Обработка результатов эксперимента (3)

Обработка результатов эксперимента

Определения

Измерение – нахождение значения физической величины опытным путём с помощью специально для этого предназначенных технических средств.

Измерение состоит из наблюдений и выполнения математических операций по определению результата измерения.

Наблюдение – измерительная (экспериментальная) операция по нахождению значения физической величины, подлежащего дальнейшей обработке совместно с результатами других подобных операций.

Прямое измерение – измерение, при котором измерительный сигнал, поступающий на вход средств измерения, содержит информацию о самой измеряемой величине.

Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение физической величины получают в результате вычислений на основании её зависимости от величин, измеряемых прямо.

Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.

– абсолютная погрешность результата измерения;

– относительная погрешность результата измерения.

Здесь X – измеренное значение физической величины, X₀ – истинное значение физической величины.

Систематическая погрешность – при повторных наблюдениях остаётся постоянной или изменяется закономерным образом.

Случайная погрешность – проявляется в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, проводимых одними и теми же средствами измерений одним и тем же экспериментатором.

Приборная погрешность – погрешность измерительного прибора (средства измерения), определённая при его испытаниях и занесённая в его паспорт.

Класс точности прибора (средства измерения) – характеристика прибора, выраженная пределами его основной и дополнительной погрешностей.

Класс точности указывается на шкале прибора в виде числа, заключённого в кружок, либо просто числа .

1. Класс точности  – число в кружке – обозначает максимальную относительную погрешность результата измерения, выраженную в процентах.

Если X – отсчёт величины по шкале прибора, то приборная погрешность (её абсолютное значение) равна

2. Если класс точности  – просто число, то приборная погрешность равна

где К – максимальное показание шкалы прибора.

Если класс точности прибора не указан, то приборная погрешность принимается равной половине цены деления шкалы. Если прибор цифровой, то приборная погрешность равна  единице счёта. При наличии у прибора нониуса погрешность такого прибора принимается равной одному делению шкалы нониуса.

Случайные погрешности

Принято считать, что случайные погрешности измерений распределяются по нормальному закону (закону Гаусса):

1. Погрешности могут принимать непрерывный ряд значений.

2. При большом числе наблюдений погрешности равных значений, но разных знаков встречаются одинаково часто.

3. Частота появления погрешностей уменьшается с увеличением значения погрешностей (большие по абсолютному значению погрешности встречаются реже, чем малые).

Аналитически закон распределения Гаусса описывается выражением

,

где  – параметр распределения, равный полуширине гауссовой кривой на уровне 0.607 от её максимального значения, – погрешность наблюдения с порядковым номером i, X_i – результат того же наблюдения.

Считая, что проведено бесконечно большое число наблюдений N, просуммируем погрешности наблюдений:

Т.к. погрешности равных значений, но разных знаков при гауссовом распределении встречаются одинаково часто, то

В свою очередь

Следовательно,

т.е. при абсолютно точном средстве измерения и бесконечно большом числе наблюдений (N ) среднее значение измеряемой физической величины равно её истинному значению.

Грубые погрешности (промахи) – погрешности наблюдений, значительно отличающиеся от погрешностей других наблюдений. Обычно носят чисто субъективный характер.

Обработка результатов прямых измерений

Измерение диаметра D цилиндра

Приборы: микрометр с ценой деления 0.01 мм, предел допускаемой погрешности (ПДП), указанный в паспорте микрометра,

N	1	2	3	4	5	Вычисляемые величины
D, мм	2.29	2.27	2.31	2.29	2.26	мм
D102, мм	+ 0.6	– 1.4	+ 2.6	+ 0.6	– 2.4
(D)2104, мм2	0.36	1.96	6.76	0.36	5.76

1. Исключение систематических погрешностей (если это возможно)

1.1. Считаем, что в данном случае систематическая погрешность отсутствует.

2. Вычисление результата измерения

2.1.

3.  равенство нулю или близость к нулю суммы отклонений подтверждает правильность расчёта отклонений X_i.

3.1.  следовательно, расчёт отклонений произведён правильно!

4. СКО результата наблюдения

4.1.

5. Определение промахов

P =95% N = 5 V_PN =1.9 (1.67)

N = 10 V_PN = 2.3 (2.18)

V  V_PN  промах!

Этот результат исключают и снова выполняют п.п. 2,3,4,5, но при N₁ = N – 1.

5.1. следовательно, считать результат D₃ промахом основания нет!

6. СКО результата измерения

6.1.

7. Доверительная граница случайной погрешности

7.1.

8. Определение суммарной доверительной погрешности результата измерения

8.1.

9. Запись окончательного результата

1. Диаметр цилиндра равен

D = (2.28  0.03) мм

при числе наблюдений N = 5 и доверительной вероятности Р = 95%.

Обработка результатов косвенных измерений

Метод переноса погрешностей (метод средних)

Определение ускорения свободного падения

с помощью математического маятника

Приборы: линейка с ценой деления 1 мм; цифровой электронный секундомер с ценой деления 10^–2 с.

Расчётная формула

где L – длина маятника, измеряемая линейкой; Т – период колебаний маятника.

Период колебаний математического маятника определяется как

где t – время полных п колебаний маятника, измеряемое электронным секундомером. Принимаем п = 10.

N	1	2	3	4	5
Li , м	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5
ti , с	14.18	13.94	15.20	13.38	13.92
ti , с	0.056	– 0.184	1.076	– 0.744	– 0.204

1. Результат измерения длины математического маятника

Поскольку случайных погрешностей и промахов, очевидно, нет, то

2.1. Время 10 полных колебаний маятника

2.2. СКО наблюдения

2.3. Проверка на промахи

.

Следовательно, промахов нет!

4. СКО результата измерения времени

5. Доверительная граница случайной погрешности измерения времени

6. Полная погрешность результата измерения времени

6. Результат измерения времени

3. Следовательно, ускорение свободного падения (его среднее значение) равно

4. Полная доверительная граница результата определения ускорения свободного падения

4.1.

2. 

5. Окончательный результат

Выборочный метод, или метод выборки

Определение ускорения свободного падения

с помощью математического маятника

Приборы: масштабная линейка с ценой деления 1 мм, электронный частотомер с ценой деления 10^–2 с.

Расчётная формула:

где L – длина математического маятника, измеряемая линейкой, Т – период колебаний маятника, измеряемый электронным секундомером. Поскольку измеряется время t полных п = 10 колебаний маятника, то уточнённая расчётная формула имеет вид

N	1	2	3	4	5
Li , м	0.5	0.6	0.7	0.8	1.0
ti , c	14.18	15.54	16.78	17.95	20.07
gi , м/с2	9.817	9.809	9.815	9.802	9.801
gi , м/с2	0.0082	0.0002	0.0062	– 0.0068	– 0.0078
, м/с2	1.729	1.533	1.390	1.278	1.115

1. Находим для каждого наблюдения значение g_i и заносим в таблицу.

2. Вычисляем результат измерения

3. СКО наблюдения

4. Проверка на промахи

Следовательно, промахов нет!

5. СКО измерения

6. Доверительная граница случайной погрешности

7. Граница приборной погрешности

7.1.

2. ; по этой формуле находим 5 (!) значений приборной погрешности и заносим их в таблицу.

3. Среднее значение приборной погрешности

8. Полная погрешность результата измерения ускорения свободного падения

9. Окончательный результат

м/с².