Природные системы на грани хаоса и порядка

Содержание

Введение          3

Глава 1. Этимология понятия «хаос».  
Соотношение порядка и беспорядка в природе      4

1. Хаос как основа порядка        4
2. Естественные процессы       5
3. Хаос и порядок         7
4. Понятие структуры        8

Глава 2. Хаос и мифы        12

Глава 3. Хаос и его проявления.       12

Глава 4. Причины хаоса        18

Глава 5. Роль энтропии как меры хаоса     19

Заключение           21

Список используемой литературы      24

Введение

Наш мир, всё, что доступно в нём  наблюдению претерпевают непрерывные  изменения – мы наблюдаем его  непрекращающуюся эволюцию. Все подобные изменения происходят за счёт сил  внутреннего взаимодействия, во всяком случае, никаких внешних по отношению  к нему сил мы не наблюдаем. Согласно принципу Бора, существующим мы имеем  право считать лишь то, что наблюдаемо или может быть сделано таковым. Следовательно, подобных сил не существует. Таким образом, всё, что происходит вокруг нас, мы можем считать процессом  самоорганизации, то есть процессом, идущим за счёт внутренних стимулов, не требующих  вмешательства внешних факторов, не принадлежащих системе. К числу  таких процессов относится также  и становление и действие Разума, ибо он родился в системе в  результате её эволюции.

Природа – сложная система, для  которой характерны неравновесные  состояния. Человек должен всячески стремиться обеспечить совместную эволюцию природы и общества.

Итак, весь процесс эволюции системы  – процесс самоорганизации. Мир  всё время меняется. Мы не можем  утверждать, что процесс самоорганизации  направлен на достижение состояния  равновесия (под которым понимается абсолютный хаос), у нас нет для  этого опытных оснований, гораздо  больше данных для утверждения обратного - мир непрерывно развивается, и в  этом изменении просматривается  определённая направленность, отличная от стремления к равновесию.

В процессе самоорганизации происходит непрерывное разрушение старых и  возникновение новых структур, новых  форм организации материи, обладающих новыми свойствами. Причём это качественно  не те же самые образования, отличающиеся только геометрическими размерами, формой или другими физическими  особенностями. Во Вселенной возникают  уникальные образования, непрерывно возникают  новые перестройки (бифурикации), в  результате которых рождаются качественно  новые структуры, не имевшие до сих  пор аналогов. Они обладаю новыми неповторимыми свойствами. А как  эти свойства связаны со свойствами исходных элементов, из которых составлены системы? Это очень глубокий вопрос, который имеет как философское, так и практическое значение.

1. Этимология понятия «хаос». Соотношение порядка и беспорядка в природе.

Хаос, понятие окончательно оформившееся в древнегреческой  философии - это трагический образ  космического первоединства, начало и  конец всего, вечная смерть всего  живого и одновременно принцип и  источник всякого развития, он неупорядочен, всемогущ и безлик.

1.1 Хаос как основа порядка

Рассмотрим кинетическую энергию совокупности частиц. Если вдруг окажется, что все частицы  движутся в одном и том же направлении  с одинаковыми скоростями, то вся  система, подобно теннисному мячу, будет  находится в состоянии полета. Система ведет себя в этом случае аналогично одной массивной частице, и к ней применимы обычные  законы динамики, такое движение называется движением центра масс.

Существует, однако, и другой вид движения. Можно представить  себе, что частицы системы движутся не упорядоченно, а хаотически: полная энергия системы может быть той  же самой, что и в первом случае, но теперь отсутствует результирующее движение, поскольку направления  и скорости движения атомов беспорядочны. Если бы мы могли проследить за какой-либо отдельной частицей, то увидели бы, что она проходит небольшое расстояние вправо, затем, соударяясь с соседней частицей, смещается немного влево, снова соударяется и т. д. Основная черта этого вида движения состоит  в отсутствии корреляции между движениями различных частиц; иными словами, их движения некогерентны (неупорядочены).

Описанное случайное, хаотическое, некоррелированное, некогерентное, неупорядоченное  движение называется тепловым движением. Очевидно, понятие теплового движения неприменимо к отдельной частице, поскольку бессмысленно говорить о  некоррелированном движении одной  частицы. Иными словами, когда мы переходим от рассмотрения движения отдельной частицы к системам многих частиц и при этом возникает  вопрос о наличии корреляций в  их движениях, мы по существу переходим  от обычной динамики в новую область  физики, которая называется термодинамикой.

