Основные характерные черты математического моделирования

    

 

Министерство образования  и науки  РФ

Федеральное агентство  по образованию

ГОУ ВПО «Алтайский Государственный Технический Университет имени И. И. Ползунова»

 

 

 

 

 

Кафедра «Теоретической и Прикладной Социологии»

Дисциплина «Особенности математического моделирования социальных процессов».

Тема «Основные характерные черты математического моделирования».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение………………………………………………………….

Основная часть………………………………………………….

1.Основные характерные  черты моделирования………………………..

2.Эволюционный процесс  в моделировании…………………………….

3.Оcновы математического моделирования…………………………….

4.Требования, предъявляемые  к математическим моделям…………….

4.1 Составление математических  моделей……………………………….

4.2 Элементарные  модели…………………………………………………

Заключение………………………………………………………..

Список использованной литературы…………………………..

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          

 

 

Содержание

Введение……………………………………………………………….3

Основная часть

1.Основные характерные  черты моделирования…………………………...4

2.Эволюционный процесс  в моделировании………………………………..9

3.Основы математического моделирования………………………………...13

4. Требования, предъявляемые  к математическим моделям………………16

4.1 Составление математических  моделей…………………………………..18

4.2 Элементарные математические  модели………………………………….24

Заключение………………………………………………………………….30

Список использованной  литературы………………………………………………………...…………31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

   Для нашего времени характерна интеграция наук, стремление получить как можно более точное представление об общей картине мира. Эти идеи находят отражение в концепции современного образования.

В век  интернета и космических технологий трудно представить человека без компьютера. Современные исследования настолько наукоёмки, что просто физически невозможно обойтись без помощи вычислительной машины. Колоссальные объёмы информации требуется анализировать в процессе исследования процессов в различных областях науки и техники.      Математическое моделирование возникло с возникновением вычислительной техники. Это обусловлено потребностью человека в различных областях. Человечество требует комфорта. Именно для нужд растущего населения Земли необходимо развитие науки и техники (исследования космоса, исследование протекающих в земной коре процессов, прогнозирование землетрясений, прогнозирование погоды, исследования глобальных изменений климата, электроника, наземный, водный, подводный экологически чистый транспорт, аэродинамика, внедрения новых экозащитных технологий, разработка новых материалов и т.д.).

         Цель данной работы:

-изучить характерные  черты математического моделирования;

-отразить прикладные возможности математики.

 

 

 

 

 

 

 

Основная  часть.

1. Основные характерные черты моделирования.

Проникновение математических методов в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности означает возможность  пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Рост математической культуры специалистов в соответствующих областях приводит к тому, что изучение общих теоретических положений и методов вычислений уже не встречает серьёзных трудностей. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических познаний далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи – необходимо ещё получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. В этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

Холл (1963) сказал, что целью  прикладной математики является математическое осмысление действительности.  В  практике математического моделирования  исходным пунктом часто является некоторая эмпирическая ситуация, выдвигающая перед исследователем задачу, на которую требуется найти ответ. Прежде всего, необходимо установить, в чём именно заключается задача. Часто (но не всегда) параллельно с этой стадией постановки задачи идёт процесс выявления основных или существенных особенностей явления (рис. 1). В частности для физических явлений этот процесс схематизации или идеализации играет решающую роль, поскольку в реальном явлении участвует множество процессов и оно чрезвычайно сложно. Некоторые черты явления представляются важными многие другие – несущественными.

 Возьмём, к примеру, движение маятника, образованного тяжёлым грузом, подвешенным на конце нити. В этом случае существенным является регулярный характер колебаний маятника, а несущественным – то, что нить белая, а груз чёрный. После того как существенные факторы выявлены, следующий шаг состоит в переводе этих факторов на язык математических понятий и величин и постулировании соотношений между этими величинами.

После построения модели её следует подвергнуть проверке. Адекватность модели до некоторой степени проверяется обычно в ходе постановки задачи. Уравнения или другие математические соотношения, сформулированные в модели, постоянно сопоставляются с исходной ситуацией. Существует несколько аспектов проверки адекватности. Во-первых, сама математическая основа модели (которая и составляет её существо) должна быть непротиворечивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Во-вторых, справедливость модели зависит от её способности адекватно описывать исходную ситуацию. Модель можно заставить отражать действительность, однако она не есть сама действительность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.

