Несебсвенные интегралы

Несобственные интегралы I рода

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.
2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.
2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция   определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

[править]Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь  бесконечно длинной криволинейной  трапеции.

[править]Примеры

[править]Несобственные интегралы II рода

Пусть   определена на  , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
2. Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена на   , терпит бесконечный разрыв при x=b и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
2. Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция   терпит разрыв во внутренней точке   отрезка  , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

[править]Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл выражает площадь  бесконечно высокой криволинейной  трапеции

[править]Пример

[править]Отдельный случай

Пусть функция   определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках  .

Тогда можно найти несобственный  интеграл 

[править]Критерий Коши

1. Пусть   определена на множестве от   и  .

Тогда   сходится 

2. Пусть   определена на   и  .

Тогда   сходится 

[править]Абсолютная сходимость

Интеграл   называется абсолютно сходящимся, если  сходится. 
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

[править]Условная сходимость

Интеграл   называется условно сходящимся, если   сходится, а   расходится.