Введение.

     Теория  многочленов играет большую роль в математике. Эта теория

применяется как  внутри алгебры , так и в других математических дисциплинах, как, например, математический анализ (приближение  функций многочленами), дискретная математика (многочлены Жегалкина). В данном реферате рассматриваются некоторые общие вопросы связанные с теорией многочленов, а также изучаются целозначные многочлены.

     В первом параграфе рассматривается  понятие кольца многочленов от одной  переменной, а в следующем –  от многих переменных. Также во втором параграфе рассматривается понятие целостного кольца и приводится теорема о целостности кольца . В третьем параграфе изучаются основные свойства делимости в целостном кольце и разложения на множители в кольце многочленов. В четвертом параграфе рассматривается определение евклидова кольца и приводятся основные теоремы об евклидовых кольцах. Неприводимые многочлены изучаются в пятом параграфе. Исследованию целозначных многочленов посвящены параграфы шесть и семь. В шестом рассматривается базис целозначных многочленов, приводится доказательство теоремы о рациональной функции , принимающей целые значения при всех целых . Седьмой параграф посвящен целозначным многочленам от многих переменных. Так же в нем рассматривается q-аналог целозначных многочленов. 
 
 
 
 
 
 
 

     § 1. Кольцо многочленов

     Пусть - коммутативное кольцо с единицей 1, - некоторое его подкольцо, содержащее 1. Если , то наименьшее подкольцо в , содержащее и , будет состоять из элементов вида

                 ,                                                    (1)

где . Мы обозначим его и назовем кольцом, полученным из присоединением элемента , а выражение (1)- многочленом от с коэффициентами в . Что понимать под суммой и произведением многочленов, видно из простейших примеров, например при :

     Видно, что приведение подобных членов основано на попарной перестановочности всех элементов . 

     Пусть - произвольное коммутативное кольцо с единицей. Построим новое кольцо , элементами которого являются бесконечные упорядоченные последовательности

                               ,                                                  (1)

такие, что все  , кроме конечного их числа, равны нулю. Определим на множестве операции сложения и умножения, полагая

      ,

где  , 

     Ясно, что в результате сложения и умножения  получаются снова последовательности вида (1) с конечным числом отличных от нуля членов, т.е. элементы из . Проверка всех аксиом кольца, кроме аксиомы ассоциативности, очевидна. В самом деле, поскольку сложение двух элементов из сводится к сложению конечного числа элементов из кольца то  является коммутативной группой с нулевым элементом и элементом , обратным к произвольному Далее, коммутативность умножения следует непосредственно из симметричности выражения элементов через и . Это же выражение показывает, что в выполнен закон дистрибутивности  . Что касается ассоциативности операции умножения, то пусть - три произвольных элемента множества . Тогда где , , а , где . Вычисление дает тот же результат. Итак, - коммутативное ассоциативное кольцо с единицей .

     Последовательности  складываются и умножаются так же, как и элементы кольца . Это позволяет отождествить такие последовательности с соответствующими элементами из , т.е. положить для всех . Тем самым становится подкольцом кольца . Обозначим далее через и назовем переменной (или неизвестной) над . Используя введенную на операцию умножения, находим, что

                                                                                        (2)

               …

Кроме того, ввиду (2) и в виду включения  имеем

     Итак, если - последний отличный от нуля член последовательности      , то в новых обозначениях

                                                                                (3) 
           Такое представление элемента однозначно, поскольку в правой части (3) – это члены последовательности , которая равна нулю тогда и только тогда, когда .

     Введенное выше кольцо обозначается через и называется кольцом многочленов над от одной переменной , а его элементы – многочленами (или полиномами).

     Элементы  (и ) называются коэффициентами многочлена . Многочлен нулевой, когда все его коэффициенты равны нулю.

     Коэффициент при в нулевой степени называется постоянным многочленом.

     Если  , то называют старшим коэффициентом, а - степенью многочлена и пишут .

     Нулевому  многочлену приписывается степень  ( для каждого ).

     Многочлены  степени 1, 2, 3,… называются соответственно линейными, квадратичными (или квадратными), кубичными и т.д.

