П. Ферма и его вклад в развитие математики

Министерство  образования и науки Российской Федерации

    Высшее  учебное заведение высшего профессионального  обучения

    «Курский  государственный университет»

    Физико-математический факультет 
 
 

    Реферат на тему:

    «П. Ферма и его вклад в развитие математики» 

Выполнила:

студентка 41 группы

    Чекулаева Ел. Н.

    Проверил:

    Доцент  кафедры методики

    преподавания  математики и геометрии

    Фильчакова  К. А.

Курск  2011

Содержание

1. Введение………………………………………………………………….3
2. Биография Пьера Ферма………………………………………………...4
3. Достижения в области математики…………………………………….5
4. Великая теорема Ферма………………………………………………..13
5. Заключение……………………………………………………………..20
6. Библиография…………………………………………………………..21

1.Введение

   В 17 в. Вместе с интересом  к точным наукам воскресает  и интерес к теории чисел.  Особенно он возрос после издания  в 1621 г. Литератором и любителем  математики Клодом-Гаспаром Баше  де Мезириаком (1581-1638) греческого  текста «Арифметики» Диофанта  с латинским переводом и комментариями.  Во Франции образовалась группа  ученых, занимавшихся задачами теории  чисел. В нее входили Пьер  Ферма, сотрудник монетного двора  Бернар Френикль де Бесси (1605-1675), лионский учитель математики  Жак де Билли (1602-1679), Мерсенн,  отчасти Декарт и Блез Паскаль.  Эти люди жили в разных городах  Франции, и некоторые даже никогда  не видели друг друга. Зато  они вели оживленную переписку  как непосредственно друг с  другом, так и через Мерсенна. Впоследствии в эту переписку  были втянуты ученые Англии  – Валллис, Броункер и Голландии – Гюйгенс, Схоотен. Когда Мерсенн скончался, его функции посредника между учеными занял друг Ферма де Каркави, любитель математики и королевский библиотекарь, один из организаторов Парижской академии наук.

  Однако  из всей этой плеяды ученых  одному только Пьеру Ферма  удалось выделить из хаоса  многочисленных задач и частных  вопросов, сразу же возникающих  перед исследователем при изучении  свойств целых чисел, те основные  проблемы, которые стали центральными  для всей классической теории  чисел. Ему же принадлежит открытие  замечательного метода для доказательства  теоретико-числовых предложений  – так называемого метода бесконечного  спуска. Поэтому Ферма по праву  может считаться основоположником  алгебраической теории чисел. 
 
 

2. Биография Пьера  Ферма

  Уроженец юга Франции, Пьер Ферма (1601-1665) провел большую часть жизни в Тулузе, где состоял советником местного парламента (т. Е. высшего суда). Он получил юридическое образование, был прекрасным знатоком древних и современных ему языков: латыни, древнегреческого, испанского, итальянского, писал изящные стихи по-французски, по-испански и по-латыни. Греческий он знал настолько хорошо, что делал поправки ко многим учебным переводами мог бы прославиться как знаток эллинизма. Изучение в подлинниках Евклида, Архимеда, Апполония, Паппа и Диофанта, вероятно послужило толчком для занятий Ферма математикой. Именно здесь и проявился с полной силой его гений. Ферма был чрезвычайно разносторонним математиком: он существенно развил методы определения площадей и объемов, создал новый метод касательных и экстремумов, наряду с Декартом явился создателем аналитической геометрии, вместе с Паскалем заложил основы теории вероятностей. Как и большинство ученых того времени, Ферма не ограничивался исследованиями по «чистой» математике. Он занимался оптикой, и ему принадлежит носящий его имя принцип минимума, которому следует луч света при прохождении через неоднородную среду.

   Одной из любимых областей  математики была для Ферма  теория чисел, которой он занялся,  по-видимому, в середине 30-х годов  и которой посвящены наиболее  вдохновенные строки его писем.  «Арифметика-писал он, - имеет свою  собственную область, теорию целых  чисел, эта теория была лишь  слегка затронута Евклидом и  не была достаточно разработана  его последователями (если только  она не содержалась в тех  книгах Диофанта, которых нас  лишило разрушительное действие  времени); арифметики, следовательно,  должны ее развивать или возобновить».