Ситуации моделируют для разных целей. Главная из них  – необходимость предсказывать новые результаты или новые свойства явления. Эти предсказания могут быть связаны с распространением существующих результатов или иметь более принципиальный характер. Часто они относятся к условиям, которые, по всей вероятности, будут иметь место в некоторый момент в будущем. С другой стороны, предсказания могут относиться к событиям, непосредственное экспериментальное исследование которых неосуществимо. Наиболее важный пример такого рода дают многочисленные прогнозы, которые делались на основе математических моделей в программе космических исследований. Однако для этой цели моделируются не все ситуации: в некоторых случаях достаточно уметь описывать математическими средствами работу системы для того, чтобы добиться более глубокого понимания явления (именно эту роль и играют многие выдающиеся физические теории, хотя на их основе делаются также и прогнозы). Обычно при таком математическом описании не учитывается элемент контроля, однако в моделях, построенных, например, для исследования работы сетей, таких как схемы движения поездов или самолётов, контроль часто является важным фактором.

Математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. Ощутимое упрощение наступает  тогда, когда несущественные особенности  ситуации отбрасываются и сложная  исходная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу. Именно при таком подходе в классической прикладной механике возникли блоки без трения, невесомые нерастяжимые нити, невязкие жидкости, абсолютно твёрдые или чёрные тела и прочие подобные идеализированные модели. Эти понятия не существуют в реальной действительности, они являются абстракциями, составной частью идеализации, предпринятой автором модели. И, тем не менее, их часто можно с успехом считать хорошим приближением к реальным ситуациям. Описанный образ действий при построении математических моделей не является единственным, и этому совсем не стоит удивляться. В другом возможном подходе первым шагом является построение простой модели нескольких наиболее характерных особенностей явления. Это часто делается для того, чтобы почувствовать данную задачу, причём делается это ещё до того, как сама задача окончательно сформулирована. Затем эта модель обобщается, чтобы охватить другие факты, пока не будет найдено приемлемое или адекватное решение.

 Есть ещё подход, когда с самого начала вводится  в рассмотрение одновременно  большое число факторов. Он часто  применяется в исследовании операций, и такие модели обычно изучают  имитационными методами с использованием  ЭВМ.

Важнейшее решение, которое часто принимается в самом начале процесса моделирования, касается природы рассматриваемых математических переменных. По существу они делятся на два класса. В один из них входят известные характеристики, т.е. величины, поддающиеся (по крайней мере теоретически) точному измерению и управлению. Такие переменные называются детерминированными переменными. В другой класс входят неизвестные характеристики, т.е. величины, которые никогда не могут быть точно измерены и имеют случайный характер – они называются стохастическими переменными. Модель, содержащая стохастические переменные, должна по определению описываться математическим аппаратом теории вероятностей и статистики. Детерминированные переменные часто, но не всегда требуют привлечения обычного математического анализа. Природа некоторых ситуаций бывает ясна не сразу, другие ситуации характеризуются переменными обоих типов. Для построения модели чрезвычайно важно, чтобы природа переменных была правильно представлена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Эволюционный процесс в моделировании.

Говоря о математическом моделировании, нельзя не обратить внимания на эволюционный процесс "смены" парадигм моделирования, который, как  кажется, характерен для многих дисциплинарных областей, где применяются методы теории управления. До сих пор ни в одной из работ по теории моделирования этот процесс не рассматривался как "смена поколений" математических моделей. Тем не менее, сейчас можно было бы говорить уже о трех таких поколениях. На первых этапах речь чаще всего идет о математической записи отдельных феноменологических наблюдений над реальными объектами. Для них характерна простота описаний, типична линейность уравнений и малая размерность (часто воспроизводится всего одна или две переменных). Методы анализа связаны в основном с получением аналитических решений и графическим рассмотрением на фазовой плоскости. Затем появляются модели, описывающие объект "во всей его полноте" - в них объект представлен в виде "системы" - модель отражает его структуру и законы, по которым он функционирует. Модели становятся существенно нелинейными, чисто математический аппарат дополняется логико-семантическим. Возрастает размерность, достигая нескольких десятков. Такие модели называются "сложными", "большими", а рабочим инструментом на этом этапе становится вычислительный эксперимент. Трудно не заметить, что в настоящее время начинается переход к третьему поколению математических моделей - моделям виртуального мира. Виртуальное моделирование можно определить как воспроизведение трехмерного мира компьютерными средствами. Резко возрастает объем обрабатываемой и воспроизводимой информации (например, количество визуализируемых "деталей" достигает нескольких тысяч). Любопытно, что модели третьего поколения по своей математической сущности могут быть как "феноменологическими", так и "системными".

 Процесс смены поколений  моделей можно проиллюстрировать  на многих дисциплинарных примерах - в небесной механике это переход  от феноменологической модели  Птолемея к системной модели  Коперника-Кеплера и затем к  современным моделям (таким, как совокупные модели движения объектов в космическом пространстве в системах слежения, используемых в космонавтике и в военном деле, или как виртуальные модели небесных явлений в мультимедийных системах Redshift).

