Применение комплексных чисел для решения задач в профессиональной деятельности

               ОГБОУ   СПО «Томский политехнический техникум»

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            

                                            РЕФЕРАТ

 

 

Применение  комплексных чисел для решения  задач в профессиональной деятельности

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Выполнил: студент группы 153

                                                      Каличкин Владислав Николаевич

 

                                                                  Проверил: преподаватель математики

                                                             Метелькова Елена Александровна

 

 

 

 

 

                                                

                                                           

 

 

 

                                                     

 

 

 

 

                                                      Томск

                                                       2013

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Введение

            2. Применение комплексных чисел в экономике

3. Применение комплексных чисел в физике

4. Применение  комплексных чисел в электротехнике

5. Заключение

6. Литература

7. Интернет - ресурсы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     1. Введение

 

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они  как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

 

История возникновения комплексных чисел была самой сложной среди других видов чисел. Первое их упоминание в истории, можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объем пирамиды столкнулся с тем, что должен был взять квадратный корень из разности 81-144. Но тогда он посчитал это невозможным и очень быстро сдался. «Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году, когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел. Он предположил, что система уравнений, не имеющая решений в области действительных чисел, вполне может иметь решением числа новой природы. Только нужно было условиться как всем действовать над такими числами. Но даже сам Кордано считал эти числа бесполезными и всячески старался их не испльзовать.

      История возникновения комплексных чисел получила свой новый виток уже в 1552 году, когда итальянский математик Рафаэль Бомбелли в своей книге установил первые правила арифметических операций над такими числами.

Сам термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. История возникновения комплексных чисел после этого начала набирать свои обороты. Многие математики признали и стали изучать их. И на самом деле, с комплексными числами можно совершать гораздо больше математических действий и применять их гораздо чаще, чем мы думаем.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

 

 

 

2. Применение комплексных чисел в экономике

 

Сегодня сложно представить  себе ряд наук без применения комплексных  чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей  в виде комплексных чисел. Экономика, более сложная наука, до сих пор не знала применения комплексных чисел.

Товар является носителем  двух составляющих: потребительских  свойств, объективно присущих товару, и цены - денежной оценки потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учетом того, что и потребительские свойства товара и его цена являются необходимыми показателями свойств товара, возникает потребность разработки и использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число, состоящее из действительной и мнимой частей

Представив какую-либо оценку потребительских свойств  товара П как действительную часть комплексного числа, а его цену Ц - как мнимую часть, получим:

Т = П + iЦ, (1)

где i - мнимая единица, которая определяется условием i? (0, 1) и удовлетворяет соотношению:

i2 = -1. (2)

Легко убедиться в  том, что запись (1) позволяет полностью  описать свойства конкретного товара и математически корректно работать как с каждой из двух его составляющих, так и с их совокупностью в целом.

Потребитель товара, приобретая его, удовлетворяет свои потребности  не в товаре, а в тех свойствах, которыми этот товар обладает. Не всякий товар полностью удовлетворяет  возникшие потребности; чаще всего приходится сталкиваться с тем, что товар лишь в некоторой степени удовлетворяет потребности потребителя. Товар, который полностью их удовлетворяет можно назвать идеальным. Обозначим потребительские свойства идеального товара через Пи. Тогда для каждого товара можно определить, насколько он далек от идеала:

Пи - П. (3)

Легко убедиться в  том, что чем ближе разность (3) к нулю, тем ближе товар к  идеальному, а значит, тем большую  цену потребитель готов заплатить  за него. Очевидно также, что чем дальше товар от идеала, чем меньшими потребительскими свойствами он обладает, чем выше значение разности (3), тем ниже цена, за которую потребитель готов приобрести данный товар. Аналогично и производитель несет большие издержки, чем выше потребительские свойства товара, которые он производит. Поэтому указанная взаимосвязь является универсальной для товара, выступающего на рынке. Рынок предоставляет покупателю возможность приобрести из множества товаров с различными уровнями потребительских свойств (и соответственно с различными ценами) или дорогой товар с высокими потребительскими свойствами, или дешевый товар с низкими потребительскими свойствами. Воспользовавшись условиями (1) и (3) можно описать группу товаров, реализуемых на рынке. Понятно, что это - не вся совокупность товаров, а только та, которая удовлетворяет в той или иной степени одну или несколько заданных потребностей.

