Ортогональні многочлени

 

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Рівненський державний гуманітарний університет

Кафедра вищої математики

 

 

 

 

 

 

Ортогональні многочлени

 

 

 

Курсова робота  

студентки ІІІ курсу

групи МЕФІ-31

факультету математики

та інформатики

Смулки Ірини Петрівни

 

Науковий керівний:

доц. Сапіліді Тамара Михайлівна

д

 

 

 

Рівне 2012

Зміст

     Вступ………………………………………………………………………....3

1. Теорема існування і критерій ортогональності………………………4
2. Алгебраїчні властивості ортогональних многочленів………………13
3. Ряди Фур’є по ортогональних многочленах…………………………19

Висновки……………………………………………………………………26

Список  використаної літератури………………………………………….27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Ортогональні многочлени займають центральне місце в сучасному математичному аналізі. Вони слугують потужним апаратом при розв’язуванні різних задач, охоплюючи широкий круг запитань, таких як апроксимація аналітичних функції, неперервні дроби, діофантові наближення, спектральна теорія диференціальних і різницевих операторів, проблема моментів та інші. 

У зв’язку з цим у багатьох підручниках з вищої математики класичним ортогональним многочленам  приділяється все більше уваги.

З іншого боку, класичні ортогональні многочлени можна розглядати як найбільш прості спеціальні функції математичної фізики.  Тому найбільш важливе теоретичне, а також прикладне значення мають  такі системи класичних ортогональних  многочленів: многочлени Чебишева першого та другого роду, многочлени Лежандра, многочлени Якобі,  многочлени Чебишева-Ерміта та Чебишева-Лагерра.

Особлива увага в даній роботі приділяється алгебраїчним властивостям класичних ортогональних многочленів.  У курсовій роботі наведено з доведенням теорему про існування і єдиність системи ортогональних многочленів, а також необхідна і достатня умова ортогональності многочленів.

Об’єктом даної роботи є вивчення класичних ортогональних многочленів, їх властивостей  і застосування.

Предметом є використання класичних  ортогональних многочленів у  вищій математиці.

Метою роботи є зя’сувати можливості ортогональних многочленів, розглянути теорему про існування і критерій ортогональності многочленів та їх властивості.                                           

 

Теорема існування і критерій ортогональності.

Функція h(x)називається ваговою функцією  на скінченному інтервалі (а,b), якщо на цьому інтервалі вона неперервна,  інтегровна  і її інтеграл додатній, якщо і виконуються умова

 

Якщо ж інтервал (а,b) нескінченний, то, крім того, повинні абсолютно сходитись інтеграли

 

які називаються степеневим моментом функції h(x).

Нехай задано послідовність многочленів

 

в якій кожен многочлен    має степінь n. Якщо для будь-яких двох многочленів із цієї системи виконується умова

 

то многочлени (3) називаються ортогональними з ваговою функцією  h(x) на інтервалі (а,b). При цьому інтервал (а,b)називається інтервал ортогональності, а у випадку, коли обидва числа а і b скінченні, зазвичай говорять про сегмент ортогональності [а,b].

Система ортогональних многочленів (3) називається ортонормованою, якщо кожний многочлен має додатній старший  коефіцієнт і його норма з вагою h(x) рівна 1.

 

Таким чином, умова ортонормованості системи многочленів (3) має вид

 

Вагова функція h(x) в більшості випадків рахується неперервною на інтервалі (а,b) скрізь, крім скінченного числа точок, в околі яких вона обмежена або графік її має вертикальні асимптоти. В нуль функція h(x) може перетворитися в скінченному числі точок або в тотожність на деяких інтервалах, розміщених в середині сегмента ортогональності. При цьому нулем вагової функції h(x) ми будемо вважати таку точку, в якій ця функція неперервна і рівна нулю. Регулярними точками вагової функції називаються такі точки інтервалу (а,b), в  яких функція h(x) неперервна і додатна, а особливими – всі решта точок і, зокрема, нулі функції h(x).

Перед тим як довести теорему  про існування, встановимо два допоміжні  твердження, які часто будемо використовувати  в подальшому.