 В биомедицине первое поколение моделей появилось в самом конце XIX в. - модель сердца как "эластичного резервуара" О.Франка представляла собой типичную феноменологическую модель (модель данных). Многочисленные модели физиологических процессов охарактеризовали приход второго поколения моделей - системных моделей процессов жизнедеятельности, использовавшихся для исследования процессов управления искусственными органами. Развитие тренажерных моделей (в том числе мультимедийных) характеризует начало третьего этапа.

 Наконец, такая же картина наблюдается в управлении технологическими процессами. Феноменологические модели передаточных функций, восстановленные по входо-выходным характеристикам объектов, сменились системными методами пространства состояний. Третий этап математического моделирования также связан здесь с виртуальным моделированием - динамическим моделированием в реальном масштабе времени.

 Говоря о России, можно вспомнить, что наука  математического моделирования  развивается с 1960-х гг. и имеет  большие традиции. Но для нас сейчас важно другое - часть накопленного тогда потенциала, получившая развитие в теории управления и ее применениях, до сих пор остается "невостребованной" современной наукой о моделировании в ее "чистом" виде, оставшись и за рамками книг.

 Многие фундаментальные проблемы прикладного моделирования впервые были выявлены И.А.Полетаевым. Он первым обратил внимание на утилитарность математических моделей, дав оригинальную классификацию моделей по целям их использования: "поисковая" модель - для проверки гипотез, "портретная", она же - демонстрационная, - для замены объекта в эксперименте (например, для тренажеров - что в то время рассматривалось едва ли не как научная фантастика) и, наконец, "исследовательская модель", что в современном понимании означает ориентацию на сложный вычислительный эксперимент.

 В другой работе  И.А.Полетаев поднял еще один  столь же важный круг вопросов - о принципиальной "субъективности" математического моделирования.  По меньшей мере, два его высказывания и сегодня заслуживают внимания:

 В задаче математического моделирования «кроме объекта моделирования и модели, обязательно присутствует субъект моделирования, лицо, усилиями и в интересах которого осуществляется модель». Роль субъекта моделирования оказывается решающей, ибо именно его цели, интересы и предпочтения формируют модель.

 Создание модели  нужно не само по себе, а  для решения практических задач,  что только и может оправдать  затрату сил на создание модели. Модель создается для того, чтобы работать: «Только полная реализация модели с ее "прогоном" через расчеты полностью окупает затраты на моделирование».

Например, проведение экспериментальных исследований на крупных высокотемпературных  агрегатах связано с большими организационными и техническими трудностями. Поэтому возникает необходимость в разработке математических моделей, значительно сокращающих объём трудоёмких и дорогостоящих промышленных экспериментов, на долю которых остаётся лишь сбор исходной информации для расчёта, проверка адекватности математических моделей и внедрение результатов моделирования. Для формулировки граничных условий необходим детальный расчёт внешнего теплообмена. Одним из наиболее распространённых методов расчёта внешнего теплообмена является зональный метод, рассматривающий перенос тепла излучением, конвекцией и турбулентной теплопроводностью, т.е. учитывающий неравномерность распределения температур, скоростей и концентраций в рабочем пространстве топки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Основы математического моделирования.

         Приведем пример простейшей математической модели. Представим себе, что нужно определить площадь пола комнаты. Реальный объект – пол комнаты – заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств и особенностей, а является его приближённым отражением. Однако в результате замены реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель", широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Классификация в любой  области знаний чрезвычайно важна. Она позволяет обобщить накопленный  опыт, упорядочить понятия предметной области.

Существует несколько  подходов к классификации моделей.

Основные:

• область использования;
• учёт в модели временного фактора (динамики);
• отрасль знаний;
• способ представления моделей.

Классификация по области  использования:

Классификация с учётом фактора времени и области  использования:

 

 

Классификация по способу  представления:

 

 

4. Требования, предъявляемые к математическим моделям.

 

К математическим моделям  предъявляются следующие основные требования:

1. Универсальности.
2. Точности.
3. Адекватности.
4. Экономичности.

Универсальность математической модели характеризует полноту отражения  в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражает не все, а лишь некоторые свойства реального  объекта.

Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Адекватность математической модели – это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера.

К математическим моделям  предъявляется и целый ряд  других требований, среди которых  следует выделить следующие:

Вычислимость, т.е. возможность  ручного или с помощью ЭВМ  исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным  составляющим объекта (системы).

Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответствующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

Наглядность, т.е. удобное  визуальное восприятие модели.

 

Задачи математического  моделирования

 

Существует два основных класса задач, связанных с математическими  моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать её поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра k - прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с её моделью. Ещё одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1 Составление математических моделей.

