п,  млн. руб.
1987	3,626	12,021	1,251
1988	4,014	13,787	1,321
1989	4,453	15,429	1,392
1990	4,869	17,212	1,454
1991	5,296	19,042	1,507
1992	5,798	20,79	1,568
1993	6,233	23,097	1,598
1994	6,641	25,108	1,626
1995	7,241	27,097	1,667
1996	7,854	29,627	1,706
1997	8,09	32,362	1,753
1998	8,504	35,391	1,778
1999	8,879	38,474	1,806
2000	9,053	41,779	1,813
2001	9,11	45,976	1,855
2002	9,321	50,354	1,878
2003	9,545	55,018	1,898
2004	9,539	58,733	1,906
2005	9,774	61,935	1,911
2006	9,955	66,467	1,926
2007	10,1	69,488	1,939

 

 

Построение производственной функции

 

Линейная производственная функция

Построим линейную производственную функцию вида:

 

        (1)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели: Функция неувязок

 

 

достигает минимума при 

a0	a1	a2
-8,384563	0,0112465	9,15343789

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,201583	0,180130129
1988	13,787	1,321	4,014	3,862185	0,023047917
1989	15,429	1,392	4,453	4,530545	0,006013299
1990	17,212	1,454	4,869	5,118111	0,062056363
1991	19,042	1,507	5,296	5,623824	0,107468886
1992	20,79	1,568	5,798	6,201843	0,163089243
1993	23,097	1,598	6,233	6,502392	0,072572016
1994	25,108	1,626	6,641	6,781305	0,019685475
1995	27,097	1,667	7,241	7,178965	0,003848315
1996	29,627	1,706	7,854	7,564403	0,083866442
1997	32,362	1,753	8,09	8,025374	0,004176551
1998	35,391	1,778	8,504	8,288275	0,046537103
1999	38,474	1,806	8,879	8,579245	0,089853262
2000	41,779	1,813	9,053	8,680488	0,138764849
2001	45,976	1,855	9,11	9,112134	4,55595E-06
2002	50,354	1,878	9,321	9,371901	0,002590889
2003	55,018	1,898	9,545	9,607423	0,003896665
2004	58,733	1,906	9,539	9,722432	0,033647144
2005	61,935	1,911	9,774	9,80421	0,00091265
2006	66,467	1,926	9,955	9,992481	0,001404816
2007	69,488	1,939	10,1	10,14545	0,002065819

 

Следовательно, теперь мы можем построить ПФ:

 

Y^ = -8,384563 + 0,0112465*K +9,15343789*L

 

Рис.1 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Квадратичная производственная функция

 

Построим квадратичную производственную функцию вида:

 

       (2)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок достигает минимума при:

 

a0	a1	a2	a3	a4
10,65719	-0,02671	-16,62825	-0,00006	8,9660141

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,556971	0,004765067
1988	13,787	1,321	4,014	3,957216	0,003224444
1989	15,429	1,392	4,453	4,456814	1,45478E-05
1990	17,212	1,454	4,869	4,956672	0,007686313
1991	19,042	1,507	5,296	5,429411	0,017798428
1992	20,79	1,568	5,798	6,045845	0,06142728
1993	23,097	1,598	6,233	6,330639	0,009533385
1994	25,108	1,626	6,641	6,614652	0,000694191
1995	27,097	1,667	7,241	7,083803	0,024710798
1996	29,627	1,706	7,854	7,538203	0,099727837
1997	32,362	1,753	8,09	8,130652	0,001652609
1998	35,391	1,778	8,504	8,412681	0,00833908
1999	38,474	1,806	8,879	8,750258	0,016574426
2000	41,779	1,813	9,053	8,756131	0,08813129
2001	45,976	1,855	9,11	9,303874	0,037587284
2002	50,354	1,878	9,321	9,547923	0,051493886
2003	55,018	1,898	9,545	9,737155	0,036923633
2004	58,733	1,906	9,539	9,751322	0,045080747
2005	61,935	1,911	9,774	9,729603	0,001971064
2006	66,467	1,926	9,955	9,838768	0,013509783
2007	69,488	1,939	10,1	9,966716	0,017764679

 

Следовательно, ПФ имеет  вид:

 

Y^ = 10,65719 - 0,02671*K - 16,62825*L - 0,00006*K² + 8,9660141*L²

 

 

 

Рис.2 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Производственная функция  Кобба-Дугласа

 

Производственная функция Кобба-Дугласа при

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

 

,          (3)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, при α+β=1. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели:

 