Итак, существует два вида движения частиц в сложных системах: движение может быть когерентным (упорядоченным), когда все частицы движутся согласованно (“в ногу”), или, напротив, неупорядоченным, когда все частицы движутся хаотически.

1.2 Естественные процессы

Естественное стремление энергии к рассеянию определяет и направление, в котором происходят физические процессы в природе. Под  этим понимается рассеяние энергии  в пространстве, рассеяние частиц, обладающих энергией, и потеря упорядоченности, свойственное движению этих частиц. Первое начало термодинамики в принципе не отрицает возможности событий, казалось бы противоречащих здравому смыслу и  повседневному опыту: например, мяч  мог бы начать подскакивать за счет своего охлаждения, пружина могла  бы самопроизвольно сжаться, а кусок  железа мог бы самопроизвольно стать  более горячим, чем окружающее пространство. Все эти явления не нарушили бы закона сохранения энергии. Однако в  действительности ни одно из них не происходит, поскольку нужная для этого энергия, хотя и имеется в наличии, но недоступна. Если не принимать всерьез существующий  в принципе, но чрезвычайно небольшой шанс, можно смело утверждать, что энергия никогда не может сама по себе локализоваться, собравшись в избытке в какой-либо небольшой части Вселенной. Однако, если бы даже произошло, еще менее вероятно, что подобная локализация была бы упорядоченной.

Естественные процессы - это всегда процессы, сопровождающие рассеяние, диссипацию энергии. Отсюда становится ясным, почему горячий объект охлаждается до температуры окружающей среды, почему упорядоченное движение уступает место неупорядоченному и, в частности, почему механическое движение вследствие трения полностью переходит  в тепловое. Столь же просто осознать, что любые проявления асимметрии, так или иначе сводятся к рассеянию  энергии. Проявление любых диспропорций в организационной структуре  объекта приводит к образованию  асимметрии как по отношению к  окружающей среде, так и для самой  структуры в частности, это может    привести к увеличению потенциальной  энергии или, при большом скоплении  этой энергии, к распаду системы, как противоречащей законам природы (общества).

Организация создается из хаоса (общества) одним или несколькими  возбужденными атомами (предпринимателями) и в хаос проваливается при  ликвидации. Естественные, самопроизвольно происходящие процессы - это переход от порядка к хаосу.

Поставим теперь следующий  вопрос: сколькими способами можно  произвести перестройку внутри системы, так чтобы внешний наблюдатель  не заметил ее. Отметим, что в формулировке вопроса учтено то существенное, что  характеризует переход от мира атомов к макроскопической системе, а именно “слепота” внешнего наблюдателя  по отношению к “индивидуальностям”  атомов, образующих систему. Термодинамика  имеет дело только с усредненным  поведением огромных совокупностей  атомов, причем поведение каждого  отдельного атома не играет роли. Если внешний наблюдатель, изучающий  термодинамику, не заметил, что в  системе произошло изменение, то состояние системы считается  неизменным. лишь “педантичный” наблюдатель , тщательно следящий за поведением каждого атома, будет знать, что  изменение все-таки произошло.

Сделаем теперь последний  шаг на пути к полному определению  хаоса. Предположим, что частицы  вселенной не закреплены и могут, подобно состоянию возбуждения  и энергии, свободно перемещаться с  места на место; например, такое могло  бы случиться, если бы Вселенная была газом. Предположим также, что мы создали начальное состояние  вселенной, пустив струю газа в правый нижний угол сосуда. Интуитивно мы понимаем, что произойдет: облако частиц начнет самопроизвольно распространяться и через некоторое время заполнит весь сосуд.

Такое поведение вселенной  можно трактовать как установление хаоса. Газ — это облако случайно движущихся частиц (само название “газ”  происходит от того же корня, что и  “хаос”). Частицы мчатся во всех направлениях, сталкиваясь и отталкиваясь друг от друга после каждого столкновения. Движения и столкновения приводят к  быстрому рассеиванию облака, так  что вскоре оно равномерно распределяется по всему доступному пространству. Теперь существует лишь ничтожно малый  шанс, что все частицы газа когда-нибудь спонтанно и одновременно вновь  соберутся в угол сосуда, создав первоначальную конфигурацию. Разумеется, их можно собрать в угол с помощью  поршня, но это означает совершение работы, следовательно, процесс возврата частиц в исходное состояние не будет  самопроизвольным.

