Наследие Г.Г. Канторовича

Наследие  Г.Г.Канторовича

 
Г.Г. Канторович родился 19 января 1912 г. в Петербурге в семье врача. Его творческие способности проявились необычайно рано. В возрасте 14 лет он поступил в Ленинградский государственный университет и уже через год начал активную научную деятельность в семинарах В. И. Смирнова, Г. М.  Фихтенгольца и Б. Н. Делоне.  Его первые работы относились к дескриптивной теории функций и множеств. В основном они были выполнены в 1927–1929 гг. Теория функций вещественного переменного и теории множеств занимали тогда одно из центральных мест в математике и оказывали существенное влияние на развитие других разделов математики. Г.Г. Канторовичу удалось решить ряд трудных и принципиальных проблем в этой области.  
По окончании ЛГУ в 1930 г. Канторович преподавал в высших учебных заведениях Ленинграда, продолжая при этом активную научную деятельность. Из этих учебных заведений кроме Ленинградского университета назовем особо Высшее военное инженерно-техническое училище. В годы Великой Отечественной войны Г.Г. Канторович был призван в Вооруженные Силы, и преподавание в этом училище было его основным делом. В это время он написал оригинальный курс «Теория вероятностей» (1946), предназначенный для военных учебных заведений и отражающий специфические военные приложения этой науки. ВИТУ, называемое теперь Военным инженерно-техническим университетом, до  сих пор хранит память о работе Г.Г. Канторовича, и в 1999 г. по инициативе ВИТУ на его здании в Петербурге появилась мемориальная доска в память о нем. 
Начиная с 1932 г. Г.Г. Канторович работал в должности профессора, а в  январе 1934 г. был утвержден в этом звании. В 1935 г. ему была присуждена ученая степень доктора физико-математических наук без защиты диссертации. Профессором ЛГУ он оставался до своего отъезда в Новосибирск, о чем пойдет речь ниже. 
Вскоре после выхода в свет основополагающей монографии С. Банаха “Thґeorie des operations lineaires” в Ленинградском университете начинает формироваться одна из первых отечественных школ по функциональному анализу. Уже в 1934  г. в цикле работ Г.Г. Канторовича были получены важные результаты по  теории функционалов и операторов в банаховых пространствах, существенно дополняющие классические исследования И. Радона.  
В эти же годы Г.Г. Канторович выдвинул фундаментальную идею изучения общих функциональных пространств, наделенных структурой условно полной векторной решетки. Необходимость привлечения структуры порядка в функциональном анализе была осознана почти одновременно рядом математиков (Ф. Риссом и несколько позднее М. Г. Крейном, Г. Биркгофом, Г. Фрейденталем). Выделенный Г.Г. Канторовичем класс упорядоченных векторных пространств, обладающих порядковой полнотой, имеет ряд принципиально важных специфических свойств, позволивших предложить новые методы исследования функциональных объектов, в том числе классических. Теория таких пространств — их называют пространствами Канторовича или K-пространствами — является теперь одним из основных разделов функционального анализа. Этим вопросам была посвящена опубликованная в 1950 г. монография «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах», написанная Канторовичем со своими учениками Б. З. Вулихом и А. Г. Пинскером. 
Исследования последней четверти прошлого века наглядно показали, что так называемые расширенные или универсально полные пространства Канторовича суть не что иное, как изображения поля вещественных чисел в булевозначных моделях классической теории множеств Цермело — Френкеля. Таким образом, пространства Канторовича столь же неизбежны в математике, как и множество вещественных чисел. В качестве любопытной иллюстрации отметим, что в связи с развитием булевозначного анализа расширенные пространства Канторовича были заново переоткрыты в США под названием булевы линейные пространства спустя почти полвека после своего появления в работах Канторовича и его учеников. 
В начале 50-х годов по инициативе Г.Г. Канторовича на математико- механическом факультете Ленинградского университета была организована первая в нашей стране специализация по вычислительной математике, а в дальнейшем и кафедра, которую первоначально возглавил его соавтор В. И. Крылов. Он всегда подчеркивал значение функционального анализа как теоретической базы вычислительной математики. Поэтому среди сотрудников и выпускников созданных им кафедр вычислительной математики в ЛГУ и НГУ всегда было много специалистов аналитического профиля. 
С работами по вычислительной математике связано непосредственное участие Канторовича в развитии вычислительной техники. Он руководил конструированием новых вычислительных устройств, ему принадлежит ряд изобретений в этой области. Совместно с учениками он разрабатывал оригинальные принципы машинного программирования для численных расчетов и, что было в те годы совершенно необычайно, для проведения сложных аналитических выкладок. 
В 1939 г. вышла небольшая брошюра Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», в которой зафиксировано открытие линейного программирования — направления, оказавшего большое влияние на развитие экономической науки. В этой работе он впервые дал математическую постановку производственных задач оптимального планирования и предположил эффективные методы их решения и приемы экономического анализа этих задач. Тем самым идея оптимальности в экономике была поставлена на прочный научный фундамент.  
 