A
1,51428	0,358355	0,641646

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	4,261998	0,404493704
1988	13,787	1,321	4,014	4,635727	0,386545002
1989	15,429	1,392	4,453	4,991358	0,289829368
1990	17,212	1,454	4,869	5,338037	0,219995285
1991	19,042	1,507	5,296	5,663481	0,135042394
1992	20,79	1,568	5,798	5,995276	0,038917787
1993	23,097	1,598	6,233	6,301843	0,004739403
1994	25,108	1,626	6,641	6,565998	0,005625294
1995	27,097	1,667	7,241	6,85654	0,147809652
1996	29,627	1,706	7,854	7,185243	0,447235307
1997	32,362	1,753	8,09	7,546696	0,295179318
1998	35,391	1,778	8,504	7,863713	0,409967528
1999	38,474	1,806	8,879	8,18429	0,482621959
2000	41,779	1,813	9,053	8,450547	0,36295021
2001	45,976	1,855	9,11	8,874924	0,055260868
2002	50,354	1,878	9,321	9,241757	0,006279478
2003	55,018	1,898	9,545	9,604897	0,003587687
2004	58,733	1,906	9,539	9,859026	0,102416413
2005	61,935	1,911	9,774	10,06527	0,084839983
2006	66,467	1,926	9,955	10,37517	0,176539605
2007	69,488	1,939	10,1	10,58735	0,237509292

 

ПФ примет следующий  вид:

 

Y^ = 1,51428*K ^0,358355 *L ^0,641646

 

Риc. 3 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Производственная функция  Кобба-Дугласа при 

 

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

 

,          (4)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, при α+β≠1.

и функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003.

В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок достигает минимума при:

A
1,897142	0,00058832	2,549475

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,362716	0,069318534
1988	13,787	1,321	4,014	3,863748	0,022575574
1989	15,429	1,392	4,453	4,41574	0,001388299
1990	17,212	1,454	4,869	4,934927	0,004346316
1991	19,042	1,507	5,296	5,406895	0,012297621
1992	20,79	1,568	5,798	5,982806	0,03415343
1993	23,097	1,598	6,233	6,279367	0,002149873
1994	25,108	1,626	6,641	6,564019	0,005926094
1995	27,097	1,667	7,241	6,994586	0,060719804
1996	29,627	1,706	7,854	7,419767	0,1885579
1997	32,362	1,753	8,09	7,952506	0,018904497
1998	35,391	1,778	8,504	8,245287	0,06693267
1999	38,474	1,806	8,879	8,5808	0,088922973
2000	41,779	1,813	9,053	8,666268	0,149561493
2001	45,976	1,855	9,11	9,187851	0,006060771
2002	50,354	1,878	9,321	9,481589	0,025788929
2003	55,018	1,898	9,545	9,741659	0,038674906
2004	58,733	1,906	9,539	9,847063	0,094903007
2005	61,935	1,911	9,774	9,913364	0,019422386
2006	66,467	1,926	9,955	10,11337	0,025082505
2007	69,488	1,939	10,1	10,28859	0,035565711

 

В результате ПФ будет  иметь следующий вид:

 

Y^ = 1,897142*K ^0,00058832 *L ^2,549475

 

Рис.4 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Производственная функция  Кобба-Дугласа с учетом НТП при 

 

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа с учётом НТП вида:

 

,        (5)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, – специальный множитель технического прогресса, p₀ – параметр нейтрального НТП (p₀>0) при α+β=1. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003.

В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок достигает минимума при:

 

A			p
1,11077	0,49463	0,50537	-0,009

 

t	Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
0	1987	12,021	1,251	3,626	4,255462	0,396223037
1	1988	13,787	1,321	4,014	4,639196	0,390869685
2	1989	15,429	1,392	4,453	4,99121	0,289670078
3	1990	17,212	1,454	4,869	5,33781	0,219782385
4	1991	19,042	1,507	5,296	5,662748	0,134504095
5	1992	20,79	1,568	5,798	5,980033	0,033136038
6	1993	23,097	1,598	6,233	6,303323	0,004945302
7	1994	25,108	1,626	6,641	6,567753	0,005365166
8	1995	27,097	1,667	7,241	6,844795	0,156978794
9	1996	29,627	1,706	7,854	7,173191	0,463500994
10	1997	32,362	1,753	8,09	7,529158	0,314544001
11	1998	35,391	1,778	8,504	7,855534	0,420508573
12	1999	38,474	1,806	8,879	8,178033	0,491354634
13	2000	41,779	1,813	9,053	8,458675	0,35322206
14	2001	45,976	1,855	9,11	8,891876	0,047577972
15	2002	50,354	1,878	9,321	9,275526	0,002067921
16	2003	55,018	1,898	9,545	9,65592	0,012303177
17	2004	58,733	1,906	9,539	9,904998	0,133954245
18	2005	61,935	1,911	9,774	10,09099	0,100483383
19	2006	66,467	1,926	9,955	10,39732	0,195646721
20	2007	69,488	1,939	10,1	10,56933	0,220267427