Направленные отрезки

1 Направленные отрезки

Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО ), если учитывается порядок задания его концов.

Пусть и — концы НО. — первый — начало НО, — второй — конец НО. Будем обозначать через направленный отрезок с концами и . Если концы и совпадают, то НО называется нулевым или вырожденным и мы пишем или .

Определение 1.2. Длиной направленного отрезка будем называть длину соответствующего обычного отрезка. Длину направленного отрезка будем обозначать через . В частности, .

Определение 1.3. Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными,если прямые и или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Коллинеарные отрезки обозначаются .

Определение 1.4. Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое (противоположное) направление, если точки и лежат по одну (по разные) стороны от прямой .

Определение 1.5. В случае, если невырожденные направленные отрезки и лежат на одной прямой , они имеют одинаковое направление, если на любой прямой , параллельной найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков и . Если же любой невырожденный отрезок (лежащий на прямой , параллельной прямой ) имеет одинаковое направление с одним из отрезков и и противоположное сдругим, то направленные отрезки и имеют противоположное направление.

Условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым напраленным отрезком. Одинаково направленные (сонаправленные)отрезки обозначаются , а противоположно направленные .

Определение 1.6. Два направленных отрезка и называются эквиполентными, если

1) ;

2) ;

3) .

Эквиполентные направленные отрезки мы обозначаем .

ЛЕММА 1.1. (признак эквиполентности направленных отрезков)

Необходимым и достаточным условием эквиполентности направленных отрезков и является совпадение середины отрезка с серединой отрезка .

Доказательство необходимости. Дано .Пусть — середина отрезка . Рассмотрим центральную симметрию относительно точки . Совершенно очевидно, что каждый направленный отрезок при центральной симметрии переходит в направленный отрезок , такой, что . Пусть — точка, в которую при преобразовании перейдет точка . Так как точка переходит в точку , то направленный отрезок перейдет в направленный отрезок и, значит, точки и совпадают, т.е. точка является также и серединой отрезка .

Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка совпадает с серединой отрезка . Обозначим их общую середину через . Значит при преобразовании симметрии относительно точки точка перейдет в точку , а точка перейдет в точку , поэтому .

2 Понятие вектора

Приведем одну теорему, доказательство которой очевидно.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть — множество направленных отрезков в пространстве. Отношение эквиполентности на является отношением эквивалентности, т.е. удовлетворяет трем условиям:

1) — рефлексивно, т.е. ;

2) — симметрично, т.е. если , то ;

3) — транзитивно, т.е. если и , то .

Из теоремы 2.1. следует, что разбивается отношением на непересекающиеся классы. Получаем фактор-множество .

Элементами множества являются классы эквиполентных между собой направленных отрезков.

Определение 2.1. Вектором или свободным вектором называется множество эквиполентных между собой направленных отрезков.

Пусть — направленный отрезок, тогда класс направленных отрезков эквиполентных ему мы называем вектором и обозначаем . Вектор заполняет все пространство,а — это представитель вектора Векторы мы будем обозначать еще и малыми латинскими буквами . Нулевым направленным отрезком определяется нулевой вектор . Длиной вектора естественно считается длина направленного отрезка (представителя), т.е. . Длина нулевого вектора считается равной нулю. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

Заметим, что запись (читается "вектор равен вектору ") означает, что множество совпадает с множеством , т.е. и --- один и тот же вектор, но по-разному обозначенный. В частности, запись означает, что и --- один и тот же вектор (т.е. что отрезки и эквиполентны).
Имеет место следующая лемма о равенстве векторов.

ЛЕММА 2.1. (признак равенства векторов)

Если , то .

Доказательство. середины отрезков и совпадают (см. Лемму 1.1.). Но тогда середины отрезков и совпадают, значит, (см. Лемму 1.1.) . Другими словами, .

Отложить вектор от точки — значит построить направленный отрезок , входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор

ЛЕММА 2.2. (откладывание вектора от точки)

Для любого вектора и любой точки существует единственная точка такая, что .