Ясно, что наблюдаемые  изменения объясняются склонностью  энергии к рассеянию. Действительно, теперь состояние возбуждения атомов оказалось физически рассеянным в пространстве вследствие спонтанного рассеяния атомов по объему сосуда. Каждый атом обладает кинетической энергией, и потому распространение атомов по сосуду приводит и к распространению энергии.

1.3 Хаос и порядок

В химии, как и в физике, все естественные изменения вызваны  бесцельной “деятельностью” хаоса. Мы познакомились с двумя важнейшими достижениями Больцмана: он установил, каким образом хаос  определяет направление изменений и как  он устанавливает скорость этих изменений. Мы убедились также в том, что  именно непреднамеренная и бесцельная деятельность хаоса переводит мир  в состояния, характеризующиеся  все большей вероятностью. На этой основе можно объяснить не только простые физические изменения (скажем, охлаждение куска металла), но и сложные  изменения, происходящие при превращениях вещества. Но вместе с тем мы обнаружили, что хаос может приводить к  порядку. Если дело касается физических изменений, то под этим понимается совершение работы, в результате которой в  свою очередь могут возникать  сложные структуры, иногда огромного  масштаба. При химических изменениях порядок также рождается из хаоса; в этом случае, однако, под порядком понимается такое расположение атомов, которое осуществляется на микроскопическом уровне. Но при любом масштабе порядок  может возникать за счет хаоса; точнее говоря, он создается локально за счет возникновения неупорядоченности  где-то в ином месте. Таковы причины  и движущие силы происходящих в природе  изменений.

1.4 Понятие структуры

Каждый из нас в общих  чертах знает, что такое структура ; как правило, это определенное расположение, конфигурация частиц — атомов, молекул  или ионов. Так, вполне определенную структуру представляет собой кристалл. Он отличается от газа, от жидкости и  от куска масла, так как во всех этих веществах взаимное расположение частиц не является строго определенным, фиксированным. Но имея дело с кристаллом, мы можем быть уверены, что обнаружим  частицы на строго определенном расстоянии друг от друга. В бесструктурных состояниях вещества — в газах, жидкостях  и аморфных твердых телах —  относительные расположения частиц совершенно неопределены.

Обобщая эти предварительные  наблюдения (в дальнейшем мы будем  иметь дело с более сложными примерами), нетрудно заметить, что частицы в  кристаллических твердых телах  расположены упорядочено (или, как  иногда говорят, обладают пространственной когерентностью); иными словами, расположение частиц взаимно коррелированно. В  противоположность этому в газах (и в меньшей степени в жидкостях) подобная пространственная упорядоченность  практически отсутствует: расположения частиц не обладают взаимной корреляцией. Таким образом, можно сказать, что  понятие структуры равнозначно  понятию упорядоченности, когерентности, когда частицы организованы в  строго определенные конфигурации; напротив, отсутствие структуры означает и  отсутствие упорядоченности, когда  расположения частиц вполне случайны. В такое понимание связи структуры  и порядка хорошо вписываются  как твердое тело, обладающее структурой, так и бесструктурные газы.

Такое предварительное определение  структуры через описание вещества, состоящего из частиц с упорядоченным  расположением, можно уточнить с  тем, чтобы дать более адекватное описание природы жидкого состояния. При изменении расположения частиц в жидкостях одним из методов  рентгеноструктурного анализа, столь  широко используемых ныне для исследования строения твердых тел, обнаруживается вполне определенное локальное расположение частиц. Однако чем дальше мы отходим  от данной частицы, тем все с меньшей  уверенностью можем ожидать, что  действительно обнаружим следующую  частицу там, где ей следовало  бы находиться согласно установленному локальному порядку. Иными словами, с удалением друг от друга частицы становятся все более независимыми, а их расположение - неуправляемым (т.е. взаимная корреляция частиц ослабляется). Короче говоря, твердые тела обладают дальним порядком; им присуща глобальная структура или крупномасштабная когерентность — в том смысле, что расположения частиц вполне предсказуемы на больших расстояниях (например, вплоть до границ кристалла). Газы практически полностью лишены подобной глобальной структуры (они не имеют даже границы своего положения); в расположении их частиц отсутствует когерентность даже на самых малых расстояниях. Жидкости, как подсказывает нам интуиция, занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами. Они обладают лишь локальной структурой и лишены структуры глобальной; на малых расстояниях (порядка нескольких соседних молекул) расположения частиц сохраняют упорядоченность, полностью теряя ее на больших расстояниях. Существуют различные виды жидкостей с большей или меньшей степенью упорядоченности. Например, жидкие кристаллы обладают дальним порядком по некоторым направлениям, тогда как по другим он полностью отсутствует. Можно сказать, что такие анизотропные вещества по одним направлениям являются твердыми телами, а по другим - жидкостями. Подобная анизотропия служит причиной необычных оптических свойств этих веществ, позволяющих использовать их в качестве материала для дисплеев ЭВМ, микрокалькуляторов, наручных часов и т. д.

