Перевірка статистичних гіпотез

      Міністерство освіти і науки України

      Черкаський  державний бізнес коледж

Кафедра економіки та підприємства

      Реферат

                                  з предмету             Статистика

             на тему:            «Перевірка статистичних гіпотез»

                                                                                                            Виконала:

студентка III курсу

                                                                                          групи 1Б-08

Атамановська  Т.В.

                              Перевірив викладач:

                                                                                      Дернова І.А. 
 
 
 
 
 

Черкаси - 2010

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………3

1. Означення статистичної гіпотези і задача про її статистичну перевірку ……………………………………………………………. …4
2. Критерій статистичної перевірки гіпотези……………………………5
3. Перевірка гіпотези про закон розподілу. Критерій згоди Пірсона.....8
4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення (математичного сподівання) ознаки генеральної сукупності зі стандартом……………………………………………………………..11

Висновок …………………………………………………………………………16

Список використаних джерел…………………………………………………..17

Вступ

     Тема  перевірка статистичних гіпотез є актуальному через рад причин. По-перше дані вибіркових спостережень часто становлять основу для прийняття одного з кількох альтернативних рішень . Із загальнометодологічного погляду тут йдеться про висунення деякої гіпотези, яку відхиляють або приймають після проведення деякого експерименту, а отже перевірка даної гіпотези є актуальною. По-друге якщо ймовірність події А у даному досліді дуже мала, то при одноразовому повторенні досліду можна бути практично впевненим, що подія А не настане, та в практичної діяльності поводитися так, нібито подія А неможлива. Як в першому прикладі так і в другому чітко простежується значимість перевірки статистичних гіпотез. Гіпотеза без перевірки нічого не варта, всьому потрібний доказ.

Означення статистичної гіпотези і задача про її статистичну перевірку 

      Дані  вибіркових спостережень часто становлять основу для прийняття одного з  кількох альтернативних рішень (продукція  може бути бракованою або якісною, точність обробки виробу в межах норми  або нижча від норми і т. д.). Із загальнометодологічного погляду тут йдеться про висунення деякої гіпотези, яку відхиляють або приймають після проведення деякого експерименту. Якщо цей експеримент має статистичний (стохастичний) характер, кажуть, що гіпотеза є статистичною.

      Статистичною  називають гіпотезу про властивості генеральної сукупності, що перевіряється на основі вибірки.

      Статистичними гіпотезами можуть бути, наприклад, такі твердження: розподіл імовірностей випадкової величини є нормальний; розподіл імовірностей випадкової величини є пуассонівський; у нормальному розподілі випадкової величини параметри і у показниковому розподілі випадкової величини параметр випадкові величини Х і Y незалежні і т. п.

      У математичній статистиці виділяють два основні типи статистичних гіпотез:

• гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності);
• гіпотези про значення параметрів розподілу випадкової величини (ознаки генеральної сукупності).

      Статистичні гіпотези першого типу називають  непараметричними, а другого типу – параметричними.

      Основною (нульовою) називають висунуту гіпотезу і позначають

      Альтернативною (конкуруючою) називають гіпотезу, яка  повністю або частково логічно заперечує нульову гіпотезу, і позначають

      Наприклад, математичне сподівання нормально  розподіленої випадкової величини основна гіпотеза; математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини альтернативна гіпотеза. Записують це так:

      У результаті статистичної перевірки  гіпотези може бути прийняте одне з  двох правильних рішень: 1) гіпотеза приймається  і вона істинна; 2) гіпотеза відхиляється і вона неістинна.

      Поряд із тим у результаті статистичної перевірки статистичної гіпотези можуть бути допущені помилки (прийняті неправильні  рішення) двох типів:     1) гіпотеза відхиляється, але вона істинна (помилка  першого роду); 2) гіпотеза приймається, але вона неістинна (помилка другого роду).

      Виявляється, що помилка першого роду має вагоміші наслідки, ніж помилка другого  роду.

      Щоб застрахувати себе від помилки першого  роду або принаймні звести до мінімуму ризик її допущення, вводиться спеціальне число яке виражає ймовірність відхилення правильної гіпотези.

      Імовірність допущення помилки першого роду називають рівнем значущості і позначають через 

      Число задають наперед і найчастіше його вибирають рівним 0,1; 0,05; 0,01. Якщо то це означає, що ймовірність допустити помилку першого роду є мала, а саме – ми ризикуємо її допустити у 5-ти випадках зі 100. 
 
 
 
 
 
 

Критерій  статистичної перевірки гіпотези 

      Для перевірки нульової гіпотези вводять  певну числову характеристику, яку  обчислюють на основі вибірки і на підставі якої вирішують: прийняти основну  гіпотезу чи альтернативну. Зрозуміло, що вибрана числова характеристика для різних вибірок матиме, загалом кажучи, різні значення, і тому вона є випадковою величиною.

      Статистичним  критерієм гіпотези (або просто критерієм гіпотези) називається випадкова величина за допомогою якої проводиться перевірка гіпотези.