Доказательство. Сначала докажем конструктивно, что такая точка существует. Пусть — представитель вектора . Построим середину отрезка точку . Далее строим точку , симметричную точке относительно точки . Точка искомая, так как середины отрезков и совпадают, то по лемме 1.1. , значит, . Осталось доказать единственность. Предположим, чтосуществует еще одна точка такая, что . Тогда получаем , следовательно, по лемме 2.1. . Поэтому точки и совпадают.

Определение 2.2. Говорят, что вектор параллелен прямой , если любой его представитель либо параллелен этой прямой, либо лежит на ней.

Определение 2.3. Векторы и называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой (мы пишем ).

Очевидно, что если , то они либо сонаправлены (если сонаправлены любые их представители), либо противоположно направлены (если противонаправлены любые их представители) . Снова условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору .

Определение 2.4. Пусть произвольный вектор и — его представитель,тогда вектор . Вектор

называется противоположным к вектору

и обозначается .

Очевидно, что противоположен вектору , т.е.

.

3 Сложение векторов

Определение 3.1. Суммой двух векторов и называется вектор , где , , — произвольная точка, — точки, полученные после откладывания векторов и .

Покажем, что сумма векторов не зависит от выбора точки .

Действительно, пусть --- любая точка, отличная от точки . Строим векторы . Докажем, что .

Так как и , то по лемме 2.1. и , то есть . Следовательно, по той же лемме
.

Замечание 3.1. Для нахождения суммы неколлинеарных векторов приходится строить треугольник . Поэтому правило сложения векторов называется правилом треугольника. Из этого правила следует, что для любых трех точек справедливо равенство

В частности, это правило справедливо и для коллинеарных точек.

Свойства сложения векторов.

ТЕОРЕМА 3.1. Для произвольных векторов справедливы следующие равенства:

1. --- коммутативность сложения векторов.

2. --- ассоциативность сложения векторов.

3. .

4. .

Доказательство.

1. Пусть и --- произвольные векторы. От какой-нибудь точки отложим векторы , а затем от точки отложим вектор . Согласно построению , поэтому по лемме 2.1. получаем , т.е. .

По правилу треугольника и , следовательно, . Отсюда получаем, что .

2. Пусть и --- произвольные векторы. Возьмем какую-нибудь точку и отложим последовательно векторы
.
По правилу треугольника , поэтому . С другой стороны , поэтому . Отсюда получаем требуемое.

3. Применим правило к точкам получим
.

Значит, .

4. Применим правило к точкам получим
.
Значит, .

Замечание 3.2.

1. Суммой векторов и будем считать вектор . На основании доказанной теоремы , поэтому при записи суммы трех векторов можно опустить скобки и писать просто . Более того, можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле, докажем, например, что
:

.

2. Аналогично можно определить сумму векторов, где . Пусть --- произвольные векторы. Их суммой называется вектор , и обозначается так: .
Из второго свойства можно получить правило многоугольника для нахождения суммы любого конечного числа векторов. Оно таково:
Суммой конечного числа векторов называется вектор, идущий из начала первого в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего.
Нетрудно убедиться в том, что сумма векторов не зависит от порядка слагаемых.

3. Для неколлинеарных векторов при их сложении можно пользоваться правилом параллелограмма:
Суммой двух неколлинеарных векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, при условии, что начало искомого вектора совпадает с началом данных векторов.

4 Разность векторов.

Определение 4.1. Разностью векторов и , взятых в данном порядке, называется такой вектор , который в сумме со вторым вектором дает первый вектор.

Докажем существование и единственность разности.
Существование. Отложим векторы и от одной и той же точки :

Применяя равенство для точек получаем

Полагая , будем иметь . Этим доказано существование разности.
Единственность. Пусть существует еще вектор такой, что . Тогда . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор . Получим





Таким образом, доказано существование и единственность разности любых двух векторов, при этом эта разность обозначается .
Замечание 4.1. Из доказательства существования разности векторов можно сформулировать правило нахождения разности двух векторов:

Разностью двух данных векторов, отложенных из одной точки является вектор, идущий из конца второго в конец первого.