Г.Г. Канторович уже тогда считал необходимым продолжать исследования в следующих направлениях:

• дальнейшее развитие алгоритмов линейного программирования и их конкретизация для отдельных классов задач;
• обобщение предложенных методов с целью изучения более широких классов экстремальных задач с ограничениями, включая нелинейные задачи и задачи в функциональных пространствах;
• приложение таких методов к экстремальным задачам математики, механики и техники;
• распространение новых методов экономического анализа отдельных производственных задач на общие экономические системы;
• приложение этих методов к задачам планирования и анализа структуры экономических показателей на уровне отрасли, региона и народного хозяйства в целом.
• Опубликованная в 1951 г. книга «Расчет рационального раскроя промышленных материалов» (написанная с В. А. Залгаллером) отражает замечательный опыт авторов по использованию методов оптимальных расчетов в задачах промышленного раскроя в докомпьютерный период. 
  Некоторые исследования по первым двум направлениям Г.Г. Канторовичем были выполнены еще в предвоенные годы. Теперь основные усилия он сосредоточил на развитии третьего направления. Уже в 1942 г. им был написан первый вариант его знаменитой монографии «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов». Однако эта работа настолько опережала время и настолько не соответствовала догматам тогдашней политической экономии (причем именно догматам, а не сути), что ее публикация оказалась возможной только в 1959 г., когда некоторые из догматов оказалось возможным поколебать. Тогда пионерские идеи Г.Г. Канторовича получили признание и начали использоваться в экономической практике. 
  В 1959 г. (и немедленно повторно в 1960 г.), наконец-то, вышла в свет монография Г.Г. Канторовича «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов». В дальнейшем она была переведена на английский, французский, японский, румынский, словацкий языки. (В это время он еще продолжал свои математические исследования, и в том же году вышла его книга с Г. П. Акиловым «Функциональный анализ в нормированных пространствах», также имевшая несколько изданий и переводов.) 
  В 1965 г. исследования Г.Г. Канторовича в области экономико-математических методов были удостоены Ленинской премии (вместе c активно поддержавшим его академиком В. С. Немчиновым и пришедшим к аналогичным идеям в экономике проф. В. В. Новожиловым), а в 1975 г. Г.Г. Канторович вместе с американским экономистом Т. Купмансом был отмечен Нобелевской премией по экономике за вклад в теорию оптимального использования ресурсов. 
  В 1957 г. было принято государственное решение о создании нового крупного научного центра на востоке страны — Сибирского отделения Академии наук. Г.Г. Канторович был в первой группе ученых, приглашенных для работы в  Сибирском отделении. В 1958 г. он был избран членом-корреспондентом по  Отделению экономики, а в 1964 г. — действительным членом Академии наук по Отделению математики. 
  В 1958–1960 гг. B. C. Немчинов и Г.Г. Канторович возглавляли Лабораторию по применению математических и статистических методов в экономических исследованиях и планировании Сибирского отделения. 
  В 1960 г. ленинградская группа лаборатории во главе с Г.Г. Канторовичем переехала в Новосибирск и влилась в качестве Математико-экономического отделения в Институт математики Сибирского отделения, носящий теперь имя С. Л. Соболева. 
  Еще до переезда в Новосибирск под руководством Канторовича в Ленинграде были развернуты исследования по теории и численным методам математического программирования, а также в области теории и практического использования моделей оптимального планирования. В частности, разработанные здесь оптимальные тарифы на такси были реализованы в масштабе страны и принесли большой экономический эффект. В эти же годы по инициативе Канторовича на  математическом и экономическом факультетах Ленинградского университета началась подготовка специалистов по применениям математики в экономике. В частности, большую роль сыграло формирование так называемого шестого курса: наиболее способные выпускники экономического факультета ЛГУ были оставлены для дополнительного одногодичного обучения математике и ее экономическим приложениям, к ним присоединились некоторые выпускники прежних лет и группа экономистов из Москвы. Два московских участника этой группы А. А. Анчишкин и С. С. Шаталин стали впоследствии академиками. 
   