     Роль  единицы кольца играет единичный элемент 1 кольца , рассматриваемый как многочлен нулевой степени. Непосредственно из определения операций умножения и сложения в следует, что для любых двух многочленов

      ,                               (4)

степеней  и соответственно имеют места неравенства

      ,                           (5)

Второе из неравенств (5) на самом деле заменяется неравенством

всякий раз, когда  произведение старших коэффициентов многочленов (4) отлично от нуля, поскольку

                                       (6)

Но это значит, что верна следующая теорема.

     Теорема. Если - целостное кольцо, то и кольцо является целостным.

     Место кольца многочленов среди коммутативных  колец отчасти поясняет следующая  теорема:

     Теорема. Пусть коммутативное кольцо содержит в качестве подкольца. Для каждого элемента существует единственный гомоморфизм колец такой, что

                ,                                            (7)

     Доказательство. Предположим сначала, что такой гомоморфизм существует. Так как для каждого коэффициента многочлена , записанного в стандартном виде (3), и , то

      ,                       (8)

т.е. определен однозначно и выражается формулой (8).

Обратно: задав  отображение  формулой (8), удовлетворим условию (7) и получим гомоморфизм колец. Это ясно для отображения аддитивных групп колец, а что касается умножения, то применение к произведению (6), а затем использование общего закона дистрибутивности дает

                                                                                                                             ■                                                                                     

      Результат применения отображения  , определенного формулой (8), к многочлену называется подстановкой в вместо или просто

значением при , так что .

     Элемент называется алгебраическим над , если для некоторого . Если же - изоморфное вложение (мономорфизм), то - трансцендентный над элемент.

     Гомоморфизм служит выражением универсального свойства кольца многочленов . Более полным образом универсальность кольца многочленов видна из следующей теоремы:

     Теорема. Пусть и - произвольные коммутативные кольца, - элемент из и - гомоморфизм. Тогда существует, и притом единственное, продолжение до гомоморфизма кольца многочленов в , переводящего переменную в . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     § 2. Многочлены от многих переменных.

     Если  в ситуации взять произвольные элементов и рассмотреть в пересечение всех подколец, содержащих , то мы получим кольцо . Формальная запись его элементов подсказывает, как и в случае , необходимость введения в обиход кольца многочленов от  переменных.

     Конструкция кольца включала произвольное коммутативное кольцо с единицей. Можем теперь заменить в конструкции кольцо на и построить кольцо , где - новая независимая переменная, играющая по отношению к ту же роль, что и по отношению к . Элементы из однозначно записываются в виде ,  , причем отождествляется с подкольцом в , а именно с множеством элементов . Так как - однозначная запись элементов , то любой элемент из имеет вид ,  . Причем подразумевается, что перестановочны с и  , а переменная перестановочна с . Кольцо называется кольцом многочленов над от двух независимых переменных и  .

     Повторив  достаточное число раз эту  конструкцию, мы получим кольцо многочленов (полиномов) над от независимых переменных (или неизвестных) .

     Набор из целых неотрицательных чисел , условимся сокращенно обозначать символом . Тогда любой элемент запишется в виде

                ,                                                            (9)

где - одночлен (или моном), так что - линейная комбинация одночленов с коэффициентами из . В соответствии с определением многочленов все коэффициенты в (9), за исключением конечного числа, равны нулю. Единственность записи (9) непосредственно вытекает из следующего утверждения.

     Многочлен равен нулю тогда и только тогда, когда равны нулю все его коэффициенты . При это уже отмечалось в ходе построения кольца , а при проще всего использовать индукцию по . Именно, мы можем записать

где    - многочлены от меньшего числа переменных. Утверждение для и предположение индукции показывают, что

     Будем считать два многочлена равными  , если совпадают их коэффициенты при одинаковых многочленах.

     Определение. Степенью многочлена относительно называется наибольшее целое число, обозначаемое , которое встречается в качестве показателя при в с .

     Определение. Целое число называется полной степенью одночлена .

     Степенью  (или полной степенью) многочлена будет максимальная из полных степеней его одночленов. Полагаем . О старшем по степени члене многочлена не имеет смысла говорить, поскольку таких членов (одночленов) может быть несколько.

     На  кольцо переносятся многие результаты, полученные для .

     Теорема 1. Если - целостное кольцо, то и кольцо является целостным. В частности, кольцо многочленов от переменных над любым полем целостно.