Отметим еще равенство

В самом деле,
 

5 Умножение вектора на число.

Определение 5.1. Произведением вектора на действительное число называется вектор , который удовлетворяет двум условиям:

1. ;

2. , если и
, если .

Из условия 1. следует, что тогда и только тогда, когда или .

В дальнейшем вместо записи будем употреблять запись

Напомним определение гомотетии, известное из школьного курса геометрии.
Определение 5.2. Гомотетией с центром в точке и коэффициентом называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка такая, что выполнены следующие условия:

1. точки лежат на одной прямой;

2. ;

3. , если и
, если .

Предварительно докажем одну лемму.

ЛЕММА 5.1. Если при гомотетии с центром в точке и коэффициентом треугольник переходит
в треугольник , то .

Доказательство. По определению гомотетии имеем и , поэтому подобен с коэффициентом . Отсюда следует, что и . Если , то точки и лежат по одну сторону от прямой , поэтому , следовательно, . Если , то точки и лежат по разные стороны от прямой , поэтому , т.е. и в этом случае .

Свойства умножения вектора на число.

ТЕОРЕМА 5.1. Для произвольных чисел и векторов справедливы следующие равенства:

1. и .

2. .

3. .

4. .

Доказательство. Справедливость равенства 1. сразу следует из определения произведения вектора на число.

Заметим, что если хотя бы одно из чисел равно нулю или хотя бы один из векторов нулевой, то справедливость остальных равенств очевидна. Поэтому приводим доказательство свойств 2,3.4 при условии, что .


2. Обозначим через и . По определению произведения вектора на число имеем





Отсюда следует, что . Докажем теперь, что . Возможны два случая: или . Рассмотрим первый случай. Так как , то . С другой стороны, если (), то по определению произведения вектора на число



Значит в первом случае .

Аналогично, рассматривая второй случай , убеждаемся, что . Следовательно, и свойство 2. доказано.

3. Отложим от какой-нибудь точки вектор , а затем от точки --- вектор . По правилу треугольника , т.е . Рассмотрим гомотетию с коэффициентом и с центром в некоторой точке , не лежащей на прямых и . Пусть точки при этой гомотетии переходят в точки соответственно. По лемме 5.1.

или . С другой стороны, по правилу треугольника , т.е. .


4. Рассмотрим два возможных случая.

Первый случай. .
От некоторой точки отложим вектор , а затем от точки --- вектор . По определению произведения вектора на число получаем, что
. Так как , то , поэтому точка лежит между точками и , следовательно, или . Но числа и имеют одинаковые знаки, поэтому . Таким образом,


Векторы и одинаково направлены, если , т.е. , и противоположно направлены, если , т.е. . Учитывая равенство , получаем . С другой стороны, .

Второй случай. .
Если (то есть ), то левая часть доказываемого равенства есть нуль-вектор. Но и правая часть равна нулевому вектору.
Пусть теперь . Так числа и имеют разные знаки, то либо и , либо и имеют один и тот же знак. Пусть, например,
и имеют один и тот же знак. Тогда по доказанному первому случаю:


или после очевидных действий

.
Доказательство теоремы закончено.

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Замечание 5.1. В курсе алгебры дается следующее определение векторного пространства над множеством действительных чисел.

Пусть --- непустое множество, элементы которого называются векторами и пусть на этом множестве определены две операции сложения и умножение вектора на действительное число. Если эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

1. Для любых векторов :


2. Для любых векторов :


3. Существует вектор (нуль-вектор) такой, что для любого вектора


4. Для каждого вектора существует вектор



5. Для любого вектора


6. Для любых действительных чисел и любого вектора


7. Для любых действительных чисел и любого вектора


8. Для любого числа и любых векторов и
,

то называется векторным пространством над множеством действительных чисел.