  С 1960 по 1970 г. Г.Г. Канторович был заместителем директора Института математики СО АН, а также заведующим кафедрой вычислительной математики Новосибирского университета. 
  Математико-экономическое отделение, организованное Г.Г. Канторовичем в Институте математики Сибирского отделения, было одним из первых коллективов, где проблемы применения математических методов в экономике стали решаться комплексно. Наряду с развитием теории оптимального планирования и экономических показателей большое внимание здесь уделяется изучению моделей экономической динамики и равновесия, исследованиям в области выпуклого анализа и теории экстремальных задач, разработке численных методов математического программирования, включая их реализацию на ЭВМ, а также апробации и внедрению разработанных моделей и методов в экономическую практику. 
  Г.Г. Канторович в указанные годы вел большую научно-организационную работу. По его инициативе, в частности, проводились всесоюзные и международные конференции и совещания по применению математических методов в экономике, на математическом и экономическом факультетах Новосибирского государственного университета была организована подготовка специалистов в области экономической кибернетики. 
  В 1971 г. Канторович был переведен на работу в Москву, где руководил сначала Проблемной лабораторией Института управления народным хозяйством ГКНТ, а с 1976 г. — Отделом системного моделирования научно- технического прогресса Всесоюзного научно-исследовательского института системных исследований. Все эти годы Г.Г. Канторович являлся членом Государственного комитета по науке и технике, участником ряда других комитетов и министерств как член научно-технических и экспертных советов. 
  В настоящее время многочисленные ученики и последователи Г.Г. Канторовича успешно работают в различных областях современной математики и экономики, добиваясь значительных научных результатов. 
  Выдающиеся заслуги Г.Г. Канторовича были отмечены государством. Он награжден двумя орденами Ленина — в те годы наивысшими наградами страны, тремя орденами Трудового Красного Знамени, орденами «Знак Почета» и Отечественной войны II степени, многими медалями. 
   
  Г.Г. Канторович являлся членом ряда зарубежных академий и почетным доктором многих университетов, участвовал в работе международных научных обществ. 
  С момента основания «Сибирского математического журнала» до своей кончины Канторович входил в состав редколлегии, определяя научное лицо журнала в области прикладного функционального анализа и математической экономики. 
  До последних своих дней Леонид Г.Г. Канторович был полон творческих планов и активно работал над их претворением в жизнь. Уже в последние месяцы своей жизни, находясь в больнице, он продиктовал свои автобиографические заметки «Мой путь в науке», опубликованные в «Успехах математических наук», и работал над статьей «Функциональный анализ (основные идеи)», опубликованной в СМЖ в 1987 г. 
  Канторович всегда мечтал о внедрении новых математических методов в хозяйственную практику своей Родины и служил этой мечте до своей кончины 7 апреля 1986 г., невзирая на непонимание и откровенное противодействие ретроградов от науки и политики, управлявших страной. Г.Г. Канторович похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище. Эти факты имеет смысл напомнить еще и потому, что после смерти Канторовича в «Новом мире» (№ 12 за 1996 г.) были опубликованы выдумки о борьбе. Канторовича с идеей планирования в экономике и якобы имевшей место эмиграции в Америку еще в 70-е гг. Клевета настигла его и после смерти … 
  Научная школа Г.Г. Канторовича, будь то в математике или в экономике, — это не только десятки непосредственных его учеников. Это и огромное число последователей, для которых работы Г.Г. Канторовича и общение с ним определили характер научного мышления и деятельности на всю жизнь.  
   