   Ферма писал мало и всегда  очень сжато, а кроме того, не  публиковал свои работы, циркулировавшие  при его жизни лишь в рукописях.  Некоторые открытия он изложил только в переписке. Свое намерение написать специальное сочинение по теории чисел он не осуществил. Поэтому результаты Ферма по теории чисел дошли до нас в разрозненном виде: некоторые содержатся в его письмах, другие представляют его замечания к задачам Диофанта на полях принадлежавшего ему экземпляру «Арифметики». Только в 1670 г., после смерти Ферма, его старший сын Самюэль выпустил новое издание Диофанта с комментариями Баше и замечаниями Ферма, а позднее собрал сохранившиеся в бумагах отца математические наброски и небольшие трактаты и издал их под названием «Разные математические сочинения». Но и после этого были найдены многие письма и заметки Ферма, не вошедшие в это издание.

  Таким  образом, теоретико-числовые результаты  Ферма дошли дл последующих  математиков в виде проблем,  в подавляющем большинстве случаев  без доказательств и указаний  на внутренние связи между  ними. После смерти Ферма проблемы  эти пролежали без движения  около семидесяти лет пока  ими не заинтересовался Л. Эйлер.  С этого момента началась их  новая жизнь. Исследования Эйлера  превратили теорию чисел в  неотъемлемую составную часть  математики.   Рассмотрим проблемы Ферма. 

3. Достижения в области  математики

1. Простые числа

Занимаясь арифметикой целых чисел, Ферма  обратил внимание на большую роль, которую играют простые числа. По-видимому, он начал искать различные критерии для определения того, будет ли заданное число N простым или составным. Он искал также выражения F(n), которые при любом целом значении n давали бы только простые числа. Ферма полагал, что таким выражением будет 

Действительно, при n=0,1,2,3 и 4 F(n)

Принимает значения 3, 5, 17, 257, 65537, являющиеся простыми числами. Однако как показал Эйлер, F(5)= не простое. Что не существует целого многочлена P(x) c целыми коэффициентами, все значения которого при целых x были бы простыми числами, доказали Хр. Гольдбах и Эйлер.

Простые числа вида называются теперь простыми числами Ферма. До сих пор неизвестно, существует ли конечное число простых чисел Ферма или их бесконечно много.

  Одним  из критериев для определения  простоты числа послужила так  называемая малая теорема Ферма.

Малая теорема Ферма.

Ферма установил, что для каждого числа  a , не делящегося на простое число p, существует такое число f, являющееся делителем p-1 , что делится на p. Он сформулировал это предложении сначала для a=2, затем для любого a.

 Малая  теорема Ферма – одна из  самых важных теорем элементарной  теории чисел; здесь впервые  мы сталкиваемся с частным  случаем важнейшего понятия современной  алгебры – конечной циклической  группой, образованной элементами  

Которые рассматриваются по модулю p( т.е. два элемента считаются равными, если при делении на p они дают один и тот же остаток). В малой теореме на частном примере установлено одно из основных предложений теории конечных групп: порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Квадратичные  формы

   Ферма впервые поставил вопрос  об определении вида простых  чисел, представимых некоторой  квадратичной формой. Число n называется представимым формой 

Если  существуют такие целые, взаимно  простые что  

Ферма решил этот вопрос для форм 

Так он нашел, что формой  представимы те и только те простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1 , причем каждое простое число этой прогрессии представимо в виде суммы двух квадратов единственным образом, например

5=4

Этот  результат, впрочем был известен еще Диофанту.

Далее Ферма нашел, что формой представимы все простые числа вида 8n+1 и 8n +3 и только они, а формой – простые числа вида 6n+1.

Замечательно, что Ферма рассматривает по прогрессиям  только простых чисел, представимых некоторой формой. Именно на этом пути были открыты в дальнейшем те глубокие закономерности, которые охарактеризованы с помощью квадратичного закона взаимности.

 Вопрос  о нахождении всех чисел, как простых, так и составных, представимых некоторой квадратичной формой, Ферма поставил и решил только для случая формы . Для составных чисел уже не существует столь же простого закона, характеризующего представимые числа, как в случае простых чисел.