      Випадкову величину вибирають такою, щоб її закон розподілу ймовірностей був відомий.

      Значення  випадкової величини обчислене на основі даних певної вибірки, називають емпіричним значенням критерію гіпотези і позначають

      Виявляється, що за одних значень  гіпотеза приймається, а за інших його значень – відхиляється.

      Сукупність  значень критерію за яких нульова гіпотеза відхиляється, називається критичною областю, а сукупність значень критерію за яких нульову гіпотезу приймають, називається областю прийняття гіпотези.

      Правило перевірки статистичних гіпотез: якщо емпіричне значення критерію належить критичній області, то нульову гіпотезу відхиляють; якщо емпіричне значення критерію належить області прийняття гіпотези, то нульову гіпотезу приймають.

      Якщо  випадкова величина є одновимірна, то критична область, як правило, є множиною точок певних інтервалів на прямій, які відокремлені від області прийняття гіпотези так званими критичними точками Тобто для знаходження критичної області достатньо визначити критичні точки.

      Залежно від конкуруючої гіпотези розглядають  три види критичних областей:

• правостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю
• лівостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю
• двостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається сумою інтервалів і

      Для знаходження критичної області  задаються рівнем значущості і шукають критичні точки із таких співвідношень:

      а) для правосторонньої критичної  області:

      б) для лівосторонньої критичної області:

      в) для двосторонньої симетричної  критичної області:

      Зрозуміло, що для певної гіпотези можна побудувати багато різних критеріїв її перевірки, і за кожним критерієм можемо одержувати різні результати щодо прийняття  нульової гіпотези на основі тієї самої вибірки. Тому для визначення кращого критерію вводиться характеристика, яка називається потужністю критерію.

      Потужністю  критерію називають імовірність потрапляння критерію у критичну область за умови, що конкуруюча гіпотеза є істинною.

      Тобто потужність критерію визначається як імовірність не допустити помилку другого роду при вибраному критерії. 

Перевірка гіпотези про закон  розподілу. Критерій згоди Пірсона 

      Критерієм згоди називають статистичний критерій перевірки гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності). Є кілька критеріїв згоди: критерій Колмогорова, критерій Смірнова, критерій Пірсона та ін. Розглянемо критерій згоди Пірсона (критерій ), який ґрунтується на порівнянні емпіричних і теоретичних частот.

      Нехай висунуто гіпотезу випадкова величина Х розподілена за законом А.

      Здійснивши  вибірку обсягу п, знаходять і записують у вигляді таблиці інтервальний статистичний розподіл частот:

      Оскільки  перевіряється гіпотеза про те, що розподіл ознаки Х генеральної сукупності описується певною (конкретною) функцією розподілу або, що те ж саме, щільністю розподілу то для кожного інтервалу можна визначити теоретичні ймовірності попадання значень випадкової величини Х у цей інтервал, а отже, і теоретичні частоти

      Для обчислення ймовірностей використовують формули:

               (1)

      Зазначимо, що для обчислення ймовірностей і у формулах (1) покладають, відповідно, і Тоді

      Отримані  результати обчислень зручно записати у формі таблиці: 

      Згідно  з критерієм Пірсона для перевірки  гіпотези вводиться випадкова величина (статистика)

де  m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; – емпірична частота ознаки Х в і-тій групі; – теоретична частота; – імовірність того, що значення Х належить і-тій групі.

      Відомо, що при  закон розподілу статистики прямує до закону розподілу з ступенями вільності, де m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; кількість параметрів гіпотетичного розподілу А (наприклад, для нормального розподілу, для розподілу Пуассона, для рівномірного розподілу).

      Для критерію будують правосторонню критичну область за правилом:

                                                  (2)

За заданим  рівнем значущості і кількістю ступенів вільності із таблиці критичних точок розподілу (в якій дано розв’язки рівняння (2)) знаходять критичну точку

      На  підставі даних вибірки, записаних  у таблиці, обчислюють емпіричне  значення критерію Пірсона:

      Порівнюємо  значення і : якщо то гіпотезу відхиляють; якщо ж то гіпотезу приймають.

      Застосування  критерію вимагає дотримання таких умов:                      1) експериментальні дані мають бути незалежними, тобто вибірка має бути випадковою; 2) обсяг вибірки має бути достатньо великим (практично не меншим ніж 50 одиниць), а частота кожної групи – не меншою за 5. Якщо остання умова не виконується, то проводиться попереднє об’єднання нечисленних груп.

      Критерій  згоди Пірсона дає відповідь  на питання, чи розбіжність між емпіричними  і теоретичними частотами зумовлена  випадковістю, чи вона є значущою. Як і будь-який інший критерій він не доводить справедливості гіпотези , а лише дозволює встановити на прийнятному рівні значущості узгодженість чи неузгодженість гіпотези з даними спостережень. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення

(математичного  сподівання) ознаки  генеральної сукупності  зі стандартом 

      У критеріях для перевірки гіпотези про те, що значення математичного сподівання досліджуваної ознаки Х генеральної сукупності збігається зі стандартом використовують статистику вибіркове середнє. Залежно від інформації щодо генеральної сукупності, якою володіємо, розрізняємо такі моделі.