В маркетинге выделяют понятие  товарной линии предприятия. Обычно под товарной линией понимают совокупность товаров, объединенных производителем по какому-либо признаку - одинаковый уровень цен, одно назначение и т. п. С учетом того, что рассматриваемая группа товаров охватывает все множество товаров, выдвинутых на рынок всеми производителями и удовлетворяет одинаковую совокупность потребностей, напрямую понятие товарная линия в данном случае применять нельзя.

Всю совокупность товаров, предложенных на рынок разными производителями, удовлетворяющих одну и ту же потребность (или совокупность одинаковых потребностей) в различной степени и по разной цене, назовем потребительской товарной линией.

Для потребительской  товарной линии между разностью (3) и ценой существует обратная зависимость. Эту зависимость можно описать  моделями различной сложности. Наибольший интерес представляют модель в виде комплексного числа. Очевидно, что для определения вида данной зависимости необходимо провести многочисленные полевые исследования, обработать полученные статистические данные и подобрать модель, наилучшим образом описывающую зависимость. В настоящее время подобных данных в нашем распоряжении нет, поэтому следует воспользоваться общепринятым в научных исследованиях методом - постепенным переходом от простых моделей к моделям повышенной сложности.

Для комплексного числа  указанная зависимость наиболее простым способом будет описана так:

(Пи - П) 2 + Ц2= К2 = const. (4)

Действительно, легко  убедиться в соответствии с равенством (4), что с уменьшением потребительских  свойств товара П (увеличением разности Пи - П) его цена будет уменьшаться, а при повышении потребительских свойств (уменьшением разности Пи - П) и их приближению к свойствам идеального товара цена увеличивается. Так что модель в целом правильно описывает главную особенность потребительской товарной линии.

Воспользовавшись полученной моделью и записью (1), легко описать модель поведения потребителя по отношению к товару как комплексное число:

К = (Пи - П) + iЦ. (5)

Очевидным преимуществом  модели (5) является то, что она является весьма информативной. Действительно, для того, чтобы описать потребительскую товарную линию, состоящую из нескольких сотен различных товаров, следует лишь вычислить К - модуль комплексного числа. Преимущества и удобства практического использования такой формы модели очевидны. Для того, чтобы определить, например, цену товара данной линии, который предприятие предполагает вывести на рынок, необходимо выяснить у потребителей оценку Пи - П и по равенству (4), зная, что К=100, легко определяется цена. Или, предполагая выйти на рынок данной линии с товаром, ориентированным на состоятельных покупателей, предприятие по ориентировочной цене может определить совокупность потребительских свойств, которую потребители будут готовы увидеть в данном товаре.

Модель (5) является простейшей из класса возможных моделей. Скорее всего, на практике при попытке её использования придётся столкнуться с целым рядом проблем. Реальная потребительская товарная линия будет плохо описываться моделью (5). Действительно, экономическая практика показывает, что она никогда не вписывается в красивые и изящные математические модели, которые ученые в таком изобилии предлагают практикам. Не сомневаясь в том, что и с моделью (5) будет то же самое, можно предложить простой способ решения этой проблемы. Модель легко усложняется, например, можно воспользоваться следующей её модификацией:

К = а (Пи - П) + iЦ. (6)

Очевидно, что модификация (6) является не единственно возможной. На практике можно будет использовать модели самой различной сложности, причем как действительная, так и  мнимая части данного комплексного числа могут представлять собой сложные функции.

Вид каждого комплексного числа и коэффициенты моделей  следует находить с помощью методов  регрессионно-корреляционного анализа. После того, как будет построена  модель потребительской товарной линии  в форме комплексного числа, можно использовать ее в самых разных случаях экономической практики, в том числе и при прогнозировании экономической конъюнктуры.

 

 

        3.  Применение комплексных чисел в физике

 

       Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа нашли применение во многих вопросах науки и техники.

Гармонический сигнал

 

Гармонический сигнал — это гармонические колебания с течением времени распространяющиеся в пространстве, которые несут в себе информацию или какие-то данные и описываются уравнением:

 

 

где А — амплитуда  сигнала;

 

 — фаза гармонического сигнала;

-время;

 — циклическая частота сигнала;

 

Тем не менее, часто используют комплексную запись сигнала:

 

Поскольку exp(jf)=e^(jf)=cosf.

 

Достоинство комплексного метода

 

Достоинство комплексного метода: при его применении в анализе цепей переменного тока можно применять все известные методы анализа постоянного тока.

