Планирование эксперимента. 2

Федеральное агентство по образованию РФ

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

Тульский государственный университет

 

Кафедра «Инструментальные и метрологические системы»

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольно - курсовая работа

по дисциплине

«Планирование эксперимента»

 

Вариант  №8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил                                                             

ст. гр. 640591/05                                                                            Токмакова Т.С.

 

 

Проверил

к.т.н., доц.                                                                                        Соловьев С.И.

 

 

 

 

 

 

Тула 2014

Содержание

1 Построение плана эксперимента……………………………………………	4
2 Обработка результатов эксперимента. Построение линейной модели…..	8
2.1 Проверка наличия грубых промахов в каждом j-том опыте……….....	8
2.2 Проверка однородности дисперсий  опытов  ………………………..	9
2.3 Расчет коэффициентов модели…………………………………………	10
2.4 Проверка значимости коэффициентов модели………………………...	11
2.5 Проверка адекватности модели…………………………………………	12
2.6 Построение модели. Переход от  кодированной записи модели к           натуральной………………………………………………………………	13
3. Расчет условий опытов крутого  восхождения…………….……………..…14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Построение плана эксперимента

Запишем условия эксперимента в виде матрицы планирования, в которой используем кодированные значения факторов.

Таблица 1

1	+	+	+	+	112,57	111,77	112,88
2	-	+	+	-	79,79	79,48	78,6
3	+	-	+	-	89,81	88,98	89,37
4	-	-	+	+	85,83	86,13	87,01
5	+	+	-	-	92,74	92,61	93,56
6	-	+	-	+	90,33	89,35	89,80
7	+	-	-	+	99,66	100,02	100,68
8	-	-	-	-	667,06	66,65	67,48

 

Запишем план эксперимента с учетом влияния четырех факторов. Число опытов данного эксперимента определяется по формуле:

,

где     - число опытов в эксперименте,

          - число факторов планирования.

То есть в данном случае

                                         

Из таблицы 1, можно выявить следующее генерирующее соотношение:

                                

,                                (1)

что позволяет перейти от полного факторного эксперимента, требующего в случае четырех факторов проведения 16 опытов, к дробному эксперименту, состоящему из

 опытов,

где    - число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия.

В результате количество опытов уменьшится до 8.

Дробный факторный эксперимент типа является полурепликой от полного факторного эксперимента .

Для того чтобы выявить систему смешивания всех линейных коэффициентов, необходимо построить определяющий контраст на основании генерирующего соотношения (1). Для этого умножим обе части соотношения (1) на фактор :

                           

                                (2)

Выражение (2) является определяющим контрастом реплики с генерирующим соотношением (1). Умножая определяющий контраст последовательно на , получим порядок смешивания линейных коэффициентов:

где     - истинные значения соответствующих коэффициентов.

Для того чтобы оценки коэффициентов были более точными и надежными, каждый опыт эксперимента дублируют раз, а в качестве результата опыта берут среднее арифметическое значений функции отклика, т. е.

,

где   − среднее арифметическое значение функции отклика в -том опыте; ;

  − число дублей -того опыта;

  − номер дубля, ;

 - значение функции отклика в -том дубле -того опыта.

В данном случае

Занесем полученные значения в таблицу 2.

Разброс значений   оценивается дисперсией -того опыта:

В данном случае

Аналогично вычислим дисперсии оставшихся семи опытов:

Определим среднее квадратичное отклонение (СКО) каждого опыта:

В данном случае

Полученные для каждого из восьми опытов значения дисперсии и СКО занесем в таблицу 2.

Таблица 2

Матрица плана эксперимента с результатами опытов

1	+	+	+	+	112,57	111,77	112,88	112,41	0,3280	0,60
2	-	+	+	-	79,79	79,48	78,60	79,29	0,3811	0,60
3	+	-	+	-	89,81	88,98	89,37	89,39	0,1791	0,40
4	-	-	+	+	85,83	86,13	87,01	86,32	0,3762	0,60
5	+	+	-	-	92,74	92,61	93,56	92,97	0,2653	0,50
6	-	+	-	+	90,33	89,35	89,80	89,83	0,2406	0,50
7	+	-	-	+	99,66	100,02	100,68	100,12	0,2676	0,50
8	-	-	-	-	67,06	66,65	67,48	67,06	0,1723	0,40

 

 

2 Обработка результатов  эксперимента.