Отметим, что с выше определенными линейными операциями является векторным пространством над множеством действительных чисел (говорят, что построена конкретная реализация векторного пространства, т.е. указано строение множества и конкретно определены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число). В дальнейшем иногда мы будем давать определения понятий для произвольного векторного пространства, которое будет обозначаться через и выяснять геометрический смысл этого понятия или его особенности для пространства .

6 Признак коллинеарности векторов.

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть . Тогда


Доказательство необходимости. Существование докажем конструктивно, т.е. укажем число удовлетворяющее
условиям теоремы. Положим



Легко проверить, что векторы и имеют одинаковые длины и направления. Следовательно, .
Докажем теперь единственность. Пусть существует еще число такое, что . Тогда имеем равенство


так как .

Доказательство достаточности. Непосредственно следует из определения произведения вектора на число.

7 Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.

Определение 7.1. Вектор называется параллельным плоскости , если прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней. Нулевой вектор параллелен любой плоскости.

Определение 7.2. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть векторы такие, что неколлинеарен . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют и определены однозначно числа и такие, что выполняется равенство .

Доказательство необходимости. Существование. От произвольной точки отложим векторы и . Так как векторы компланарны, то точки лежат в одной плоскости, а точки не лежат на одной прямой ( неколлинеарен ). Рассмотрим возможные случаи расположения точки .

1. не лежит на прямых и .Через точку проведем прямые параллельные прямым и соответственно, где .

По правилу параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов имеем . Но точки , значит . По теореме 6.1. получаем, что , т.е. .

2. . В этом случае и по теореме 6.1. получаем, что . Полагая , снова приходим к требуемому равенству.

3. . Этот случай рассматривается аналогично случаю 2.

Итак, существование чисел и доказано. Переходим к доказательству их единственности. Предположим, что существуют еще числа и , удовлетворяющие условию теоремы. Тогда имеем равенство



Если бы , то имело бы место равенство



из которого следовало бы по теореме 6.1., что . Но это противоречит условию. Следовательно, . Аналогично можно доказать, что . Необходимость доказана.

Доказательство достаточности. Пусть имеет место равенство . Отложим от некоторой точки вектор , затем от точки вектор . Тогда . Рассмотрим плоскость, содержащую три точки , обозначим ее через . Тогда получаем, что векторы параллельны этой плоскости. Но тогда плоскости параллельны также векторы , т.е. они компланарны по определению. Теорема доказана полностью.

Для дальнейшего изложения нам потребуется еще одна теорема, доказательство которой предлагаем провести самостоятельно в полной аналогии с доказательством теоремы 7.1.
ТЕОРЕМА 7.2. Если векторы некомпланарны, то для любого вектора имеет место равенство

8 Линейная зависимость и независимость системы векторов.

В этом параграфе рассматривается произвольное векторное пространство (см. Замечание 5.1.)
Определение 8.1. Пусть дана система векторов

Говорят, что вектор является линейной комбинацией векторов системы с коэффициентами , если справедливо равенство

Говорят еще, что вектор линейно выражается через векторы системы .

Определение 8.2. Векторы системы называются линейно независимыми, если равенство

выполняется тогда и только тогда, когда все равны нулю.

Отметим, что набор чисел является нулевым тогда и только тогда, когда все числа этого набора равны нулю. В противном случае, набор чисел считается ненулевым.

Определение 8.3. Векторы системы называются линейно зависимыми, если существует хотя бы один ненулевой набор такой, что имеет место равенство .

Свойства линейной зависимости.

1. Система векторов, содержащая , линейно зависима.

Действительно, справедливо равенство

2. При система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

В самом деле, пусть система векторов линейно зависима. Тогда по определению выполнено равенство , причем, например, . Перепишем это равенство в виде
. Получаем, что является линейной комбинацией векторов .