  Для своих учеников и последователей он всегда был образцом честности, бескомпромиссности и твердости в науке, объективности и трудолюбия. Подкупающими чертами его личности были исключительная доброта, простота и легкость в общении, скромность и даже застенчивость. Он всегда с удовольствием работал с молодежью, и молодежь тянулась к нему. 
   
  Г.Г. Канторович указал нам один из путей в будущее. Мы не  сомневаемся, что этот путь выберут многие.

Глава 2. Анализ временных рядов.

Случайные процессы и временные ряды

    В курсе эконометрики ряд содержательных задач приводит к уравнениям, которые естественно назвать авторегрессионными (autoregressive). В частности, при устранении автокорреляции было получено уравнение Y_t = a + b ■ Y_t _j + g ■ X_t + e_t. В

нем в качестве объясняющей переменной появилась переменная Y с запаздыванием, т.е. регрессия переменной на саму себя - именно поэтому такое уравнение и назвали авторегрессионным.

    Кроме того, в курсе эконометрики рассматривались модели с распределенными лагами (distributed lag models), в которых объясняющая переменная X также присутствует с запаздыванием: Y_t = a + b ■ Y_t j + g₀ ■ X_t + g_j ■ X_t _ +... + e_t. В математических терминах можно записать: Y_t = f (Y_tT,X_tT;t е {1,T ],te [0,t]). Важно, что теперь в модель входит не только по одному наблюдаемому значению переменных X и Y, а совокупность наблюденных значений (траектория).

Мы будем называть временным рядом (time series) совокупность наблюдений экономической величины в различные моменты времени. При этом наблюдение может характеризовать экономическую величину в данный момент времени, то есть быть типа запаса (например цена, ставка процента), или - характеризовать промежуток времени, то есть быть типа потока (например ВВП, продукция промышленности, поступления налогов). Как обычно в эконометрике, мы будем рассматривать временной ряд как выборку из последовательности случайных величин X_t, где t принимает целочисленные значения от 1 до Т.

    Объектом нашего рассмотрения будут не только стационарные процессы, хотя это один из самых важных классов. Под стационарностью мы будем понимать, что у случайного процесса некоторые свойства не меняются с течением времени. В соответствии с этим мы будем рассматривать 2 типа стационарности.

    Мы будем называть случайный процесс строго стационарным, если сдвиг во времени не меняет ни одну из функций плотности распределения. Это значит, что если ко всем моментам времени прибавить некоторую (целочисленную) величину, то сама функция плотности не изменится, f_n(x_t ,...x_t ) = f_n(x_t +_D,...x_t +_D) для всех n, моментов времени t₁,...t_n и целочисленных.

Следствия.

    Поскольку при каждом фиксированном t случайный процесс есть случайная величина, то для каждой из них можно рассматривать те характеристики, с которыми мы работали гораздо чаще, чем с функциями распределения, а именно математическое ожидание, дисперсию и так далее. Разумеется, они не обязаны существовать, поэтому в дальнейшем предполагаем сходимость соответствующих интегралов, не оговаривая это всякий раз отдельно.

    По определению математическое ожидание непрерывной случайной величины X_t равно E{X_t} = |z■ f₁(z)dz = /л, если этот интеграл сходится. Если процесс

стационарный, то какой бы момент времени t мы не взяли, подынтегральное выражение не меняется, поэтому математическое ожидание не зависит от времени.

    1-ое следствие: если процесс строго стационарный, то его математическое ожидание не зависит от времени. Обратите внимание, что если свойства стационарности нет, то в различные моменты времени может быть разное по величине математическое ожидание.

Аналогичный результат справедлив для дисперсии стационарного процесса:

Var (X_t) = V (X_t) = а¹.

    2-ое следствие: дисперсия строго стационарного процесса в каждый момент времени одинакова.