Лема1.1. Якщо в системі (n+1) многочленів

          (5)

кожний  многочлен  має степінь k, то всякий многочлен степеня n можна єдиним способом представити у виді

 

Доведення. Вводячи позначення  

 

для визначення невідомих коефіцієнтів отримаємо систему рівнянь

 

 

 

…………………………………………..

 

 

Визначник цієї системи дорівнює добутку  відмінних від нуля  чисел  і тому відмінний від нуля. Слідує, що числа в формулі (6) визначаються однозначно.

Таким чином  лема1.1. доведена.

Лема1.2. Якщо многочлен степеня невід’ємний на інтервалі (а,b), то виконується умова

 

де  - вагова функція.

Доведення. Спочатку відмітимо два простих випадки, коли твердження леми очевидно. По-перше, якщо функція має тільки скінченне число особливих точок, то поза цими точками добуток додатній і неперервний, і тому інтеграл із (7) додатній. По-друге, якщо многочлен додатній на (а,b), то, позначивши через А>0 його мінімум, одержимо нерівність

 

і твердження леми в цьому випадку  також доведено.

В загальному випадку представимо, що многочлен  має нулі на інтервалі (а,b). Тоді в силу умови (1) інтеграл від вагової функції додатній хоча б на одному з сегментів .

Для такого сегмента маємо

 

З цього слідує, що при достатньо  малому інтеграл від функції на сегменті [додатній. Але на цьому сегменті многочлен не має нулів, і тому аналогічно (8) маємо нерівність

 

в  якій через    позначено   мінімум   многочлена       на     сегменті

[. Законність граничного переходу (9) очевидна, якщо функція обмежена в околах точок і , а в протилежному випадку ця функція є визначенням інтеграла, який стоїть в правій частині (9).

У випадку нескінченного пів сегмента [замість (9) достатньо розглянути граничну рівність

 

А для пів інтервалу (- відповідні інтеграли будуть поширені на сегментах [ і (-

Таким чином лема 1.2 доведена.

А тепер доведемо основну теорему  про існування та єдиність системи ортонормованих многочленів, відповідних даній ваговій функції.

Теорема 1.1. Для будь-якої вагової функції існує єдина послідовність многочленів {, яка має додатній старший коефіцієнт і задовольняє умові ортонормованості (4).

Доведення. Позначимо старший коефіцієнт многочлена і будемо доводити теорему методом індукції. Так як , то  умова (4) має тут вигляд

 

і в силу (1) многочлен  визначений.

Далі, нехай визначені многочлени

 

які задовольняють умовам (4). Оскільки кожний многочлен із системи (10) має степінь точно , то, добавляючи в систему (10) многочлен , можна невідомий нам поки що многочлен в силу леми 1.1 єдиним способом представити у виді

 

де числа і { потрібно вибирати так, щоб виконувалися умови (4). Так як ці умови в силу індуктивного представлення виконуються для системи (10), то при  повинно бути

 

Де через  позначено останній інтеграл. З цього слідує що, якщо в розкладі (11) покласти , то умови (4) виконуються при . Таким чином, замість (11) маємо формулу

 

яка визначає ортогональний многочлен степеня з довільним множником , так як цей многочлен є ортогональним до всіх многочленів системи (10), і залишається вибрати так, щоб виконувались умови (4) при . Підставляючи (12) в (4), отримаємо рівність

 

яка дійсно визначає коефіцієнт , або інтеграл в правій частині рівності в силу леми 1.2 відмінний від нуля.

Таким чином теорема 1.1 доведена.

Послідовність многочленів (3) визначається однозначно і в більш загальному випадку, коли вагова функція  лише сумована на сегменті [а,b] і не еквівалентна нулю. Більше того, замість диференціальної ваги можна розглядати так звану інтегральну вагу , де  - обмежена спадна функція. В такому випадку замість (1) і (4) будемо мати умови

 

 

в яких інтеграл розуміється в сенсі Лебега-Стілтьєса.

Встановимо деякі необхідні  і достатні умови ортогональності  многочлена , які будуть часто застосовуватись в подальшому.