 

Модель - это такой  материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Математическая модель - модель, в которой для описания свойств и типичных черт объекта  используются математические символы.

Покупая в магазине разные продукты, мы автоматически занимаемся простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, мы (или кассир) складываем абстрактные числа, оплачиваем сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке), получаем конкретный продукт.

Такую же простейшую схему математического моделирования мы много раз применяли в курсе алгебры при решении текстовых задач. Мы перекладывали практическую задачу на математический язык, решали математическую задачу, а затем интерпретировали математический результат.

Процесс математического  моделирования - это процесс построения математической модели. Он состоит из следующих этапов:

1.Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнений, неравенств, системы уравнений и неравенств и т. д.

2.Решение математической задачи: уравнения, неравенства, системы и т. д.

3.Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнений, решений неравенств) к их практическому смыслу в данной задаче.

4.Проверка результата практикой.

Первые три этапа  мы все применяли при решении  текстовых алгебраических задач. И  если мы не допустили ошибок, что  проверяется непосредственно проверкой  или по данным в учебнике ответам, то считается, что задача решена верно. При решении практических задач такого ответа не существует. Можно представить, что решается сложная задача о конструировании самолета или не менее сложная экономическая задача. В таких случаях необходима проверка математических выводов экспериментом.

Чтобы проверить теоретические  выводы о конструкции самолета, строят его модель - единственный (а не серийный) настоящий самолет - и сначала  проверяют его испытанием в аэродинамической трубе. Затем проводят испытания  в настоящем полете. Во время испытания  выявляются недостатки, уточняются условия задачи, уточняются и проверяются все три этапа ее решения. Затем снова эксперимент, и так до получения хорошего для практики результата.

Таким образом, вырисовывается следующая схема математического  моделирования:

Реальный Мир	1 этап – абстракция	Математическая модель
4 этап эксперимент		2 этап решение математи- ческой проблемы
Выводы о реальном мире	3 этап – интерпретация	Математические выводы

 

Рассмотрим пример.

Задача. Два художника  купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половину всей краски купил по a рублей за тюбик, а другую половину – по b рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по a рублей, а другую половину денег – на тюбики по b рублей. Кто из них заплатил за покупку меньше?

Решение.

I. Введем обозначения:

S - число тюбиков, купленных  каждым художником;

х рублей – сумма, затраченная  на покупку первым художником;

y рублей - сумма, затраченная  на покупку вторым художником.

По условию задачи имеем:

S/2 Ÿ a + S/2 Ÿ b = x, (1)

y/ 2a + y/ 2b =S, (2)

Итак, нужно выяснить, какое из чисел, x или y, меньше другого, если положительные числа a, b, x, y, S удовлетворяют равенствам (1), (2). Эта математическая задача и есть математическая модель данной практической задачи.

Некоторые задачи, решаемые методом моделирования.

Задача о рекламе.

        Средства массовой информации дают рекламные объявления для ускорения сбыта некоторой продукции, которая есть в продаже. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. По какому закону распространяется известие о наличии этой продукции?

Решение.

Пусть N – число потенциальных покупателей данной продукции и в момент времени t об ее наличии в продаже знают х (t) покупателей. Хотя на самом деле число покупателей целое, но для абстрактной математической модели можно считать, что функция х (t) может принимать все значения от 0 до N.

Статистика показывает, что с большой степенью достоверности  скорость изменения функции х (t) прямо пропорциональна как числу знающих о продукции, так и числу не знающих. Если условится, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N /g человек, то приходим к дифференциальному уравнению

x '(t) = k·x(t)·( N – x(t)) (3)

с начальными условиями  х = N / g при t = 0. В уравнении (3) коэффициент k – это положительный коэффициент пропорциональности, который определяется экспериментально и зависит от интенсивности рекламы и скорости распространения слухов.

Интегрируя уравнение (1), находим, что

1 / N· ln (x /(N – x)) = k·t + С.

Полагая NC = C1, приходим к равенству

x / (N – x) = AеN·k· t , где А = еC1 .

Если последнее уравнение  разрешить относительно х, то получим  соотношение

х (t) = N· A·е N·k··t / (A·еN·k·t + 1) = N / (1 + Р·е –N·k·t ), (4)

где Р = 1/ A.

Если учесть теперь начальные  условия, то уравнение (4) перепишется  в виде

х (t) = N / (1 + (g -1)·e–N·k·t )

Задача (химия и технология производства).

 Через сосуд ёмкостью  а литров, наполненный водным  раствором некоторой соли, непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени втекает b литров чистой воды и вытекает такое же количество раствора.