Переменный ток - в  широком смысле электрический ток, изменяющийся во времени. Мгновенное значение силы i переменного тока меняется во времени по синусоидальному закону: i = I_m sin (ωt + α), где I_m — амплитуда тока, ω = 2πf — его угловая частота, α — начальная фаза. Синусоидальный (гармонический) ток создаётся синусоидальным напряжением той же частоты: u = U_m sin (ωt + β), где U_m — амплитуда напряжения, β — начальная фаза

Закон Ома

Закон Ома  формулируется так: Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна характеристике участка, которую называют электрическим сопротивлением этого участка.

Под законом Ома в  комплексной форме понимают:

 

Í = Ú / Z

 

Сопротивление в цепи переменного тока характеризуется  не только величиной активного сопротивления r (то, что подразумевается под сопротивлением, когда говорится о цепях постоянного тока), но и индуктивностью L и электрической емкостью С.

Индуктивность - физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи.

Электрическая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд.

Комплексное сопротивление  участка цепи представляет собой  комплексное число, вещественная часть  которого соответствует величине активного  сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.

Активное сопротивление — сопротивление электрической цепи или её участка, обусловленное необратимыми превращениями электрической энергии в другие виды энергии (в тепловую энергию). Реактивное сопротивление - это сопротивление обусловленное передачей энергии электрическому или магнитному полю (и обратно), с учётом поверхностного эффекта (эффект затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в глубь проводящей среды). В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты, при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.

Z = R + iX,

 

где Z — импеданс, R — величина активного сопротивления, X — величина реактивного сопротивления, i — мнимая единица.

 

Импедансом  называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени.

 

 

Здесь:

• j — мнимая единица;
• ω — циклическая частота;
• U(ω), I(ω) — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;
• φ_u(ω), φ_i(ω) — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;
• , — Комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;

 

Исторически сложилось, что обозначение  импеданса, комплексных амплитуд и  других комплекснозначных функций  частоты записывают как f(jω), а не f(ω). Такое обозначение показывает, что мы имеем дело с комплексными представлениями гармонических функций вида e^jωt. Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: чтобы отличать от соответствующих действительных (некомплексных) величин.

Алгебраическая форма

Если рассматривать  комплексный импеданс как комплексное  число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма

Если рассматривать  импеданс как комплексное число  в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько ток отстаёт от напряжения.

Фаза колебаний — аргумент периодической функции или описывающей гармонический колебательный процесс (ω — угловая частота, t— время, — начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в начальный момент времени t = 0). Фаза обычно выражается в угловых единицах (радианах, градусах) или в циклах (долях периода): 1 цикл = 2π радиан = 360°. Сдвиг фаз — разность начальных фаз переменных величин, изменяющихся по синусоидальному закону с одинаковой частотой. Сдвиг фаз измеряется в градусах, радианах или долях периода. В электротехнике большое практическое значение имеет сдвиг фаз между напряжением и током, определяющий коэффициент мощности в цепях переменного тока.

Механические  приложения комплексных чисел

Комплексные числа также  используются в описании процессов  плоского течения жидкости, обтекания  профилей жидкостью, волновые движения жидкости. Но поскольку эти процессы не явны для понимания, их рассмотрение на данном этапе считаю нецелесообразным.

 

 

4. Применение комплексных чисел в электротехнике

В электротехнике тема «Переменный  ток» занимает значительное место. Это  объясняется тем, что большинство  электротехнических установок работает на переменном токе, который изменяется синусоидально.

Уравнение переменного напряжения имеет вид , где u – мгновенное значение напряжения; – максимальное значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота; t – время; – начальный фазовый угол; – электрический угол. Это уравнение связывает две переменные величины: напряжение u и время t. С течением времени напряжение изменяется синусоидально.

Аналогичный вид имеют  уравнения и других синусоидально  изменяющихся величин: тока , э.д.с. и т.д.

При расчете цепей  переменного тока приходится использовать синусоидально изменяющиеся величины, т.е. производить сложение, вычитание, умножение и деление уравнений  указанного выше типа.

Сложение синусоидальных величин трудоемко, особенно если приходится складывать большое число уравнений. Синусоидальная величина однозначно представлена вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а начальное положение определяется углом , вращение вектора происходит с угловой скоростью w. Операции производятся с уравнениями, имеющими одинаковую угловую частоту, то есть все векторы, заменяющие уравнения, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Следовательно, их взаимное расположение не меняется, отпадает необходимость вращения векторов. Так как векторы заменяют синусоидальные величины, то сложение или вычитание, возможно, заменить сложением или вычитанием векторов.