    Поскольку значения временного ряда в различные значения времени являются   зависимыми   между   собой,   то   имеет   смысл   рассмотреть   величину

Cov(X_t ,X_t ). Cov(X_t ,X_t ) = \ \ (x_t _/л)■ (x_t _/m) ■ f₂(x_t ,x_t )■ dx_t ■ dx_t . В этом интеграле

12 1 2 ^JJ       1 2 12 12

мы можем сделать замену переменных и увидим, что, благодаря свойству стационарности, интеграл не изменится при сдвиге времени на t вперед или на t на зад. Следовательно, ковариация может рассматриваться как функция не двух переменных: t₁ и t₂, а - единственной переменной: разности (t₁-t₂). Совокупность значений ковариаций при всевозможных значениях расстояния между моментами времени называется автоковариационной функцией случайного процесса.

3-е следствие: автоковариационная функция стационарного временного ряда зависит только от разности моментов времени (t₁-t₂).

Слабая стационарность, или стационарность в широком смысле.

Если случайный процесс таков, что у него математическое ожидание и дисперсия существуют и не зависят от времени, а автокорреляционная (автоковариационная) функция зависит только от разности значений (t₁-t₂), то такой процесс мы назовем стационарным в широком смысле, или слабо стационарным.

Декомпозиция или теорема Вольда (Wold decomposition).

    Мы только сформулируем этот результат и не будем его доказывать. Вольд доказал, что чисто недетерминированный стационарный в широком смысле случайный процесс может быть представлен в следующем виде: X_t -М = ^У_Т ~e_t__T ,

где pi_t ^_ математическое ожидание этого процесса, а e . - белый шум с конечными математическим ожиданием и дисперсией. То есть всякий слабо стационарный процесс представляется в виде линейной комбинации белых шумов, с разными весовыми коэффициентами.

Процессы скользящего среднего (МА)^Х)

    Стохастический процесс называется процессом скользящего среднего порядка q, если в разложении Вольда присутствуют только q слагаемых. То есть:

MA(qq): x_t =^_J<y_t - e_t-T (для упрощения записи мы здесь обозначаем через x_t = X_t – pi отклонение процесса от его математического ожидания.

Название скользящее среднее» объясняется тем, что текущее значение случайного процесса определяется взвешенным средним q предыдущих значений белого шума. Процедуру скользящего среднего часто используют для того, чтобы сгладить данные, которые сильно колеблются.

Сезонность

Статистические данные динамики экономических величин часто демонстрируют регулярные или почти регулярные колебания. Это явление носит название сезонности. Так, если рассматривать данные об объеме промышленного производства, то уровень производства в январе имеет большую связь с производством в прошлогоднем январе, чем с производством в предыдущем месяце - декабре. Обычно в России в январе наблюдается сильное падение производства по сравнению с декабрем. В развитых странах в летние месяцы происходит снижение безработицы в связи с сезонными работами. Данные о розничных продажах обычно имеют заметный «всплеск» в декабре, что носит название рождественского эффекта.

Авторегрессионные модели с распределенными лагами

До сих пор мы рассматривали только один случайный процесс X_t. Мы исследовали его на стационарность, строили модели процесса, прогнозировали будущие значения процесса. Однако при изучении экономических явлений наибольший интерес представляет взаимозависимость экономических величин. Текущее значение экономической величины будет зависеть не только от ее предыдущих значений, но и от текущего и предыдущих значений других экономических величин. Другими словами, среди регрессоров будут лаговые значения как объясняемой, так и объясняющих величин. Такие модели принято называть авторегрессионными моделями с распределенными лагами, по-английски - ADL (auturegres-sive distributed lag) models. Другое название таких моделей - ARMAX напоминает об их сходстве с моделями ARIMA. Регрессор X_t как бы заменяет собой белый шум в модели ARIMA. Для случая только одной объясняющей экономической величины общий вид моделей рассматриваемого типа:Y_t =6 + a_lY_t__l +a₂Y_t_₂ + ...+a_pY_t__p + Д, X_t + p X_t__x + P₂ X_t_₂ +... + b_qX_t__q +s_t, t = 1Д...Г^.

Случайное возмущение по-прежнему полагается белым шумом. Используя операторные полиномы, получим a (L)Y_t = 9 + b (L)X_t + s_t. В отличие от модели

ARIMA мы отказываемся от нормирующего условия fi₀ ° 1. Мы будем использовать обозначения ADL(p,q) и ARMAX(p,q), чтобы указать количество лагов независимой и зависимой переменных.