Обратно, пусть, например, является линейной комбинацией векторов . По определению это означает, что имеем равенство , которое равносильно равенству . Заметим, что набор чисел --- ненулевой, поэтому система векторов линейно зависима.

3. Если подсистема системы векторов линейно зависима,
то и вся система линейно зависима.

Пусть дана система векторов и пусть для определенности первые векторов линейно зависимы. Тогда по определению существует ненулевой набор чисел такой, что имеет место равенство . Но тогда, очевидно, имеет место и равенство
. Для завершения доказательства осталось заметить, что набор чисел также ненулевой.

4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

Доказательство сразу получается методом от противного из доказанного свойства 3.

9 Геометрический смысл линейной зависимости векторов.

В этом параграфе докажем теоремы, раскрывающие геометрический смысл линейной зависимости векторов пространства .

ТЕОРЕМА 9.1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Пусть --- линейно зависимы. Тогда по свойству 2. линейной зависимости хотя бы один из них является линейной комбинацией других, т.е. . Но по теореме 6.1. в этом случае векторы и коллинеарны.

Обратно, пусть векторы и коллинеарны. Тогда если хотя бы один из них нулевой, то они линейно зависимы по свойству 1., если же они ненулевые, то по теореме 6.1. .
Следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

Следствие 9.1. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы.

ТЕОРЕМА 9.2. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Пусть --- линейно зависимы по свойству 2., например, , а тогда по теореме 7.1. они компланарны.

Обратно, пусть --- компланарны. Возможны следующие случаи:

a). Если какие-нибудь два из них коллинеарны, например, и , то система векторов - линейно зависима по теореме 9.1. Но тогда по свойству 3. система векторов также линейно зависима.

b). Если любые два вектора неколлинеарны, тогда по теореме 7.1 , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

Следствие 9.2. Любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

ТЕОРЕМА 9.3. Любая система, состоящая более чем из трех векторов, линейно зависима.

Доказательство. С учетом свойства 2. достаточно рассмотреть систему, состоящую из четырех векторов . Возможны следующие случаи:

a). Если какие-нибудь три из них компланарны по теореме 9.2. они линейно зависимы, а тогда по свойству 3. --- линейно зависимы.

b). Если любые три вектора некомпланарны, тогда по теореме 7.2. , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

10 Базис векторного пространства. Координаты вектора.

Определение 10.1. Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная система векторов , которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. Система данных векторов линейно независима.

2. Любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов, т.е.

Нетрудно видеть, что представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса однозначно.
В самом деле, если предположить, что существует еще разложение
, то получим равенство

Поскольку система векторов линейно независима, то все числа .

Определение 10.2. Коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе .

В этом случае мы будем писать .

Рассмотрим теперь векторное пространство . Докажем несколько теорем о базисе пространства .

ТЕОРЕМА 10.1. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов пространства является его базисом.

Доказательство. По следствию 9.2. такая система векторов линейно независима, а по теореме 7.2. любой вектор пространства является линейной комбинацией трех некомпланарных векторов.

ТЕОРЕМА 10.2. Любой базис пространства состоит из трех векторов.

Доказательство. Пусть --- базис пространства . Он не может содержать более трех векторов по теореме 9.3., так как векторы будут линейно зависимы. Однако он не может содержать менее трех векторов.
Если содержит два вектора , а вектор такой, что --- некомпланарны, то по следствию 9.2. не может быть разложен по векторам и . Тем более один вектор не может служить базисом пространства .

Определение 10.3. Число векторов в любом базисе называется размерностью векторного пространства.

Таким образом, размерность векторного пространства равна трем. Обозначение: .

Различают два вида базисов.

1. Аффинный --- базисные векторы имеют произвольную длину и углы между ними любые. Произвольный аффинный базис мы будем обозначать .

2. Ортонормированный или декартов базис, частный случай аффинного базиса. Этот базис будем обозначать , базисные векторы этого базиса единичные и взаимно перпендикулярные

Замечание 10.1. Поскольку ортонормированный базис есть частный случай аффинного, то всё, что доказано для аффинных базисов справедливо и для ортонормированных, но не наоборот.