Построение линейной модели

 

2.1 Проверка наличия грубых промахов в каждом j-том опыте

Проверку осуществим с использованием r-критерия:

Расчетные значения -критерия сравниваются с табличным значением , которое находится по таблице в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости . Результат опыта считается грубым промахом, если не выполняется условие:

                   

            (3)

Рассчитывать оба значения -критерия необязательно, достаточно определить наибольший по значению и проверить выполнение условия (3). Если оно выполняется, то для меньшего по значению -критерия оно выполняется тем более.

Во всех опытах табличное значение -критерия будет равным

Вывод: поскольку в каждом из восьми опытов условие (3) выполняется, с вероятностью гипотеза об отсутствии грубых промахов в опытах принимается.

 

2.2 Проверка однородности  дисперсий опытов 

Т.к. число факторов превышает два, проверку однородности дисперсий осуществим по критерию Кохрена:

Расчетное значение критерия Кохрена сравнивается с табличным значением , которое находится по таблице в зависимости от числа степеней свободы , числа опытов и уровня значимости . Дисперсии однородны, если соблюдается условие:

                                 

                              (4)

Следует помнить, что проверка однородности дисперсий по критерию Кохрена справедлива только при равном числе дублей каждого опыта.

Определим расчетное значение критерия Кохрена:

Табличное значение -критерия:

Вывод: поскольку условие (4) выполняется, с вероятностью гипотеза об однородности дисперсий принимается.

2.3 Расчет коэффициентов  модели

Коэффициенты рассчитываются по следующим формулам:

где  - номер фактора,

         - кодированное значение фактора в -том опыте,

         - оценка теоретического коэффициента (свободного члена),

         - оценка линейного эффекта (коэффициент перед ).

Вычислим коэффициенты:

 

2.4 Проверка значимости  коэффициентов модели

Статистическая значимость коэффициента означает, что его абсолютная величина должна быть больше доверительного интервала , т. е.

                                   

                               (5)

                                   

                               (6)

где    - табличное значение критерия Стьюдента при принятом уровне значимости и числе степеней свободы ,

         - дисперсия -того коэффициента, .

                              

                                   (7)

где   - дисперсия воспроизводимости при числе степеней свободы

,

Вычислим дисперсию коэффициента (как следует из формулы (7), она одинакова для всех коэффициентов модели):

Найдем табличное значение критерия Стьюдента:

Определим доверительный интервал по формуле (6) (одинаков для всех коэффициентов):

Проверим выполнение неравенства (5):

Вывод: поскольку условие (5) выполняется для всех коэффициентов модели, все они признаются значимыми.

 

2.5 Проверка адекватности  модели

Проверку осуществим с помощью критерия Фишера:

                                  

                                (8)

где    - расчетное значение -критерия;

         - дисперсия адекватности.

                 

         (9)

где   - значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий -того опыта;

         - число степеней свободы;

         - число факторов.

Если для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы и , то модель считают адекватной, в противном случае гипотеза адекватности отвергается.

Рассчитаем значения параметра оптимизации для условий каждого -того опыта:

Для условий 1-ого опыта:

Аналогично для условий каждого из оставшихся семи опытов:

 

Вычислим дисперсию адекватности по формуле (9):

По формуле (8) определим расчетное значение -критерия:

,

Вывод: поскольку , с доверительной вероятностью модель признается адекватной.

 

 

2.6 Построение модели. Переход от кодированной записи

модели к натуральной

Построим модель в кодированном виде:

Запишем модель в натуральном виде, для чего выразим все факторы через их натуральные значения:

   (10)

Как видно, необходимо вычислить основной уровень и интервал варьирования для каждого из факторов:

 

 

 

 

Для 1-ого фактора

  

Аналогично для оставшихся трех факторов:

Подставим все необходимые значения в уравнение модели (10):

Проведя алгебраические преобразования, получим модель в натуральном виде:

Для проверки подставим в полученную мод1ель исходные значения факторов, например из условий 3-го опыта:

 

 

3. Расчет условий опытов крутого восхождения

 

Наименование
Основной уровень	6	3	3,5	6	-
Коэффициент	9,049	3,9513	2,179	7,496	-
Интервал варьирования	1,8	1	2,2	1,5	-
	16,288	3,9513	4,7938	11,244	-
Шаг	1,44	0,35	0,42	0,99	-
№ опытов
1	7,44	3,35	3,92	6,99	Мысленный опыт
2	8,88	3,7	4,34	7,98
3	10,32	4,05	4,76	8,97
4	11,76	4,4	5,18	9,96
…	….	…	…	…	…
N

 

Выберем базовый фактор:

В нашем случае базовым фактором является , так как:

Выбираем шаг, с которым будет изменяться базовый фактор при движении к оптимуму:

, где:

коэффициент пропорциональности ( ).

Принимаем

Шаги измерения других факторов рассчитываем по следующей формуле: