Применение методов теории вероятностей в задачах электроэнергетики

Министерство  образования РФ 

Тверской  государственный  технический университет 
 

Кафедра Электроснабжения и  Электроэнергетики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат

Применение  методов теории вероятностей в задачах электроэнергетики 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                               Выполнил: ст.3 курса

                                               ЗФ ЭС шифр 09030

                                               Мильяченко А.А.

                                               Проверил: Бугров В.Г. 
 
 
 
 
 
 
 

                                    Тверь 2012 

                                    Оглавление 
 

Случайное событие, частота вероятность                                                           2

Случайная величина                                                                                              4

Случайный процесс                                                                                               5

Статистика в  электроэнергетике                                                                        10

Свойства математического ожидания                                                              12

Дисперсия случайной величины                                                                        13

Стандартное отклонение                                                                                     13

Корреляция                                                                                                           14

Понятие о математической статистике                                                              18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Теория  вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки  были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие  теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

      Случайные события. Частота. Вероятность.

      Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).

      Если, например, испытание состоит в  бросании монеты, то выпадение герба  является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, to выпадение пятерки — событие.   События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С,  Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.  Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n  
Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью.

Поясним это  на примере: 
  Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.  

 Событие называется  достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.  Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.  
    Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.  Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1 ) — вероятности события A.   Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА.   Аналогично, совмещением нескольких событий, например A, В и С, называется событие D=ABC, состоящее в совместном наступлении событий A, В и С. Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В.   Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A, В и С. Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное.

                              СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Случайная величина в теории вероятностей, величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой Случайная величина, принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью ¹/₆ каждое. Если Случайная величина Х принимает конечную или бесконечную последовательность различных значений, то её распределение вероятностей (закон распределения) задаётся указанием этих значений:  
x₁, x₂,..., x_n,... 
  и соответствующих им вероятностей: 
p₁, p₂,..., p_n....  

  Случайная величина указанного типа называются дискретными. В других случаях распределение вероятностей задаётся указанием для каждого отрезка D = [а, b] вероятности Р_х (а, b) неравенства а £ х < b. Особенно часто встречаются Случайная величина, для которых существует такая функция p_x (x) (плотность вероятности), что 
 
   
 
  Случайная величина этого типа называются непрерывными. 
  Ряд общих свойств распределения вероятностей Случайная величина достаточно полно описывается небольшим количеством числовых характеристик. Наиболее употребительными среди этих последних являются математическое ожидание ЕХ Случайная величина Х и её дисперсия DX. Менее употребительны медиана, мода, квантили и т. п. См. также Вероятностей теория. 
 
                                        СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Случайный процесс (вероятностный, или стохастический), процесс (т. е. изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером Случайный процесс может служить броуновское движение; другими практически важными примерами являются турбулентные течения жидкостей и газов, протекание тока в электрической цепи при наличии неупорядоченных флуктуаций напряжения и силы тока (шумов) и распространение радиоволн при наличии случайных замираний (федингов) радиосигналов, создаваемых метеорологическими или иными помехами. К числу Случайный процесс могут быть причислены и многие производственные процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а также ряд процессов, встречающихся в геофизике (например, вариации земного магнитного поля), физиологии (например, изменение биоэлектрических потенциалов мозга, регистрируемое на электроэнцефалограмме) и экономике. 
   Для возможности применения математических методов к изучению Случайный процесс требуется, чтобы мгновенное состояние системы можно было схематически представить в виде точки некоторого фазового пространства (пространства состояний) R", при этом Случайный процесс будет представляться функцией X (t) времени t со значениями из R. Наиболее изученным и весьма интересным с точки зрения многочисленных приложений является случай, когда точки R задаются одним или несколькими числовыми параметрами (обобщёнными координатами системы). В математических исследованиях под Случайный процесс часто понимают просто числовую функцию X (t), могущую принимать различные значения в зависимости от случая с заданным распределением вероятностей для различных возможных её значений — одномерный Случайный процесс; если же точки R задаются несколькими числовыми параметрами, то соответствующий Случайный процесс X (t)={X1(t), X2(t),..., Xk (t)} называется многомерным. 
  Математическая теория Случайный процесс (а также более общих случайных функций произвольного аргумента) является важной главой вероятностей теории. Первые шаги по созданию теории Случайный процесс относились к ситуациям, когда время t изменялось дискретно, а система могла иметь лишь конечное число разных состояний, т. е. — к схемам последовательности зависимых испытаний (А. А. Марков старший и др.). Развитие теорий Случайный процесс, зависящих от непрерывно меняющегося времени, является заслугой сов. математиков Е. Е. Слуцкого, А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина, американских математиков Н. Винера, В. Феллера и Дж. Дуба, французского математика П. Леей, швед. математика X. Крамера и др. Наиболее детально разработана теория некоторых специальных классов Случайный процесс, в первую очередь — марковских процессов и стационарных случайных процессов, а также ряда подклассов и обобщений указанных двух классов Случайный процесс (цепи Маркова, ветвящиеся процессы, процессы с независимыми приращениями, мартингалы, процессы со стационарными приращениями и др.). 
  Рассмотрим применение указанных законов в энергетике.