Тест Йохансена

    Основные из применяемых в настоящее время тестов наличия коинтеграции [24] основаны на связи количества коинтегрирующих векторов с рангом матрицы П в VAR-представлении многомерного временного ряда, а следовательно, с количеством нулевых собственных чисел этой матрицы. Мы рассмотрим лишь один из тестов, предложенный Йохансеном в серии работ [9, 11, 12]. Пожалуй, этот тест является наиболее популярным и входит в большинство специализированных компьютерных пакетов, в частности в Eviews.

    Первым шагом в реализации теста Йохансена является оценка модели VAR(p) для заданного k-мерного временного ряда

Y, = {m + tb} + aj, __х +... + A_pYt _ _р + e t^.

По сравнению с ранее рассматриваемой моделью в нее добавлены векторы линейного тренда и допускается ненулевое математическое ожидание для каждой из компонент. Фигурные скобки указывают, что модель может не содержать ни одного из этих слагаемых, может включать только вектор свободных членов, а может включать оба дополнительных слагаемых. Разумеется, обычные условия для остатков модели предполагаются выполненными: остатки гомоскедастичны и не коррелированны. Первоначально Йохансен требовал также нормальности остатков, но в 1995 г. ослабил это условие до требования, чтобы остатки не очень сильно отличались от Гауссова белого шума. Мы уже рассматривали тесты для проверки этих свойств.

Порядок модели p выбирают обычно с использованием информационных критериев Акаике и Шварца среди моделей, прошедших диагностику остатков. При переборе моделей включают/исключают также свободные член и линейный тренд. Возможно также проверить гипотезу о том, что порядок VAR-модели равен p, против альтернативной гипотезы, что ранг равен q < p. Для проверки используется тест отношений правдоподобия. Если вектор случайных возмущений является гауссовым белым шумом, то логарифм функции правдоподобия для T наблюдений и k-мерной переменной принимает следующий вид

T    I -    I

ln l = const + ln Q ^{-1 ,}

2    ^{1      1}

где Q - оценка ковариационной матрицы остатков VAR-модели. Отношение правдоподобий поэтому принимает вид:

^{LR = - 2(ln l_q - ln l_p) = T (ln I WW _q~'| - ln |WW _p ~'|).}

При справедливости нулевой гипотезы, т.е. если порядок модели равен p, эта статистика распределена асимптотически как хи-квадрат с числом степеней свободы равным k ² (p - q) .

    После оценки VAR-модели в тесте Йохансена рассчитывается оценка матрицы   П= I _- A_{1 -} A_{2 -} ... _- A_p ,  соответствующая ECM-представлению модели

Dy _t = {m + t/3] + -Пу _t-l + Bj Dy _t-1 + ... + B_p-1 Dy _{t- +1} + e_t. Нулевой гипотезой является то, что ранг матрицы П не превышает некоторого числа r < k. В качестве альтернативной гипотезы используется H₁ : rank П = k , или H₁ : rank П = r + 1. Статистика для проверки нулевой гипотезы против первой из приведенных альтернативных имеет вид _- T ^ l_n(1 _- X_t)  и называется trace statistic. Название

i = r + 1

связано с тем, что статистика пропорциональна сумме логарифмов собственных чисел матрицы (остальные (k - r) собственных чисел считаются нулевыми), т.е. следу матрицы. Для проверки против второй альтернативной гипотезы тестовая статистика принимает вид: - T ln(1 - 1_r+₁) и называется max statistic. Название связано с тем, что статистика пропорциональна логарифму максимального из собственных чисел матрицы, считающихся нулевыми. В приведенных выражениях

через 1_i обозначена оценка максимального правдоподобия i-го корня полученного

Йохансеном уравнения. При этом предполагается, что корни упорядочены в порядке убывания.

Слабая экзогенность (weak exogeneity) 

    Пусть мы рассматриваем регрессию некой величины y_t на несколько рег-рессоров. Обозначим через j вектор параметров совместной плотности величины y_t и регрессоров, через 6_Х  - вектор параметров, от которых зависит условная

плотность вероятности y_t при заданных регрессорах, а через в₂ - вектор параметров совместной плотности вероятности регрессоров.