Уточним теперь наше предварительное  определение структуры и расширим область его применимости. Здесь  и далее мы будем рассматривать  понятия структуры и упорядоченности  как синонимы (лат. structura означает строение, расположение, порядок). Везде и всегда, если только устанавливается состояние  упорядоченности, мы будем рассматривать  это как возникновение структуры. Более того, будем считать, что  упорядоченность — это не только наличие корреляции в пространстве, как в обычных физических объектах; она может также проявляться  — и это имеет принципиальное значение — как корреляция во времени (в последнем случае термин “когерентность”  употребляется в своем буквальном смысле).

Обобщив таким образом  наши рассуждения, посмотрим, какие  объекты подходят под новую классификацию. Очевидно, что сюда безоговорочно  относится давно знакомое нам  твердое тело; обнаруживаются, однако, и “новички”. Один из них представляет собой структуру такого типа, которая  сохраняется только при условии  рассеяния энергии. Подобные структуры  называют диссипативными; к ним, в частности, относятся живые организмы, в том числе человек.

Диссипативные структуры  — это структуры, образующиеся в  результате рассеяния (диссипации) энергии. К ним относятся некоторые  недолговечные структуры, которые  распадаются, как только прекращается поток энергии или вещества. Некоторые  из таких структур являются по своей  природе биологическими, другие - физическими; все они возникают из хаоса - “праха”  и вновь обращаются в “прах”. Одной из первых описанных структур подобного вида была ячеистая структура, образующаяся в жидкости при наличии  конвекции между двумя горизонтальными  плоскостями, нижняя из них нагрета  сильнее, чем верхняя. Пока разность двух плоскостей мала, движущиеся частицы  жидкости распределены хаотично. Однако, когда разность температур становится достаточно большой, возникает неустойчивость Бенара, и жидкость обнаруживает структуру.

Итак, мы убеждаемся в том, что последовательность отдельных  процессов, в каждом из которых энтропия лишь возрастает (т.е. хаос во Вселенной  при этом увеличивается), может приводить  и к возникновению структур высокой  степени сложности. Поэтому замечая  какой-либо объект, обладающий сложной  внутренней структурой, мы не должны сразу  же  делать вывод о том, что  этот объект является воплощением целенаправленного  замысла. Он мог возникнуть естественно  в результате последовательности процессов, каждый из которых сам по себе не представляет никакой конкретной цели (разводы на мерзлом стекле), а  происходит в естественном направлении, по мере того как Вселенная погружается  в хаос. Все это резюмируется в  известном рассуждении Пэли о  часах. Если вы нашли часы, говорит  Пэли, то сложность их механизма  не оставляет вас сомнений в том, что часы были кем-то сконструированы, то есть по крайней мере когда-то должен был существовать их конструктор. Далее, рассуждает Пэли, поскольку окружающий нас мир в целом устроен  значительно сложнее часов, то космический  путешественник, посетивший наш мир, не усомнился бы в том, что этот мир был “спроектирован” и  что (по крайней мере когда-то) существовал  его “создатель”. Однако это рассуждение  Пэли ошибочно. Если нам попадается кролик, у нас нет необходимости  рассматривать его как результат  некоего “проекта”. Этот кролик (как  и его собратья) возник как “промежуточный продукт” на долгом пути, которым Вселенная  движется к своему вырождению и ухудшению  качества энергии. Кролики, как цветки примулы, поросята или даже мы, люди, — всего лишь элементы гигантской сети взаимосвязей, имеющей поистине космические масштабы. Именно благодаря таким локальным нарушениям общей тенденции к деградации энергии становится возможным возникновение временных упорядоченных структур — хотя деградация неуклонно влечет Вселенную к состоянию полного равновесия.