Аварийные повреждения оборудования являются случайными событиями. При большом числе агрегатов электростанций и элементов сети повреждение одних устройств может сочетаться с повреждением других устройств. Возникает задача определения вероятности одновременного повреждения двух, трех и более устройств (агрегатов) или элементов сети. В ряде случаев необходимо также определять вероятность того, что никаких повреждений в энергосистеме нет, так как эта величина характеризует надежность работы всего оборудования. Эти задачи возникают обычно при необходимости выбора оптимального решения, связанного с обеспечением или надежности работы энергосистемы (выбор оптимального резерва мощности), или надежности питания отдельных потребителей (выбор оптимальной схемы электроснабжения потребителя), или устойчивости энергосистемы (выбор оптимального уровня устойчивости). Во всех этих случаях отдельные повреждения рассматриваются как независимые и совместимые случайные события. Вероятность каждого из них может быть определена как статистическая вероятность на основе длительного наблюдения над аварийностью данного или однотипного оборудования. Для иллюстрации определения вероятности сложных событий рассмотрим примеры. 

Пример 1-1. Определить вероятность повреждения энергетического блока, представляющего coбoй последовательное соединение парового котла с паровой турбиной и электрическим генератором. Паровая турбина получает весь пар от парового котла. Генератор расположен на одном валу с турбиной, т. е. использует всю ее мощность. Вероягности повреждения отдельных элементов  блока известны: для  q_k =  0,02;   q_т  =  0,01; q_г  для      котла, турбины и генератора соответственно.

Очевидно, что  аварийный  выход из работы всего блока может иметь место при повреждении хотя бы одного из трех указанных элементов блока. Так как неповреждение является случайным событием, противоположным повреждению, то вероятности неповреждения элементов блока [см. (1-6)]

р_к  =  1 --0,02=0,98;      р_т= 1—0,01=0,99;  р_г  = 1 --0,001  =  0,999.

Найдем вероятность  того, что все элементы блока не повреждены, т. е. блок работает исправно. Так как аварийность каждого элемента можно считать независимой от других элементов, то вероятность того, что все три элемента не повреждены, т. е. вероятность работы блока |см. (1-4)

р_бл = р_кр_т р_г= 0,98-0,99.0,999= 0,9692298.

Повреждение блока по любой причине является событием, противоположным по отношению к неповреждению блока, поэтому вероятность повреждения блока

q_бл   = 1  — 0,9692298 = 0,0307702.

Можно определить эту же величину, если рассмотреть все частные случаи

(их может  быть только семь) повреждения  элементов блока: а) котла; б) турбины; в) генератора;    г) котла и турбины; д) котла и генератора; с) турбины и генератора; ж) котла, турбины и генератора.

