Основные виды математических моделей

Основные виды математических моделей.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратурного оформления всё многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса, исходя из временного и пространственного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные); процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические модели являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно:

1. модели, неизменные во времени, - статические модели;
2. модели, переменные во времени, - динамические модели;
3. модели, неизменные в пространстве, - модели с сосредоточенными параметрами;
4. модели, изменяющиеся в пространстве, - модели с распределенными параметрами.

Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Модели с сосредоточенными параметрами.

Для данного класса моделей характерно постоянство переменных в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, описываемого данным классом моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием потока. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова (рис.1).

Рисунок 1 – Пример схемы аппарата, реализующего модель идеального смешения

Модели с распределенными параметрами.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве, или если указанные изменения происходят только в пространстве, то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной переменной. Примером процесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с большим отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис.2).

Рисунок 2 – Пример схемы аппарата, реализующего модель идеального вытеснения

Статические модели.

Статические модели отражают работу объекта в стационарных условиях, т.е. когда параметры процесса не меняются во времени. Соответственно математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Примером объекта, описываемого статической моделью, служит аппарат полного смешения объемом V в установившемся режиме работы, в который непрерывно подаются реагенты А и В в количестве vA, vB (vA+ vB = v) и отводится продукт реакции P.

Математическое описание аппарата включает следующие уравнения материального баланса (для простоты тепловой баланс не рассматривается):

Здесь k – константа скорости реакции.

Динамические модели.

Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Часто динамическую модель объекта строят в виде передаточных функций, связывающих входные и выходные переменные (представление динамических моделей в виде передаточных функций особенно удобно для целей управления объектом). Примером динамической модели может служить модель рассмотренного выше аппарата полного смешения, но работающего в неустановившемся режиме. В этом случае математическое описание аппарата включает следующие уравнения материального баланса:

А также начальные условия

, при t = 0.

Математическая модель является системой уравнений математического описания, отражающей сущность протекающих в объекте явлений, для которой определен алгоритм решения, реализованный в форме моделирующей программы. Согласно этому определению математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее аспектов: смыслового, аналитического и вычислительного.

Смысловой аспект представляет собой физическое описание природы моделируемого объекта.

Аналитический аспект является математическим описанием процесса в виде некоторой системы уравнений, отражающей протекающие в объекте явления и функциональные связи между ними.

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания, реализованные как моделирующая программа на одном из языков программирования.