Однако  из формулы  

Видно, что произведение двух представимых чисел снова снова будет представимым числом. Ферма как раз и воспользовался этой формулой, чтобы показать, что  множество чисел представимых формой ,замкнуто по умножению. Тем самым простейшая формула для композиции форм, известная еще Диофанту, была использована для представления чисел.

Теория композиции форм была впоследствии развита Эйлером, Лагранжем и особенно Гауссом.

 Упомянем  еще предлоржение о представимости  любого целого положительного  числа суммой не более четырех  целых квадратов, впервые высказанное  Баше де Мезириаком в комментариях  к его изданию «Арифметики»  Диофанта 1621 г. В замечании, относящемяс  к этому месту, Ферма высказал  более общую теорему, согласно  которой любое натуральное число  есть либо n- угольное, либо сумма не более чем n n- угольных чисел, причем утверждал, что располагает ее доказательством. В 1636 г теорема стала известной в кругу французских математиков. Доказательство свое Ферма не сообщил; он лишь упомянул в одном письме 1654 г Паскалю, что вывод опирается на представимость простых чисел вида 4n+1  суммой двух квадратов. Эта теорема Ферма для n=4 была доказана во второй половине 18 в благодаря совместным усилиям Эйлера и Лагранжа, для n=3 – Гауссом (1801) и в общем случае – О. Коши (1813-1815).

Неопределенные  уравнения

Баше  де Меризиаку и Ферма принадлежит  заслуга постановки задачи о решении  неопределенных уравнений в целых  числах. До них, следуя за Диофантом, европейские  математики обычно искали рациональные решения таких уравнений.

Баше  де Меризиак, не зная  о своих индийских  предшественниках, подробно разработал и изложил на числовых  примерах способ решения в целых положительных  числах линейного уравнения с  двумя неизвестными 

Где (a,b)=1. Этот вопрос Баше изложил в замечательном сборнике «Приятных и занимательных задач, рассматриваемых в числах», неоднократно переиздававшихся вплоть до наших дней, - в последний раз книга вышла в 1959 г.

Ферма исследовал гораздо более трудную  задачу решения в целых положительных  числах уравнения с двумя неизвестными второй степени. В своем письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил своим корреспондентам найти общее правило решения уравнения 

Где a – целое неквадратное число. Такое уравнение рассматривали еще математики древней греции и средневековой Индии. Впоследствии Эйлер по ошибке связал его с именем английского алгебраиста Джона Пелля(1611-1685). Теперь более принято называть уравнение (1), отдавая долг справедливости, уравнением Ферма.

Проблема  решения уравнения Ферма распадается  на две:

1. Найти наименьшее целочисленное решение после чего,
2. Зная наименьшее решение найти все остальные.

В своем  письме Ферма предлагал найти  решения при a=149,109,433. Эти значения выбраны так, что наименьшее решение соотвествующего уравнения Ферма очень велико и его нельзя найти простым подбором. Вероятно, Ферма специально выбрал эти примеры, чтобы узнать, владеют ли его коллеги общим методом для решения первого из указанных нами вопросов. Что касается самого Ферма, о не подлежит сомнению, что он имел общие формулы для решения второго вышеназванных вопросов. Для случая a=2 он привел соответствующие формулы в письме к Френиклю. По-видимому, он владел и методом нахождения наименьшего решения, однако в его бумагах никаких следов такого приема не осталось.

Ферма придавал уравнению (1) очень большое  значение, считая, что оно поясняет путь, по которому должна развиваться  наука о числах. Но его современники не поняли значения этого уравнения. По поводу уравнения Ферма разгорелась  интересная дискуссия, в которой  приняли участие английские математики и которая была издана Валлисом в 1658 г. Под названием «недавняя переписка о некоторых математических воросах». Их этой переписки видно, что английские математики сначала не поняли задачу:  Броункер предложил ее решение в рациональных числах, Валлис считал, что требование найти решение в целых числах делает задачу менее общей. После дополнительных разъяснений Ферма, Броункер решил уравнение Ферма при a=109 c помощью разложения в непрерывную дробь, но не доказал ни того, что его способом всегда можно найти решение, ни того что при этом получаются все решения. Впоследствии эффективное решение уравнения Ферма и исчерпывающее его исследование было дано Эйлером и Лагранжем. Наконец в 1846 г, обобщив результаты Ферма, Эйлера и Лагранжа, Лежен Дирихле построил свою теорию единиц в полях алгебраических чисел.