Свойства координат вектора.

ТЕОРЕМА 10.3. Пусть --- базис пространства и пусть в этом базисе векторы . Тогда для любых действительных чисел вектор

в базисе .

Доказательство. По определению координат вектора имеем:




Поэтому вектор


Используя свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов, раскроем скобки и получим





Последнее равенство по определению означает, что


в базисе .

Из теоремы 10.3. получаем следующие следствия.

Следствие 10.1. Любая координата суммы (разности) векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 10.2. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Следствие 10.3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

11 Векторные подпространства

Определение 11.1. Пусть --- непустое множество векторов из векторного пространства . Множество называется векторным подпространством пространства , если выполнены следующие два условия:
1. Если и , то .

2. Если , то для любого вещественного числа .

По аналогии с пространством введем понятие базиса подпространства . Базисом векторного подпространства называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов из , что любой вектор подпространства является линейной комбинацией данной системы векторов. Можно доказать, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью векторного подпространства.

Пусть теперь имеем дело с пространством . Так как , а в любая система, состоящая более чем из трех векторов линейно зависима, то размерность любого подпространства пространства не больше, чем три.
Рассмотрим примеры векторных подпространств пространства и выясним их геометрический смысл.

1. Возьмем два неколлинеарных вектора и пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольные действительные числа.

Это множество, как нетрудно проверить, удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется подпространством натянутым на векторы и , и обозначается . Пусть --- плоскость, которой параллельны векторы и . Докажем, что --- множество тех и только тех векторов пространства , которые параллельны плоскости . Действительно, при любых значениях и векторы и линейно зависимы, поэтому они компланарны, то есть вектор
параллелен плоскости . Обратно, любой вектор , параллельный плоскости , компланарен с векторами и , поэтому является линейной комбинацией векторов и , то есть принадлежит множеству .

Векторы и образуют базис подпространства . В самом деле, эти векторы линейно независимы по следствию 9.1., и любой вектор подпространства является линейной комбинацией векторов и по построению этого множества. Таким образом, множество всех векторов,
параллельных некоторой плоскости, является двумерным векторным подпространством пространства .
Еще раз отметим, что базисом такого подпространства является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

2. Возьмем ненулевой вектор пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольное действительное число. Это множество является векторным подпространством пространства . Обозначим его через . Пусть --- прямая, которой параллелен вектор . Аналогично примеру 1 можно доказать, что --- множество всех тех и только тех векторов пространства , которые параллельны прямой .

Вектор является базисом подпространства , поэтому --- одномерное векторное подпространство. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой прямой, является одномерным векторным подпространством пространства .

3. Рассмотрим множество, состоящее только из одного нулевого вектора. Оно удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется нулевым или тривиальным векторным подпространством. Принято считать, что размерность этого подпространства равна нулю.

12 Величины направленных отрезков на оси

Определение 12.1. Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью.

Замечание 12.1. В данном определении молчаливо предполагается, что выбран некоторый масштабный отрезок для измерения длин.

Дадим определение величины направленного отрезка на оси.

Определение 12.2. Величиной направленного отрезка на оси называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком плюс, если направление совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление противоположно направлению оси. Величины всех нулевых направленных отрезков на оси считаются равными нулю.

ТЕОРЕМА 12.1. (основное тождество для точек оси) Если --- три любые точки оси, то

Доказательство. Предположим, что точки попарно различны. Если точка лежит между точками и , то ; но в этом случае направленные отрезки , и имеют одинаковое направление, следовательно числа , и
имеют один знак, а потому .

Если точка лежит между и , то по доказанному



поскольку . Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи.

13 Основные виды параллельного проектирования

В геометрии рассматриваются следующие три вида параллельного проектирования.

1.Проекция точек плоскости на прямую параллельно прямой .