Теорема 1.2. Для того, щоб многочлен степеня був ортогональним з вагою , необхідно і достатньо, щоб для будь-якого многочлена степеня виконувалася умова

 

Доведення. Нехай многочлен є ортогональним тільки якщо входить в систему многочленів {}, ортогональних з ваговою функцією . За лемою1.1 для довільного многочлена маємо розклад

 

який при підстановці в інтеграл (13) в силу ортогональності многочлена перетворює в рівність (13).

Нехай, навпаки, задана вагова функція  і деякий многочлен задовольняє умовам (13). Тоді замість можна підставити будь-який многочлен системи (10), і з цього слідує, що для многочлена , який задовольняє умовам (13), має місце формула (12), тільки якщо цей многочлен відрізняється від ортонормованого многочлена степеня одним множником, а це і стверджує достатність умови (13).

Таким чином, теорему 1.2 доведено.

Теорема 1.3.Якщо сегмент ортогональності симетричний відносно початку координат, а вагова функція парна, то кожний ортогональний многочлен має тільки ті степені , які мають однакову з номером парність, тільки якщо має місце тотожність

 

Доведення. Нехай і ортогональний на сегменті [-а,а], де а. Тоді в силу теореми 1.2 необхідна і достатня умова має вигляд

 

Заміною змінної   умова зводиться до виду

 

Оскільки многочлен  - довільний, то також довільний многочлен степеня . Тому в силу теореми 1.2 многочлен   являється ортогональним і може тільки множником відрізнятись від многочлена , . Але якщо розглядати ортонормовані многочлени, то отримаємо умову ||=1. Тоді, прирівнявши старші коефіцієнти цих двох многочленів, отримаємо =, і з цього слідує, що тотожність (14) доведена. А ця тотожність означає , що многочлен має тільки парні або тільки непарні степені в залежності від парності або непарності .

Таким чином, теорему 1.3 доведено.

Отже, за теоремою існування і єдиності – теоремою 1.1 – будь-яка вагова функція  однозначно визначає систему ортонормованих многочленів {}, яка задовольняє умову (4).

Найбільш важливе теоретичне і  прикладне значення мають наступні системи класичних ортогональних  многочленів:

1. Многочлени Чебишева першого роду {}, ортогональні на сегменті [-1,1] з ваговою функцією

 

2. Многочлени Чебишева другого роду {}, ортогональні на сегменті [-1,1] з вагою

 

3. Многочлени Лежандра {}, ортогональні на такому ж сегменті з вагою

 

4. Многочлени Якобі {}, ортогональні на сегменті [-1,1] з ваговою функцією

 

де  і . У випадку співпадання індексів, при умові , многочлени Якобі називаються ультрасферичними і позначаються {}.

Найбільш вивченими  і важливими частковими випадками  многочленів Якобі є многочлени Чебишева і Лежандра, які з урахуванням вищезгаданого позначення можна записати у вигляді

      (17)

5. Многочлени Чебишева-Ерміта {}, ортогональні на всій осі з ваговою функцією

 

6. Многочлени Чебишева-Лагерра {}, ортогональні на півосі з вагою

 

 

Алгебраїчні властивості ортогональних многочленів.

Розглянемо основні  алгебраїчні властивості загальних  ортогональних многочленів, а саме: трьохчленну рекурентну формулу, формулу Крістоффеля-Дарбу і представлення многочленів {} через моменти вагової функції.

Теорема 1.4. Для будь-яких трьох сусідніх ортогональних многочленів справедлива трьохчленна рекурентна формула

 

Доведення. В силу леми 1.1 маємо розклад

 

При домножимо (2) на і проінтегруємо на інтервалі (а,b). Оскільки є многочлен степеня , то в силу теореми 1.2 ліва частина перетворюється в нуль, і отримаємо

 

Тому у формулі (2) перших  ( коефіцієнтів будуть ріні нулю і дана формула набуде вигляду

 

Для визначення коефіцієнта  домножимо (3) на і про інтегруємо по [а,b]. В результаті цього отримаємо

 

Перепозначивши  , із (3) отримаємо формулу (1).

Таким чином, теорему 1.4 доведено.

Рекурентне співвідношення (1) можна записати у більш зручній  формі:

 

де  для стислості покладено

 

В деяких часткових  випадках послідовності {} і {} легко визначаються, а тоді ортогональні многочлени {} можна обчислювати послідовно.