Ферма рассматривал и более общее неопределенное уравнение второго порядка 

Приведя пример неопределенного уравнения 

Он писал: «Я нашел общее правило, чтобы  решать такое уравнение, если оно  возможно, или чтобы определять его  невозможность. И это – во всех случаях и для всех чисел».

Далее, в примечаниях к Диофанту, приведя  пример так называемого двойного неравенства 
 

Решение которого сводится к решению уравнения  вида 

Он писал: «Баше в комментариях к Диофанту приписывает себе честь нахождения правила для двух частных случаев. Я даю общее правило для  всех случаев. И определяю правилами, является ли оно возможным или  нет ».

Больше  никаких указаний на уравнение (2) в  работах Ферма нет. Ни одному из его  современников решение  этого  уравнения было не под силу, Эйлер  продвинул вперед его исследование, а полностью решил его Лагранж.

Решение неопределенных уравнений  в рациональных числах

   В этом вопросе Ферма следовал  за Диофантом. Еще Виет и  Баше де Мезириак обратили  внимание на метод, с помощью  которого Диофант находил рациональные  решения неопределенных уравнений  третьего порядка, а применили его для определения рациональных решений уравнений 
 
 

Одно  решение здесь находится очевидным  образом, а другие определяются по методу Диофанта. Ферма добавил к этим трем уравнениям четвертое 

Которое не могли решить его предшественники, так если, следуя Диофанту, сделать  подстановку 

А затем  приравнять нулю коэффициент при  первой степени ℥, то полученная рациональная точка x, y будет обязательно иметь одну отрицательную координату, т. Е. сумма двух кубов представится не суммой, а разностью двух других кубов (это будет решением задачи 2, а не 4). Ферма находит положительные рациональные значения x, y, решая последовательно задачи 2, 3 и , наконец, 1.

   В примечаниях к 12-ой задаче  четвертой книге «Арифметики»  Диофанта Ферма рассматривает  задачу 

Он полагает x-y=1 и после этого легко находит одно из рациональных решений y=-9/22, x=13/22. Чтобы найти положительные рациональные решения, Ферма делает подстановку т.е. осуществляет сдвиг соответствующей кривой. Этот прием  Ферма применял многократно, а после его смерти описание метода Диофанта с применением сдвигов для получения положительных решений дал де Билли в «Новом открытии в аналитическом учении», составленном по письмам к нему от Ферма и напечатанном в уже упоминавшемся издании Диофанта 1670 г в качестве введения. Ферма не мог не заметить аналогии своего приема с теми преобразованиями, которыми он пользовался в аналитической геометрии. Вероятно, он понимал также связь метода Диофанта со своим методом касательных к алгебраическим кривым. Однако о геометрическом смысле метода нахождения рациональных решений неопределенных уравнений третьего порядка, который заключается в том, что в рациональной точке алгебраической кривой третьего порядка поводится касательная и ищется другая ее точка пересечения с кривой , которая также будет рациональной, Ферма не упоминает, как не делал этого ивпоследствии и Эйлер. Впервые явная геометрическая интерпретация метода появилась в 19 в. В работах Коши, Люка и Пуанкаре.

   Метод ьДиофанта давал возможность  находить рациональные решения  в том случае, когда одно из  решений было уже найдено. Вскоре  Ферма встретился с такими  задачами, которые не имеют рациональных  решений. Они особенно привлекали  его внимание. Одна из таких  проблем, так называемая великая  теорема Ферма, сыграла совершенно  исключительную роль в истории  теории чисел.

Великая теорема Ферма

4. Великая теорема Ферма

Большой известностью во всём мире пользуется «Великая теорема Ферма» (она же – «Большая» или «Последняя»).

