Применение производной

В данной работе я рассмотрю применения производной  в различных науках и отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл  и т. д.) 

1. Понятие производной 

1-1. Исторические сведения 

Дифференциальное  исчисление было создано Ньютоном и  Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании  касательной к произвольной линии

2) о разыскании  скорости при произвольном законе  движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли  Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.  

1-2. Понятие производной 

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу  x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=

1-3. Правила дифференцирования  и таблица производных 

2. Геометрический  смысл производной 

2-1. Касательная к  кривой 

Пусть имеем  кривую и на ней фиксированную  точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. 

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x₀, y₀). Введем новый аргумент x₀ + ∆x, его значению соответствует значение функции  y₀ + ∆y = f(x₀ + ∆x). Соответствующая точка - N(x₀ + ∆x, y₀ + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). 

Касательная к  пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y. 

2-2. Касательная плоскость  к поверхности 

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x₀, y₀, z₀) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).

Подставим в  уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

Уравнения касательной  к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x - x₀, y - y₀, z - z₀ пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

F'_x(x - x₀) + F'_y(y - y₀) + F'_z(z - z₀)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z - z₀ = F'_x(x - x₀) + F'_y(y - y₀)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида

Решение:

Z'_x = x / a = 2; Z'_y = -y / a = -1

Уравнение искомой  плоскости:

Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a 

3. Использование производной  в физике 

3-1. Скорость материальной  точки 

Пусть зависимость  пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t₀ -некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t - t₀ и вычислим приращение пути: ∆s = f(t₀ + ∆t) - f(t₀). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за время ∆t, протекшее от исходного момента t₀. Скоростью называют предел этого отношения при ∆t → 0. 

Среднее ускорение  неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) - это величина <a>=∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

То есть первая производная по времени (v'(t)). 

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct² +Dt³ (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с²). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с². 

Решение:

v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt²;    a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;

1,8 =  0,18t;    t = 10 c 

3-2. Теплоемкость вещества  при данной температуре 

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T₁ - T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q₁ - Q, причем отношение

для данного  вещества не является постоянным. Таким  образом, для данного вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q = f(T). Тогда ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Отношение

называется средней  теплоемкостью на отрезке [T; T + ΔT], а предел этого выражения при ∆T → 0 называется теплоемкостью данного вещества при температуре T. 

3-3. Мощность 

Изменение механического  движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы  количественно характеризовать  процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: . 

4. Дифференциальное исчисление в экономике 

4-1. Исследование функций 

Дифференциальное  исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

По теореме  Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция  f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если производная f '(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с + на -, то x₀ - точка максимума, если с - на +, то x₀ - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция  f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, причем f '(x₀) = 0, f ''(x₀) ≠ 0, то в точке x₀ функция f(x₀) имеет максимум, если f ''(x₀) < 0 и минимум, если f ''(x₀) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной). 

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:

π(q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10

Решение:

π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q_extr = 4

При q < q_extr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q_extr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет  оптимальный объем выпуска для  фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей. 

4-2. Эластичность спроса 

Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют предел

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E_D - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если │E_D│>1, то спрос называется эластичным, если │E_D│<1, то неэластичным. В случае E_D=0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию. 

4-3. Предельный анализ 

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных)

В экономике  часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление. 

5. Производная в  приближенных вычислениях 

5-1. Интерполяция 

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность. 

Пусть K_n - система узловых точек a = x₀ < x₁ <…< x_n = b. Функция S_k(x) называется сплайн-функцией S_k(x) степени k≥0 на K_n, если

а) S_k(x) є C^k-1([a, b])

б) S_k(x) - многочлен степени не большей k 

Сплайн-функция  Ŝ_k(x) є S_k(K_n) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝ_k(x_j) = f(x_j) для j = 0,1,…,n 

В приложениях  часто бывает достаточно выбрать  k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.

Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [x_j-1 ,x_j]

Здесь s²_j, c_j1, c_j0 неизвестны для j = 1, 2, …, n

Последние исключаются  в силу требования s(x_j) = y_j:

Дифференцируя эту функцию и  учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:

относительно  n+1 неизвестных s²₀, s²₁,…, s²_n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения: 

Нормальный  случай(N):

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(x_n-x₀))=f(x)):

Заданное  сглаживание на границах:

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.

Сплайн-функция  получается такая: 

5-2. Формула Тейлора 

Разложение функций  в бесконечные ряды позволяет  получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах 

Говорят, что  функция разлагается на данном  промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд  a₀ + a₁(x - a) + a₂(x - a)² + … + a_n(x - a)ⁿ + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно:

Пусть функция  f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.  

С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций:

5-3. Приближенные вычисления 

Часто бывает, что  функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654

Решение: , x₀=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:

С помощью этой формулы можно получить несколько  удобных формул для приближенных вычислений:

Заключение 

Применение производной  довольно широко и его сложно полностью  охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.  

Литература