Поряд з многочленами {}, які ортонормовані на інтервалі (а,b) з вагою , часто розглядають ортогональні многочлени з одиничним старшим коефіцієнтом

 

Для яких рекурентне співвідношення має вигляд

 

Лема 1.3. Якщо сегмент [а,b] скінченний, то послідовність {} обмежена, причому

 

Доведення. Із  очевидної рівності

 

застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, отримаємо

 

В першому інтегралі  величина не перебільшує , де визначається рівністю (8). Після винесення множника обидва інтеграли із (10) стають рівні одиниці.

Цим лему 1.3 доведено.

Теорема 1.5. Для ортонормованих многочленів має місце формула  Крістоффеля-Дарбу

 

Доведення.Домножимо рівність (4) на 

 

поміняємо місцями  і :

 

і віднімемо почленно від першої рівності другу

 

Підсумовуючи  ці рівності почленно для номерів і добавляючи ще одну рівність

 

отримаємо формулу (11). Таким чином, теорему 1.5 доведено.

 

Перейдемо тепер  до виведення формули, яка представляє  ортогональний многочлен через  моменти вагової функції , яка була визначена рівністю (1.2).  Для цього розглянемо так званий визначник Грама

 

Доведемо, що цей  визначник відмінний від нуля. Припустимо, навпаки, що . Тоді система лінійних однорідних рівнянь

 

 

                                            ………………………….                            (13)

 

Має хоча б один не тривіальний  розв’язок , тобто існує система чисел , в якій хоча б одне число відмінне від нуля і яка є розв’язком системи (13). Для цих чисел за допомогою формули (1.2) систему (13) можна записати в такому вигляді

 

 

…………………………………………

 

Домножимо першу  з цих рівностей на , другу – на ,…, останню – на і почленно додамо.  В результаті отримаємо

 

Але в силу леми 1.2 ця рівність не може існувати, тому що тут хоча б одне з чисел відмінне від нуля. Таким чином, , тобто визначник Грама відмінний від нуля при будь-якому .

Теорема 1.6. Для ортогональних многочленів при має місце представлення через момент вагової функції

 

Доведення. Розглянемо многочлен

 
 
Доведемо, що він ортогональний  з вагою  на сегменті [а,b]. Насправді, домножимо рівність (15) почленно на  , і проінтегруємо по сегменту [а,b]. В результаті цього в силу формули (1.2) з права отримаємо визначник з двома однаковими рядками. З цього слідує, що

 

Із цих рівностей  не важко отримати умову

 

де  - довільний многочлен степеня . А із цієї умови на основі теореми 1.2 робимо висновок, що  тільки множником може відрізнятись від ортогонального многочлена .

Підрахуємо вагову норму цього многочлена. Користуючись ортогональністю і формулою (15), отримаємо 

 

Так як , то маємо, що . А щоб отримати ортонормований многочлен , потрібно многочлен розділити на його вагову норму . Таким чином, формула (14) дійсно має місце і теорему 1.6 доведено.

Із рівності (14) слідує, що для старшого коефіцієнта  ортогонального многочлена справедлива формула

 

з допомогою якої в силу (5) отримаємо представлення коефіцієнта з рекурентної формули

 

 

Вважаючи за визначенням  можна вважати формули (16) і (17) поширеними і на випадок . А замість (14) в силу рівності з умови нормованості (1.4) маємо

 

 

Ряди Фур’є по ортогональних многочленах.

Нехай функція  визначена на сегменті [а,b] і квадрат цієї функції інтегрований з вагою по цьому сегменті. Звичайно, множина таких функцій буде позначатись або інколи більш коротко. Будь-якій функції класу ставиться у відповідність вагова норма

 

Для будь-якої функції  із простору можна визначити коефіцієнт Фур’є

 

і розглядати ряд Фур’є по ортогональних многочленах

 

Як і у будь-яких ортогональних  рядів, частинні суми ряду (3) є в деякому  розумінні найкращим наближенням  функції в метриці простору

 

Насправді, для довільного многочлена степеня 

 

як  правило, маємо

 

 

Зокрема, для часткових сум ряду (3)

 

отримаємо рівність

 

із якої в силу (5) находимо

 

Таким чином, при кожному  часткова сума (6) дає найкраще середне квадратичне наближення функції в порівнянні з усіма многочленами (4) степені не вище .