Пусть на плоскости заданы две пересекающиеся в точке прямые и . Если точка плоскости не лежит на прямой , то проекцией точки на прямую параллельно прямой называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее проекцией на прямую параллельно прямой называют точку . Если прямые и взаимно перпендикулярны, то рассмотренный вид проектирования оказывается ортогональным проектированием на прямую .

Итак: Ортогональной проекцией точки плоскости на прямую , лежащую в этой плоскости, называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .


2. Проекция точек пространства на плоскость параллельно прямой .

Пусть в пространстве задана плоскость и пересекающая ее в точке прямая . Если точка пространства не лежит на прямой , то проекцией ее на плоскость , параллельно прямой называется точка пересечения плоскости с прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее проекцией на плоскость параллельно прямой называют точку . Если прямая перпендикулярна плоскости , то рассматриваемый вид проектирования оказывается ортогональным.

Итак: ортогональной проекцией точки на плоскость называется точка пересечения плоскости с прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .



3. Проекция точек пространства на прямую параллельно плоскости .

Пусть в пространстве задана плоскость и пересекающая ее в точке прямая . Если точка пространства не лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую параллельно плоскости называется точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости . Если же точка лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую параллельно плоскости называют точку . Если прямая перпендикулярна плоскости , то проектирование оказывается ортогональным.

                     

Таким образом, ортогональной проекцией точки на прямую называется точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Отметим в заключение, что ортогональное проектирование точки на прямую в пространстве можно определить и так:

ортогональной проекцией точки на прямую называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку и пересекающую прямую под прямым углом.

Нетрудно убедиться в том, что при любом из рассмотренных видов параллельного проектирования отрезок проектируется в отрезок, причем, середина отрезка проектируется в середину.

14 Проекция вектора на ось

Пусть --- ось и --- некоторый вектор. Обозначим через и параллельные проекции точек и на прямую .
Определение 14.1. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка на оси.

Замечание 14.1. Согласно определению 11.1. проекция вектора на ось --- это число, равное длине отрезка , взятое с определенным знаком.

Проекцию вектора на ось будем обозначать через . В случае ортогонального проектирования применяется обозначение . Отметим, что
ортогональное проектирование есть частный случай параллельного, поэтому для него выполняются все свойства параллельного проектирования, но не наоборот.

Кроме того отметим, что проекцию вектора мы определили через проекцию его представителя, поэтому необходимо доказать, что это определение не зависит от выбора представителя. Это доказательство отнесем к свойствам
проекций векторов на ось.

Свойства проекций векторов на ось.
1. Проекции равных векторов равны.( более точно, проекции эквиполентных направленных отрезков равны)

Доказательство. Пусть . Обозначим через:
проекции точек . Так как , то середины отрезков и совпадают и, кроме того, при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в
середину его проекции, следовательно середина отрезка совпадает с серединой отрезка , значит, .

2. Проекция суммы векторов на ось есть сумма проекций слагаемых векторов, т.е.

Доказательство. Пусть тогда
. Обозначим через: проекции точек . Используя основное тождество (см. теорему 12.1.) для точек оси, получим

.

Для завершения доказательства достаточно заметить, что
.

3. Для ортогональной проекции

где --- угол между вектором и осью.

Доказательство. Пусть . Так как проекции равных векторов равны между собой, то можно считать, что вектор отложен от точки оси . Обозначим через проекцию точки на ось. Если вектор ненулевой и угол --- острый, то (см. рис. 1)

Если же вектор ненулевой и угол --- тупой, то (см. рис. 2)

В случае когда вектор или он перпендикулярен оси, формула очевидна.

15 Скалярное произведение векторов

Определение 15.1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать или просто . По определению имеем

где --- угол между векторами и .

Перечислим основные свойства скалярного произведения, разделив их на свойства алгебраические и геометрические.

Алгебраические свойства.

1. Для любых векторов и

т.е. скалярное произведение векторов обладает свойством коммутативности.

Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.