     Теорема 2. Пусть и - произвольные многочлены от переменных над целостным кольцом . Тогда .

     Доказательство. Назовем однородным многочленом или формой степени многочлен , все члены которого имеют одну и ту же полную степень . Формы степеней 1, 2, 3 называются соответственно линейной, квадратичной и кубичной формами. Объединяя вместе все входящие в одночлены одной и той же степени, мы однозначно представим многочлен

 в виде суммы нескольких  форм  различных степеней

                ,     

Если теперь

                ,  

то, видно

откуда  . По теореме 1 из , следует , т.е. .                                                          ■ 
 

     § 3. Разложение в кольце многочленов.

     Пусть произвольное целостное кольцо. Обратимые элементы в называются делителями единицы, часто их называют еще регулярными элементами. Видно, что многочлен обратим (регулярен) в точности тогда, когда и - обратимый элемент кольца , поскольку .

     Говорят, что элемент  делится на (или кратен ), если существует такой элемент , что (это обозначается ).

     Если  и , то и называются ассоциированными элементами. Тогда , где . В силу сделанного выше замечания ассоциированность многочленов означает, что они отличаются лишь обратимым множителем из .

     Определение. Элемент называется простым (или неразложимым), если необратим и его нельзя представить в виде , где - обратимые элементы.

     В поле каждый ненулевой элемент обратим и в нет простых элементов.

     Простой элемент кольца называется неприводимым многочленом.

     Отметим следующие основные свойства отношения  делимости в целостном кольце .

1. Если , то .
2. Если и , то .
3. Если , то .
4. Если каждый из элементов делится на , то на будет делиться также элемент , где - произвольные элементы.

     Определение. Говорят, что целостное кольцо - кольцо с однозначным разложением на простые множители (или - факториальное кольцо), если любой элемент из можно представить в виде

                ,                                                                            (1)

где - обратимый элемент, а - простые элементы, причем из существования другого такого разложения следует, что и при надлежащей нумерации элементов и будет

                ,

где - обратимые элементы.

     Допуская  в равенстве (1) значение , мы принимаем соглашение, что обратимые элементы в тоже имеют разложение на простые множители. Ясно, что если - простой, а - обратимый элемент, то ассоциированный с элемент тоже простой. В кольце с обратимыми элементами 1 и -1 отношение порядка дает возможность выделить положительное простое число из двух возможных простых элементов . В кольце удобно рассматривать нормализованные неприводимые многочлены.

     Справедлива следующая общая теорема:

     Теорема. Пусть - произвольное целое кольцо с разложением на простые множители. Однозначность разложения в (факториальность ) имеет место тогда и только тогда, когда любой простой элемент , делящий произведение , делит по крайней мере один из множителей . 
 
 
 
 

     § 4. Факториальность евклидовых колец.

     Алгоритм  деления с остатком в  и делает естественным рассмотрение целостного кольца, в которой каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное целое число , т.е. определено отображение

так, что при  этом выполняются условия:

     А) для всех из ;

     В) каковы бы ни были , , найдутся ( - «частное», - «остаток»), для которых

           ;       или .                                     (1)

     Определение. Целостное кольцо  обладающее свойствами А), В) называется евклидовым кольцом.

     Полагая для и для , приходим к выводу, что и - евклидовы кольца.

     В евклидовых кольцах существует способ нахождения НОД , называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида, который заключается в следующем. Пусть даны ненулевые элементы евклидова кольца . Применяя достаточно большое число раз условие В, мы получим систему равенств типа (1) с последним нулевым остатком:

      ,            ,

      ,           ,

      ,          ,

     …                                                                                                   (2)

      ,    ,

      ,             .

     Это действительно так, поскольку строго убывающая цепочка неотрицательных чисел должна оборваться, а обрыв

может произойти  только за счет обращения в нуль одного из остатков.

     Последний отличный от нуля остаток  является как раз наибольшим общим делителем элементов и . В самом деле, по условию . Двигаясь в системе (2) снизу вверх и используя свойство 4 отношения делимости, получим цепочку и, наконец, . Значит, - общий делитель элементов и .