Далі, оскільки права частина (7) невід’ємна, то сума квадратів коефіцієнтів не перевищує квадрату норми функції , а звідси слідує нерівність Бесселя

 

із якої в свою чергу маємо

 

Ще раз  підкреслимо, що все вищеперераховане справедливе для будь-якої функції  з простору , де вагова функція може перетворюватись в нуль не деяких інтервалах, внутрішніх до сегменту ортогональності , причому останній може бути і нескінченним, але при цьому повинні існувати моменти (1.2) вагової функції.

Якщо сегмент  скінченний, а функція неперервна на сегменті , то за відомою теоремою Вейєрштрасса про наближення неперервної функції многочленами ([9],[15],[18]) для будь-якого існує такий многочлен , що має місце нерівність

 

З цього факту слідує, що для даної неперервної на функції існує послідовність многочленів {}, збіжна рівномірно до на . Але з рівності(8), враховуючи норму (1), в силу (11) маємо

 

Тоді, якщо функція  неперервна на сегменті , то послідовність часткових сум (6) її ряду Фур’є по ортогональних многочленах збігається до цієї функції в середньому, тобто в метриці простору . Аналогічне твердження має місце фактично для будь-якої функції з простору у випадку скінченного сегменту  .

Тепер розглянемо умови  збіжності ряду (3) до функції  в окремій точці сегменту ортогональності. Перш за все відмітимо, що це питання набагато складніше, ніж збіжність ряду (3) в середньому, або ряд по ортогональних многочленах, як і будь-який ортогональний ряд, конструктивно пристосований саме для збіжності в середньому, а, наприклад, рівномірна збіжність має місце далеко не завжди, або тут інша метрика.

Вводячи позначення

 

і використовуючи формулу  коефіцієнтів , часткову суму (6) представляємо у вигляді

 

Далі, домножуючи тотожність

 

на  і віднімаючи від неї почленно (13), отримаємо рівність

 

в якій суму (12) замінюємо за допомогою формули Крістофеля-Дарбу(2.11):

 

Будемо рахувати, що точка  зафіксована на сегменті . Покладемо

 

і нехай  сутність коефіцієнтів Фур’є допоміжної функції . Тоді із (15) маємо формулу

 

з допомогою якої вже можна сформувати достатні умови збіжності ряду Фур’є по ортогональних многочленах окремій точці.

Теорема 1.7. Якщо сегмент  скінченний і допоміжна функція при фіксованому, що належить класу , а послідовність ортонормованих многочленів {}  обмежена в точці , то ряд Фур’є по ортогональних многочленах функції збігається до неї в даній точці , тобто

 

Доведення. За лемою 1.3 послідовність {}  обмежена, а в силу  умови на основі (10) послідовність збігається до нуля. З іншої сторони, в теоремі дано, що послідовність ортонормованих многочленів обмежена в даній точці , тобто

 

З цього слідує, що права  частина (17) прямує до нуля, і теорема 1.7 доведена.

Таким чином, рівність (18) має  місце в такій точці , де ортогональні многочлени обмежені і виконується умова

 

Зокрема, це виконується, якщо функція  в деякому околі точки задовольняє умові Ліпшица порядку , тобто

 

Інтеграл (20) існує як невласний, якщо вагова функція  в деякому околі точки обмежена, а функція в цьому ж околі замість (21) задовольняє умові Ліпшица порядку , тобто

 

Що ж стосується нерівності (19), то її виконання залежить від властивостей вагової функції в околі точки .

Аналіз умови теореми 1.7 і її частинних випадків, які характеризуються нерівностями (21) і (22), показує, що при деяких загальних випадках збіжності ряду  Фур’є по ортогональних многочленах в даній точці залежить тільки від властивостей функції в околі цієї точки. Тому, як і для рядів Фур’є, по тригонометричній системі тут можна сформулювати деякий принцип локалізації умов збіжності, які безпосередньо слідують з теореми 1.7.