      Модель  А. Гіпотеза про значення метематичного сподівання нормального закону розподілу за відомої дисперсії.

      Нехай випадкова величина Х нормально розподілена з невідомим математичним сподіванням але відомою дисперсією Потрібно на основі вибірки перевірити нульову гіпотезу про рівність математичного сподівання а певному числу При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу п; середнє квадратичне відхилення ; гіпотетичне значення математичного сподівання ; рівень значущості

      Із  вивченого нами матеріалу випливає, що вибіркове середнє для вибірки з нормального розподілу з параметрами має нормальний розподіл з параметрами , тому за умови істинності гіпотези (коли ) випадкова величина

яку беруть за критерій перевірки гіпотези , також розподілена нормально з параметрами (0, 1).

      Справді,

      Отже, щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Тому

      Якщо  конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають двосторонню симетричну критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

Оскільки  то

тобто

      Правило 1. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза , то перевірку гіпотези проводимо за такою схемою:

• обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

                                                (3)

• знаходимо за таблицею значень функції Лапласа критичне значення , використовуючи рівняння:

                                                    (4)

• робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо то гіпотезу приймаємо; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи

      Якщо  конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають правосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

Тоді

      Якщо  конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають лівосторонню критичну область, для якої

      Правило 2. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза або , то перевірку гіпотези також проводимо за схемою правила 1 з такими змінами:

• замість рівняння (4) для знаходження критичного значення використовуємо рівняння:

                                                  (5)

• робимо висновок стосовно висунутої гіпотези :

1. якщо то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи ;
2. якщо то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то гіпотезу відхиляємо і приймаємо гіпотезу .

      Модель  Б. Гіпотеза про значення метематичного сподівання нормального закону розподілу за невідомої дисперсії.

      Нехай випадкова величина Х нормально  розподілена з невідомими математичним сподіванням і дисперсією Потрібно на основі вибірки перевірити нульову гіпотезу про рівність математичного сподівання а певному числу При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу п; гіпотетичне значення математичного сподівання ; рівень значущості

      Оскільки  середнє квадратичне відхилення невідоме, то для перевірки гіпотези тут ми вже не зможемо скористатися статистикою через те, що для неї неможливо буде обчислити емпіричне значення . У даному випадку використовуємо статистику

де  – вибіркове середнє, а – підправлене середнє квадратичне відхилення. Можна показати, що за умови істинності гіпотези випадкова величина має розподіл Ст’юдента з ступенями вільності.

      Подальша  побудова критичної області для  дво- та односторонніх перевірок  гіпотези здійснюється аналогічно як у випадку моделі А, з тією лише різницею, що критичні точки (тут замість вони будуть позначатися через ) визначаються за таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента, а не значень функції Лапласа. За того самого рівня значущості значення буде більшим, аніж .

      Правило 1. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза , то перевірку гіпотези проводимо за такою схемою:

• обчислюємо емпіричне значення критерію:

                                               (6)

• знаходимо за таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента за заданим рівнем значущості (для двосторонньої критичної області) і кількістю ступенів вільності критичну точку ;
• робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо то гіпотезу приймаємо; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи

      Правило 2. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза або , то перевірку гіпотези також проводимо за схемою правила 1 з такими змінами:

• за таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента за заданим рівнем значущості (для односторонньої критичної області) і кількістю ступенів вільності знаходимо критичну точку ;
• робимо висновок стосовно висунутої гіпотези :

1) якщо  то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативи ;

2) якщо  то нема підстав відхилити гіпотезу ; якщо то гіпотезу відхиляємо і приймаємо гіпотезу . 
 

Висновок 

     Про перевагу тієї або іншої з порівнюваних груп судять, як правило, з різниці  між середніми, середніми частками або іншими вибірковими показниками  — величинами випадковими і такими, що є статистичними оцінками відповідних генеральних показників.

     Питання про достовірність відмінностей розв'язується зазвичай на основі перевірки  за вибірковими характеристиками тієї або іншої статистичної гіпотези.

     В області клінічних досліджень широке використання отримала так звана  нульова гіпотеза Н0 . Значення її зводиться до припущення, що різниця між генеральними параметрами порівнюваних груп дорівнює нулю і відмінності, що спостерігаються між вибірковими характеристиками, носять виключно випадковий характер.  

Список використаних джерел 

1. Жлуктечко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник: У 2-х ч. - Ч.П. Математична статистика. - К.: КНЕУ, 2001.
2. Савчук М.В. Програма з навчальної дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» для спеціальності 6.050200 «Менеджмент організацій» - К.: ІПК ДСЗУ, 2006.
3. Статистика: Підручник/За наук. ред.С. С.Герасименка.—К.:КНЕУ,2000