     Обратно: пусть  - любой другой делитель тех же элементов, тогда . Двигаясь в системе (2) сверху вниз, получим цепочку отношений делимости . Последнее из них окончательно убеждает нас в том, что НОД существует, причем

                .                                                                             (3)

     Обратим внимание на то, что каждый остаток  , в системе (2) выражается в виде линейной комбинации с коэффициентами в двух предыдущих остатков и . При этом выражается через и : , а , выражаясь через и , опять является линейной комбинацией и . Последовательная подстановка в выражений через и даст нам при выражение

                                                                                                    (4)

с какими-то элементами .

     Теорема 1. В евклидовом кольце любые два элемента имеют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. При помощи алгоритма Евклида можно найти такие , что будет выполнено соотношение

                .

     В частности, элементы взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют элементы , для которых

                .

     Следствие. Пусть - элементы евклидова кольца .

1. Если и , то .
2. Если и , то .
3. Если и , то .

     Доказательство. 1. согласно теореме 1 имеем равенства , . Перемножая их правые и левые части, получаем , что и дает нужное утверждение.

     2. Имеем  , откуда . Но , поэтому , т.е. .

     3. Согласно свойству  НОК получаем  , поскольку и по условию.                 ■

     Непосредственным  шагом к установлению факториальности  евклидова кольца служит следующая лемма.

     Лемма. Всякое евклидово кольцо является кольцом с разложением.

     Доказательство. Пусть элемент обладает собственным делителем : , где и - необратимые элементы. Докажем, что .

     В самом деле, согласно В) непосредственно  имеем  . Предположив выполнение равенства , мы воспользуемся условием В) и найдем с , где или же . Случай отпадает ввиду неассоциированности и . По той же причине . Снова воспользуемся В) и получим - противоречие. Итак, .

     Если  теперь , где все необратимы, то - собственный делитель и по доказанному

      .

     Эта строго убывающая цепочка неотрицательных  целых чисел имеет длину  . Значит, для элемента имеется разложение максимальной длины, которое и будет разложением на простые множители.                             ■

     Теорема 2. Всякое евклидово кольцо факториально (т.е. обладает свойством однозначности разложения на простые множители)

     Доказательство. С учетом предыдущей леммы и критерия факториальности, содержащегося в теореме предыдущего параграфа, остается показать, что если - простой элемент кольца , делящий произведение каких-то элементов , то делит либо , либо .

     Действительно, при  или очевидно. Если же и , то , будучи делителем простого элемента , либо равен 1 (точнее, является делителем 1), либо ассоциированным с . В первом случае и  оказываются взаимно простыми, и утверждение 2 следствия позволяет заключить, что . Во втором случае и, значит, .                  ■

     Следствие. Кольца и факториальны ( - произвольное поле). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     § 5. Неприводимые многочлены.

     Определение. Многочлен ненулевой степени из кольца называется неприводимым в (или неприводимым над полем ), если он не делится ни на какой многочлен , у которого .

     В частности, всякий многочлен первой степени неприводим.

     Как простых чисел в  , так и нормализованных неприводимых многочленов над произвольным полем бесконечно много.

     Если  же поле конечно, то годится рассуждение Евклида. Именно, пусть уже найдены неприводимых многочленов . Многочлен имеет хотя бы один нормализованный простой делитель, поскольку . Обозначим его через . Он отличен от , поскольку из для какого-то следовало бы , т.е. .

     Так как многочленов заданной степени  над конечным полем конечное число, то можно сделать следующее заключение:

     Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени.

     Неприводимые  многочлены над полем  играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из всегда можно перейти к многочлену из , то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над и над .

     Назовем содержанием многочлена наибольший общий делитель всех его коэффициентов.

     Если  - обратимый элемент в , то многочлен называют примитивным.

     Лемма Гаусса. Пусть - факториальное кольцо и . Тогда . В частности, произведение двух примитивных многочленов снова будет примитивным многочленом.

     Доказательство. Начнем с последнего утверждения. Пусть ,   - примитивные многочлены из , произведение которых не является примитивным. Существует простой элемент , делящий . Выберем наименьшие индексы , для которых не делит , не делит . Такие индексы найдутся в виду примитивности и . Коэффициентом при в будет . Так как и при делятся на по условию и по предположению, то мы имеем , из которого следует, что . В виду факториальности имеем или - противоречие, доказывающее наше утверждение.