Теорема 1.8. Якщо дві функції  і із простору співпадають на інтервалі, причому в точці ортонормовані многочлени обмежені, то в цій точці ряди Фур’є по ортогональних многочленах функцій і збігаються і розбігаються одночасно.

Доведення. Для різності часткових сум цих двох функцій в силу (2) і (6) маємо формулу

 

Оскільки функція  тотожно рівна нулю на малому інтервалі , то для цієї функції виконується умова (20), і з цього слідує, що її ряд Фур’є по ортогональних многочленах збігається до неї в точці .  Тому із (23) слідує граничне співвідношення

 

і, таким чином, якщо послідовність {} збігається до деякої границі, то до тієї ж границі збігається і друга послідовність {}. Навпаки, якщо перша послідовність розбіжна, то друга також розбіжна. Таким чином теорему 1.8 доведено.

Всі попередні результати встановлені при умові, що функція  входить до простору , тобто для цієї функції існує інтеграл (1). Але ряди Фур’є по ортогональних многочленах (3) інколи можна розглядати і в більш загальному випадку.

Позначимо через  множину функцій для яких існує інтеграл

 

Якщо сегмент  скінченний, то всі інтеграли (2) збіжні, і даній функції із класу можна поставити у відповідність ряд Фур’є по ортогональних многочленах (3). У випадку нескінченного інтервалу () формула (2) визначає коефіцієнти Фур’є функції за умови , що добуток має скінченні степеневі моменти. Зрозуміло, що при цих мінімальних умовах ми не можемо стверджувати, що часткові суми ряду Фур’є (3) мають екстремальні властивості, або що виконується властивість Бесселя (9), але граничне співвідношення (10) і розклад (18) при деяких додаткових припущеннях має місце.

Ми скрізь будемо допускати, що функція , яка розкладається в ряд, вимірна за Лебегом і задовольняє деяким умовам інтегрованості. Для конкретності можна вважати, що функція неперервна скрізь, крім точок, в яких вона може мати розрив першого або другого роду.

 

 

 

 

 

Висновки

У курсовій роботі розглядаються ортогональні многочлени, їх властивості та ряди Фур’є по ортогональних многочленах. А також будо виведено рекурентну формулу для трьох сусідніх ортогональних многочленів, доведено теорему про існування і критерій ортогональності, доведено справедливість формули Крістоффеля-Дарбу для ортогональних многочленів та представлення їх через момент вагової функції.

Важливим напрямком майбутніх  наукових досліджень може бути розробка практичного застосування ортогональних  многочленів, оскільки вони є ефективним методом відновлення оригіналу функції за її графіком.

Ознайомившись з даною роботою, можна стверджувати, що ортогональні многочлени посідають важливе місце  у математиці. Матеріал даної курсової роботи можна використовувати на лекційних та практичних заняттях студентів фізико-математичних факультетів, а також можливо використати як додатковий матеріал для проведення позаурочних або факультативних занять у класах з поглибленим вивченням математики ( рідше фізики ).

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаної літератури

1. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены, М.:Наука, 1976, 328с.
2. Геронимус Я.Л. Многочлены ортогональные на окружности и на отрезке, П.:Физматгиз, 1958.
3. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональне полиномы, М.:ИЛ,1948.
4. Качмаж С. Теория ортогональних рядов/ Г. Штейнгауз, П.:Физматгиз, 1958.
5. Никифоров А.Ф. Основы теории и специальных функций / В.Б. Уваров, М.:Наука, 1974.
6. Крилов В.И. Приближенное вычисление интегралов, М.:Наука, 1964.
7. Курант Р. Методы матиматической физики / Д.Гильберт, М.: Гостехиздат, 1951.
8. Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения, К.:Наукова думка, 1969.
9. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения, П.:Физматгиз, 1963.
10. Бари Н.К. Тригонометрические ряды, П.:Физматгиз,1961.
11. Янке Е. Специальные функции / Ф.Эмде, Ф.Лёш, М.:Наука, 1968.
12. Попов Г.Я. Рівняння математичної фізики. Метод ортогональних многочленів: навчальний посібник / В.В.Реут, М.Г.Мойсеєв, Н.Д.Вайсфельд, О.:Астропринт, 2010, 120с.