      Великой теоремой Ферма называется то заключение, которое было сделано им при чтении изданной Мезириаком «Арифметики» Диофанта. На полях этой книги, против того места, где идёт речь о решении уравнения вида x² + y² = z², Ферма написал: «Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвёртую степень – на сумму четвёртых степеней, вообще какую-нибудь степень – на сумму степеней с тем же показателем. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предположения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». Это положение Ферма теперь формулируется как теорема в следующем виде: «Уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не может быть решено в рациональных числах относительно x, y и z при целых значениях показателя n, больших 2» (общеизвестно, что при n=2 такие числа существуют, например, 3, 4, 5 – числа, которые, если являются длинами сторон, образуют знаменитый треугольник Пифагора). Справедливость этой теоремы подтверждается для многих частных случаев (при этом ещё не найдено ни одного опровержения), однако до сих пор она не доказана в общем виде, хотя ей интересовались и её пытались доказать многие крупные математики (в «Истории теории чисел» Диксона прореферировано более трёхсот работ на эту тему). В 1907 году в городе Дармштадте в Германии умер математик Вольфскель, который завещал 100000 марок тому, кто даст полное доказательство теоремы. Немедленно сотни и тысячи людей, движимых одним лишь стремлением к наживе, стали бомбардировать научные общества и журналы своими рукописями, якобы содержащими доказательство теоремы Ферма. Только в Гёттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи «решений». Но премия эта до сих пор никому не выдана за отсутствием настоящего доказательства Большой теоремы Ферма.

      Элементарного доказательства Великой теоремы Ферма нет ни для одного показателя n ¹ 4.

      Случай, когда n = 3, был доказан Эйлером ещё в 1768 году. И тот потребовал ещё много лет, чтобы теория, которой необоснованно пользовался Эйлер при своём доказательстве, была доказана Гауссом.

      Доказательство  теоремы Ферма для случая, когда n = 5, предложили в 1825 году почти одновременно Лежен Дирихле и Лежандр. Своё доказательство Дирихле опубликовал в 1828 году, но оно было очень сложным, и в 1912 году его упростил Племель.

      Для следующего простого показателя n = 7 теорема Ферма была доказана лишь в 1839 году Ламе. Доказательство Ламе было почти сразу же усовершенствовано Лебегом.

      В 1847 году Ламе объявил, что ему удалось найти доказательство теоремы Ферма для всех простых показателей n ³ 3. Метод Ламе представлял собой весьма далёкое развитие идей Эйлера и основывался на арифметических свойствах чисел. Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассуждениях Ламе серьёзный пробел, чем опровергнул это доказательство. Ламе был вынужден признать свою ошибку.

      На  ЭВМ, пользуясь идеями Куммера и Вандивера доказали справедливость теоремы Ферма для всех простых показателей n < 100000.

Доказательство  леммы 1 (Жермен) 

      Если  произведение двух взаимно  простых натуральных  чисел является n-ой степенью, то каждый из сомножителей также будет n-ой степенью:

            ab = cⁿ; НОД(a; b) = 1; a, b Î N

      Доказать: a = xⁿ; b = yⁿ

      Доказательство: Если разложить cⁿ на простые множители, то: cⁿ = d₁ * … * d₁ * d₂ * … * d₂ * … * d_m * … * d_m, где каждого множителя по n. Если же разложить на простые множители числа a и b, то какие-то из чисел d₁ … d_m  уйдут к a, какие-то – к b, причём одинаковые  уйти и туда, и туда не могут в силу того, что НОД(a; b) = 1, т. е. a есть произведение n-х степеней неких простых чисел, и b также – произведение n-х степеней каких-то чисел, следовательно: a = xⁿ; b = yⁿ. 

Доказательство  леммы 2 (вспомогательной) 

                                           x² + y² = z²     (1)

      Если  (x; y; z) – решение, то (y; x; z) также будет решением, потому что x и y симметричны в данном уравнении. Предположим, что z = 2k, тогда z² = 4k, если же z = 2k – 1, то z² = (2k – 1)² = 4k² – 4k + 1 = 4(k² – k) + 1, следовательно, хотя бы одно из чисел x и y чётно, т. к. если бы оба они были нечётными, то x² + y² = (2k – 1)² + (2d – 1)² = 4k² – 4k + 1 + 4d² – 4d + 1 = 4(k² + d² – k – d) + 2, чего быть не может, т. к. x² + y² = z². Кроме того (±x; ±y; ±z) также является решением уравнения, т. к. x² = (-x)²; y² = (-y)²; z² = (-z)².

      Из  этих замечаний непосредственно  следует, что нам достаточно найти  лишь состоящие из положительных  чисел примитивные решения (x; y; z) уравнения (1), т. е. исключим все следующие решения: (±x; ±y; ±z), кроме (x; y; z), (y, x, z), для которых x = 2a.