Найдем вероятность  каждого из этих частных случаев повреждения блока, исходя из формул   (1-4) и (1-6):

а) вероятность повреждения котла,

0,02·0,99-0,999= 0,0197802.

Было бы неправильным считать, что вероятность повреждения только котла равно 0,02, так как в число событий «повреждение котла» бы события одновременного повреждения котла и других элементов,

В случае а) интерес представляет повреждение только котла при неповреждении других элементов. Именно поэтому 0,02 умножается на 0,99 и 0,999;

б) вероятность повреждения турбины

0,98-0,01.0,999=0,0097902.

Аналогично получим вероятности для остальных случаев:

в)0,98.0,99.0,001 =0,0009702;

г)    0,02.0,01.0,999 = 0,0001998;

д)     0.02.0,99.0,001 = 0.0000198;

    е) 0 ,98.0,01.0.001=0.0000098;

ж) 0,02.0.01 .0,001 =0,0000002.

Если сложить  вероятности для всех семи случаев, то получится вероятность повреждения блока, равная 0.0307702. Как видно, для определения вероятности повреждения блока первый путь гораздо проще и требует меньше расчетов. Зато второй путь позволяет не только получить величину общей вероятности повреждения блока, но и проанализировать вероятность различных причин повреждения всего блока. Наибольшее значение имеет вероятность повреждения котла, а затем—турбины. Вероятность этих двух случаев составляет 0,0295704 из общей вероятности 0,0307702.

       В энергетике широко применяют случайные величины со следующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее  нормальное, общее нормальное, биноминальное, по закону Пуассона. В литературе  для них даны формулы функций и плотности распределения вероятностей, а также формулы, определяющие вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.  Нормальное распределение, как простейшее, так и общее, используют при нахождении вероятностей ошибок прогнозирования нагрузки потребителей энергосистемы, отклонения нагрузки энергосистемы и отдельных ее узлов от средних значений, и т. п. Биноминальное распределение и распределение по закону Пуассона применяют при определении вероятностей различных значений аварийных снижений мощности в энергосистеме и аварийного выхода различного числа агрегатов в группе однотипных и т. д. Равномерное распределение служит основой метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), применяющегося при определении резерва мощности, отказа в срабатывании автоматики и т. п.

  Из-за отсутствия соответствующих статистических материалов не всегда можно задать таблицы распределения вероятностей для дискретных случайных величин или функции распределения и плотности распределения вероятностей для непрерывных случайных величин. Однако и не для всех практических задач требуется знать полные вероятностные характеристики случайной величины. Во многих случаях достаточно знать основные числовые характеристики случайных величин, к числу которых относятся математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и моменты случайной величины.            

Случайная величина может приобретать различные  значения, поэтому важно знать  ее среднее значение. Однако, если известна совокупность значений случайной величины, то простое среднее значение, определяемое как сумма возможных значений, разделенная на их число, еще не характеризует действительных условий. Ведь различные значения случайной величины могут иметь различные вероятности, и поэтому более вероятные значения будут чаще встречаться на практике и в большей мере определять истинное среднее значение случайной величины. Поэтому для оценки среднего (в вероятностном смысле) значения случайной величины вводится понятие математического ожидания, предъявляющего собой действительно среднее значение случайной величины, определяемое с учетом различных вероятностей отдельных значений. Математическое ожидание (в дальнейшем сокращенно м. о.) случайной величины η или α будем обозначать как М(η) или М(α).

Определим м. о. для случайной дискретной величины. Пусть заданы вероятности различных значений случайной дискретной величины: 

Значение η     x₁       x₂         x₃  

Вероятность   p₁       p₂         p₃ 

Примем, что общее  число испытаний составляет n , причем m₁ раз получалась величина x₁, m₂ раз и т. д. Тогда м. о., представляющее собой действительное среднее значение случайной величины,

                                                               (   1 -1 7 )  ,                                                                                                                                                                 

так как вероятности  р₁ = m₁ / n   , р₂= m₂/ n₁      и т. д.