Существует множество  способов убедиться в том, что  разветвленная система (сеть) взаимозависимых  простых процессов может привести к возникновению сложной структуры  и тем самым ввести в заблуждение  “стороннего наблюдателя”, побуждая его предположить существование  определенного замысла и “творца”.

В мире нет ничего более  удивительного, чем сознание, разум  человека; тем большее удивление  вызывает то, что в своей глубинной  основе оно обусловленно весьма простыми явлениями.  

В процессе “разматывания” клубка событий локально возникают  различные структуры, и хотя все  они преходящи, некоторые из них  способны существовать миллионы лет.

2. Хаос и мифы.

Во всех культурах всегда существовал креативный взгляд на становление. Он представлялся, говоря современным  системным языком, креативной триадой: Способ действия + Предмет действия = Результат действия, и закреплен  в самих глагольных структурах языка; в корнях двуполой асимметрии человека как биологического вида; в образах  божественного семейства древних  религий : Озирис - Изида - Гор (Египет); " Тот, кто создает безостановочно миры - троичен. Он есть Брама- Отец; он есть Майя- Мать ; он есть Вишу- Сын; Сущность, Субстанция и Жизнь. Каждый заключает  в себе двух остальных и все  три составляют одно в Неизреченном. " (Упанишады). В космогонических  мифах и философиях -- ТЕОС ( ЛОГОС) + ХАОС = КОСМОС ( Платон, Аристотель, Плотин), Пуруша(дух) + Пракрити(материя) = Браман (проявленная Вселенная) (Веды). Возникновение  реальности как одухотворение материи, отсюда и творчество как вдохновение, и душа в христианстве как сплетение  и борьба духовных и телесных (материальных) начал в человеке.

Ветхозаветное начало творения: "Земля была безвидна и Дух  летал над Водами" . . . - и здесь  из вод первозданного Хаоса родится  определенность земной тверди нашего Мира. И это не случайно, только так  естественным образом можно описать  процесс возникновения чего либо вообще, когда следствие порождено  причиной, в свою очередь состоящей  из двух начал  - активного и пассивного, имманентного любому действию.

Родоначальником всего живого и божественного в египетской религии считается бог Атум. Согласно легенде, он также появился из хаоса.

3.Хаос и его проявления.

Хаотические эффекты, нарушавшие стройную картину классической физики с первых дней становления теории, в XVII в воспринимались как досадные недоразумения. Кеплер отмечал нерегулярности в движении Луны вокруг Земли. Ньютон, по словам своего издателя Роджера  Котеса, принадлежал к тем исследователям, которые силы природы и простейшие законы их действия "выводят аналитически из каких-либо избранных явлений  и затем синтетически получают законы остальных явлений". Но закон —  однозначное и точное соответствие между рассматриваемыми явлениями, он должен исключать неопределенность и хаотичность Отсутствие однозначности в науке Нового времени рассматривалось как свидетельство слабости и ненаучного подхода к явлениям Постепенно из науки изгонялось все, что нельзя формализовать, чему нельзя придать однозначный характер Так пришли к механической картине мира и "лапласовскому детерминизму"

Необратимость процессов  нарушила универсальный характер механических законов. По мере накопления фактов менялись представления, и тогда Клаузиус ввел "принцип элементарного беспорядка" Поскольку проследить за движением  каждой молекулы газа невозможно, следует  признать ограниченность своих возможностей и согласиться, что закономерности, наблюдаемые в поведении массы  газа как целого, есть результат  хаотического движения составляющих его  молекул. Беспорядок при этом понимается как независимость координат  и скоростей отдельных частиц друг от друга при равновесном  состоянии. Более четко эту идею высказал Больцман и положил ее в  основу своей молекулярно-кинетической теории. Максвелл указал на принципиальное отличие механики отдельной частицы от механики большой совокупности частиц, подчеркнув что большие системы характеризуются параметрами (давление, температура и др ), не применимыми к от дельной частице. Так он положил начало новой науке — статистической механике Идея элементарного беспорядка, или хаоса устранила противоречие между механикой и термодинамикой На основе статистического подхода удалось совместить обратимость отдельных механических явлений (движений отдельных молекул) и необратимый характер движения их совокупности (рост энтропии в замкнутой системе).