      Лемма 2: «Любое состоящее из положительных чисел примитивное решение (x, y, z) уравнения (1), для которого x = 2a, выражается формулами:

            x = 2mn; y = m² – n²; z = m² + n²,

где n < m, НОД(m; n) = 1, m и n – числа разной чётности».

      Доказательство: Пусть (x; y; z) – произвольное, состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (1), где x = 2a. Из уравнения 4a² + y² = z² следует (z – y)(z + y) = 4k². Чётность чисел z – y и z + y совпадают и произведение их равно 4k², следовательно, z – y и z + y чётные. Пусть z + y = 2b; z – y = 2c, где b и c положительны, т. к. y < z, исходя из уравнения (1). Каждый общий делитель l чисел b и c является также общим делителем z = b + c и y = b – c.

      НОД(y; z) = 1, т. к. (x; y; z) – примитивное решение уравнения (1), следовательно, НОД(b; c) = 1. С другой стороны 4a² = x² = z² – y² = (z – y)(z + y) = 4bc, т. е. a² = bc. Следовательно, согласно лемме 1, применённой к случаю, когда n = 2, существуют такие взаимно простые положительные числа разной чётности m и n, что b = m²; c = n². Тогда a² = (mn)², т. е. a = mn и

            x = 2a = 2mn; y = b – c = m² – n²; z = b + c = m² + n².

      Для завершения доказательства остаётся лишь добавить, что n < m, т. к. x, y > 0. 

Доказательство  теоремы Ферма для показателя 4 

            x⁴ + y⁴ = z⁴

      Докажем ещё более общий случай:

            «Уравнение

                  x⁴ + y⁴ = z²      (2)

не  имеет решений  в целых отличных от нуля числах».

      Доказательство: Предположим, что существует решение уравнения (2) в целых отличных от нуля числах. Ясно, что, не теряя общности, мы можем считать, что оно состоит из попарно взаимно простых положительных чисел (если (x; y; z) является решением уравнения (2), то, сразу же видно, что (lx; ly; lz) также является его решением). Так как в любом множестве натуральных чисел существует наименьшее из них, то среди всех таких решений найдётся решение (x; y; z) с наименьшим z. Рассмотрим именно это решение:

      Так же, как и при доказательстве леммы 2 немедленно доказывается, что одно из чисел x и y должно быть чётным. Предположим, что чётно число x. Это предположение также общности не ограничивает.

      Так как числа x², y² и z положительны и взаимно просты, а число x² чётно, то, согласно лемме 2, существуют такие взаимно простые числа m и n < m разной чётности, что x² = 2mn; y² = m² – n²; z² = m² + n². Если m = 2k и n = 2f +1, то y = 4(k² – f² – f – 1) + 3, что невозможно, ибо, как выше было уже отмечено, любой квадрат должен иметь вид 4k + 1, или 4k. Следовательно, m – нечётно, а n – чётно.

      Пусть n = 2q. Тогда x² = 4mq и потому mq = (x/2)². Поскольку НОД(m; q) = 1, а x чётно, то, исходя из леммы 1, m = z₁²; q = t², где z₁ и t – некоторые целые взаимно простые положительные числа. В частности, уравнение y² = m² – n² то же самое, что и y² = (z₁²)² – (2t²)², т. е. (2t²)² + y² = (z₁²)².

      Так как НОД(t; z₁) = 1, то к этому неравенству снова применима лемма 2. Следовательно, существуют такие положительные взаимно простые числа a и b < a различной чётности, что 2t² = 2ab, т. е. t² = ab; y² = a² – b²; z₁² = a² + b². Так как НОД(a; b) = 1, из равенства t² = ab по лемме 1 вытекает, что существу целые числа x₁ и y₁, для которых a = x₁²; b = y₁². Поэтому z₁² = a² + b² то же, что и x₁⁴ + y₁⁴ = z₁². Это означает, что числа x₁, y₁, z₁ составляют примитивное решение уравнения (2), состоящее из положительных чисел. Поэтому в силу выбора решения (x; y; z), должно иметь место неравенство z₁ ³ z, а потому и неравенство z₁² ³ z, т. е., учитывая, что z = m² + n², m ³ m² + n², чего быть не может, т. к. m, n > 0.