Таким образом, для дискретной случайной величины 

,                          (1-18)

причем суммирование происходит по всем значениям дискретной величины x_к             имеющим вероятности    p_к .                                                                                               Аналогично для непрерывной случайной величины 

           (1-19)                                                                                       где φ (x) — плотность вероятности.      

                                СТАТИСТИКА в электроэнергетике 

Решение любых  задач с применением теории вероятностей в тех случаях, когда используется их статистическое определение, невозможно без получения соответствующего статистического материала, базирующегося на большом количестве опытов или наблюдений. При этом возникают задачи, связанные с правильной обработкой статистических материалов и приданием им формы, удобной для последующего применения методов теории вероятностей. Раздел теории вероятностей, занимающийся регистрацией, обработкой и анализом статистических материалов, называется математической статистикой. .

Рассмотрим вопрос о точности определения статистической вероятности какого-либо события  на основании опытов или наблюденийпо схеме независимых испытаний. Закон  больших чисел (теорема Бернулли) утверждает) [Л.2]: при неограниченном возрастании числа испытаний вероятность того, что разность между наблюденной относительной частотой некоторого события А (равной m/n, где n—число испытаний, а m—число появлений события) и истинной вероятностью события p будет меньше любого самого малого числа ε, стремится к единице, т. е. при достаточно большом числе испытаний вероятность ошибки в замене вероятности случайного события относительной частотой его появления стремится к нулю

где a и b   --   произвольные числа; р— истинная вероятность события; q = 1 – p.

Одно из следствий этой теоремы  записывается следующим образом:

поэтому (при  достаточно большом n)

(1-35)

где m/n— относительная частота появления события; ε—произвольное число; Φ(x) — интеграл вероятности [ Л.2 ] .

  Это дает возможность определить приближенно вероятность ошибки ε в оценке вероятности события р. При определении статистической вероятности какого-либо случайного события могут возникнуть три различных задачи, решение которых основывается на использовании формулы (1-35).

  Пусть, например, событием будет аварийный выход в часы вечернего максимума энергосистемы какого-либо агрегата. Тогда числом испытаний будет число дней наблюдения п, а числом появлений события—число дней, когда данный агрегат находится в период максимума в аварийном состоянии т. При этом возможны три задачи.

  Задача 1. Найти наименьшее число испытаний п, при котором разность относительной частоты m/n и вероятности события р не превышает заданной величины ε с заданной вероятностью β.

Согласно (1-35)                                

β=Φ[ε √n / (pq) ].

По таблицам интеграла вероятностей , используя  зависимость β = Φ(α), при заданном значении β определяем α

           _____

= ε√n /(pq)  и далее находим минимальное число испытаний;

n=(α² / ε²)рq.

Пример 3-12. Пусть q = 0,02; p = 0,98; β = 0,99; ε = 0.01. Найдем наименьшее число испытаний, при котором с вероятностью 0,98 разность относительной частоты и вероятности события не· превышает 0,01.

По таблицам интеграла вероятностей для Ф(а)==0,99 находим а=2,58. Тогда n = (2,58²./ 0,01²) * 0.02*0,98 = 1305.

Если требования к  значению  вероятности β понизить до β=0,95,то Φ (α) = =0,95; α = 1,96. При -атом n =  (1,96 ²  /0,01² ) * 0,98 * 0.02 =  753.

Наоборот, если  требования  к значению вероятности β повысить до 0,999, то Ф(а)==0,999; а=3,3. При этом

n = (3,3²/0,01²)*0,02*0,98=2134.

Задача 2. Найти вероятность β того, что отклонение относительной частоты события т / п от его вероятности ρ будет меньше заданного числа ε при заданном числе испытаний п. Согласно (1-35) искомая величина

                                                         ________

β = Ф[ ε√n / (pq) ],

поэтому сначала  определяют   α = ε√n /{pq), а затем по таблицам интеграла вероятности находят β = Φ(α). 

                          Свойства математического ожидания           

1) Математическое  ожидание постоянной величины  равно самой постоянной.