Переменная синусоидальная величина обладает свойствами:

1. Переменная синусоидальная  величина может быть однозначно  представлена вектором. Длина вектора  равна амплитуде; угол наклона  равен начальному фазовому углу.

2. Сложение (и вычитание)  синусоидальных величин можно  заменить сложением (и вычитанием) векторов.

Кроме сложения и вычитания  синусоидальные величины приходится умножать и делить. И здесь на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна модулю комплексного числа, а угол наклона – аргументу. В электротехнике в отличие от математики мнимая единица обозначается буквой j. Если имеется комплексное число A=a+jb, то его можно представить вектором, где – модуль комплексного числа; – аргумент комплексного числа.

Комплексное число имеет  три формы: алгебраическую – A=a+jb; тригонометрическую – ; показательную – .

Комплексное число однозначно представлено вектором, а определенному  вектору соответствует определенное комплексное число.

Таким образом, если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному  вектору соответствует определенное комплексное число, то переменная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом. Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Напряжение  и ток. Имеется уравнение . В электротехнике за длину вектора берется не максимальное, а действующее значение. Оно обозначается большой буквой U без индекса и вычисляется путем деления максимального значения на .

Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом и обозначается прописной буквой с точкой наверху . Комплекс напряжения можно написать в трех формах алгебраической – , тригонометрической – и показательной – .

Таким образом, в комплексе  напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части.

Аналогично для тока: _{, , , , .}

Пример. Дано: ток в комплексной форме Написать уравнение тока.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:

, , ,

.

Сопротивление и проводимость. Имеется цепь (рис. 1): r – активное сопротивление (лампа накаливания); – индуктивное сопротивление (катушка); z – общее сопротивление цепи, называемое полным.

Рис.1 Рис.2

Сопротивления r, , z образуют прямоугольный треугольник сопротивления  
(рис. 2). Угол – угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок z может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок r откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок – по оси мнимых чисел.

Сопротивление в комплексной  форме обозначается буквой Z. Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается: – алгебраическая форма; – тригонометрическая форма; – показательная форма.

Модуль  ; аргумент . Таким образом, в комплексе сопротивления модуль равен полному сопротивлению, а аргумент – сдвигу фаз.

Мощность. Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока: , где – комплекс мощности, – сопряженный комплекс тока.

После умножения получим  комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:

, где P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Пример. ,6; . Определить активную P и реактивную Q мощность.

Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения:

, , ,

, , .

Определим сопряженный  комплекс тока: ,

Найдем активную и  реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар.

Алгебраическая форма  комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная –  при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

На занятиях преподаватели  могут использовать примеры, не вдаваясь углубленно в электротехнику, задания  рассматривая их только с математической точки зрения. В качестве дополнительного материала, самостоятельной работы можно предложить задания типа:

1. Дано: а) ; б) ; в) ; г)

Найти модуль и аргумент комплексного числа.

2. Дано: а) ; б) ; в) .

Написать комплексные  числа в показательной и алгебраической формах.

3. Дано: а) ; б) ; в) ;г) ;  
   д) ; е) ; ж) .

Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную  и наоборот.

4. Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Дано: а) ; б) ; в) .

            

                                     5. Заключение

Применение комплексных  чисел позволяет удобно и компактно  сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках .Как видно из описанных выше примеров математическая теория комплексных чисел нашла свое прикладное применение во многих областях знаний –электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, экономике, компьютерной и космической индустрии. И как следствие служит человеку во многих отраслях промышленного машиностроения в сфере проектирования и разработки новых видов техники. Именно поэтому нам надо расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

 

 

 

                                                  6. Литература

 

 

1.Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с.

2. Большая Советская  Энциклопедия

3. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии, М. Физматгиз, 1963

4. Андронов И.К. Математика  действительных и комплексных  чисел, М. Просвещение, 1975

5. Алешков Ю.З., Смышляев  П.П. Теория функций комплексного  переменного и ее приложения, изд-во ЛГУ, 1986

6. Роджерс Э. Физика  для любознательных, М., 1971

 

                          7.  Интернет – ресурсы

 

1. http://catalog.studentochka.ru/1606.html - комплексные числа в экономике
2. http://www.moluch.ru/archive/37/4252/ - комплексные числа в электротехники