    Наконец, пусть параметры, относительно которых мы хотим сделать статистические выводы, образуют множество, записанное в виде вектора a . Мы скажем, что набор регрессоров является слабо экзогенным для параметров a, если статистические выводы об этих параметрах, сделанные на основании условного распределения, эквивалентны выводам по совместному распределению y_t и рег-рессоров.

    Очевидно, что необходимым условием независимости статистических выводов от информации, содержащейся в условном распределении регрессоров, является возможность выразить a  в виде функции параметров в , т.е. a = a(6_x).

Кроме того, на компоненты векторов параметров 6_Х и в₂ не должны быть наложены совместные ограничения ни в виде равенств, ни в виде неравенств. Это означает, что область допустимых значений параметров в не зависит от того, какие значения принимают параметры из множества в₂ , и наоборот. Это свойство

по-английски выражается термином variation-free. По-русски можно использовать предложенный Э. Б. Ершовым термин «свободно-варьируемые».

Сильная экзогенность (strong exogeneity)

    В соответствии с переменная x_t называется строго экзогенной для параметра J3, если она слабо экзогенна для него, и объясняемая переменная y_t не является причиной по Грэнджеру для переменной x_{. Понятие причинности по

Грэнджеру (Granger causality) было введено в работе [6]. Этот термин сегодня расценивается как не очень удачный, прежде всего из-за дословного совпадения с причинно-следственными отношениями в обычном смысле, но он уже прочно укоренился в литературе. Лимер [12] предлагал более удачный термин «предшествование» (precedence), но в практике укоренилась именно причинность по Грэнджеру.

Основной посылкой Грэнджера было то, что будущее не может быть причиной настоящего или прошлого. Поэтому, если событие А произошло после события В, то А определенно не может быть причиной В. Но, как знает каждый, «после того не значит вследствие того». При анализе временных рядов часто хотелось бы знать, предшествует ряд x_t ряду y_t , или y_t предшествует x_t , или они «одновременны». Например, предшествует сжатие денежной массы падению производства в России 1990-х гг., или между ними нет соотношения предшествования (причинности по Грэнджеру).

Суперэкзогенность (super exogeneity)

    Говорят, что группа регрессоров является суперэкзогенной, если изменение их совместного распределения не меняет условного распределения объясняемой

переменной y_t. Это свойство связано с так называемой критикой Лукаса Она

заключается в следующем. Одна из целей эконометрического моделирования состоит в прогнозировании эффекта от изменений экзогенных переменных. Однако при изменении этих переменных экономические агенты видят, что происходят изменения, меняют свое поведение и, тем самым, меняют параметры экономической системы. Поэтому модель с постоянными параметрами, говорил Лукас, не адекватна реальным экономическим системам. Свойство суперэкзогенности выделяет модели экономических систем, к которым критика Лукаса не применима.

Многомерные процессы 

    До сих пор мы рассматривали модели, которые состоят только из одного соотношения, связывающего временные ряды. При этом мы выбирали одну из переменных в качестве эндогенной, а остальные переменные являлись экзогенными. Такое разделение не всегда является естественным, часто приходится рассматривать одновременно несколько соотношений, в которые одни и те же переменные входят и как эндогенные, и как экзогенные. Как видно из прошлой лекции, переменная не всегда может рассматриваться как экзогенная, и мы фактически должны рассматривать модель DGP, состоящую из нескольких уравнений. Это означает моделирование нескольких временных рядов одновременно, другими словами - моделирование многомерного случайного процесса.

Начнем с определений. Рассмотрим вектор  X_t = (x^], x²,..., x^k_t )^T , каждая

компонента которого является временным рядом. Верхним индексом будем обозначать номер компоненты, а нижним по-прежнему - момент времени. Распределение компонент характеризуется семейством совместных плотностей распределения вида: f_n(x¹],X¹*,...,x¹"),  n = 1,2,.... Условием стационарности в узком смысле

по-прежнему является независимость от сдвига во времени всего семейства совместных плотностей распределения. Только теперь кроме всевозможных комбинаций значений случайного процесса в различные моменты времени аргументами плотностей вероятности также являются всевозможные комбинации различных компонент в различные моменты времени. Например, для двухмерной плотности