В дальнейшем оказалось, что  идеи хаоса характерны не только для  явлений тепловых, а более фундаментальны. При изучении теплового излучения  возникли противоречия: электромагнитная теория Фарадея — Максвелла описывала  обратимые процессы, но процессы обмена световой энергией между телами, находящимися при разных температурах, ведут к  выравниванию температур, т е. должны рассматриваться как необратимые. Планк ввел гипотезу "естественного  излучения", соответствующую гипотезе молекулярного беспорядка, смысл  которой можно сформулировать так: отдельные электромагнитные волны, из которых состоит тепловое излучение, ведут себя независимо и "являются полностью некогерентными". Эта  гипотеза привела к представлению  о квантовом характере излучения, которое обосновывалось с помощью  теории вероятностей Хаотичность излучения  оказалась связанной с его  дискретностью Квантовый подход позволил Планку и Эйнштейну объяснить ряд законов и явлений (закон Стефана — Больцмана, закон смещения Вина, законы фотоэффекта и др.), которые не находили объяснения в классической электродинамике(Отступления Луны от траекторий, рассчитанных по законам ньютоновской механики, американский астроном Джордж Хилл в конце прошлого века объяснил притяжением Солнца. Пуанкаре предположил, что вблизи каждого тела есть некоторые малозаметные факторы и явления, которые могут вызвать нерегулярности. Поведение даже простой системы существенно зависит от начальных условий, так что не все можно предсказать. Решая задачу трех тел, Пуанкаре обнаружил существование фазовых траекторий, которые вели себя запутанно и сложно, образуя "нечто, вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь много, бесконечно много раз петли сети". В начале века на эту работу особого внимания не обратили

Примерно в это же время  Планк начал изучать другую хаотичность  классической науки и нашел выход  в введении кванта, который должен был примирить прежние и новые  представления, но ни самом деле сокрушил классическую физику. В строении атомов долгое время видели аналогию Солнечной  системы. Интерес к невозможности  однозначных предсказаний возник в  связи с появлением принципиально  иных статистических законов движения микрообъектов, составляющих квантовую  механику. В силу соотношений неопределенности Гейзенберга необходимо сразу учитывать, что Moryi реализовываться не точные значения координат и импульсов, а не которая конечная область состояний Ар и Aq, внутри которой лежа1 начальные координаты Яд и импульсы pp. При этом внутри выделенной области они распределены по вероятностному закону По мере эволюции системы увеличивается и область ее состояний Лр и Aq. На небольших временных интервалах неопределенность состояния будет нарастать медленно, и движение системы будет устойчивым. Для таких систем классическая механика плодотворна.

В 60-е годы 6ыло установлено, что и в простых динамических системах, которые считались со времен Ньютона и Лапласа подчиняющимися определенным и однозначным законам  механики, возможны случайные явления, от которых нельзя избавиться путем уточнения начальных условий и исчерпывающим описанием воздействий на систему. Такие движения возникают в простых динамических системах с небольшим числом степеней свободы — нелинейных колебательных системах как механических, так и электрических. Пример такого неустойчивого движения — шарик в двух ямах, разделенных барьером (рис 1). При неподвижной подставке шарик имеет два положения равновесия. При колебаниях подставки он может начать

б

Рис. 1. Пример хаотического движения:

а — шарик в потенциальных  ямах; б — шарик на плоскости  со стенками (биллиард Синая)

перепрыгивать из одной ямы  в другую после совершения колебаний  в одной из ям. Периодические колебания  с определенной частотой вызывают колебания  с широким спектром частот

Кроме того, на систему могут  действовать и некоторые случайные  силы, которые даже при самой малой  величине за длительное время действия приведут к непредсказуемым результатам. Такие системы чувствительны  не только к начальным значениям  параметров, но и к изменениям положений  и скоростей в разных точках траектории. Получается парадокс: система подчиняется  однозначным динамическим законам, и совершает непредсказуемые  движения. Решения динамической задачи реализуются, если они устойчивы. Например, нельзя видеть сколь угодно долго  стоящий на острие карандаш или монету, стоящую на ребре. Но тогда задача из динамических переходит в статистическую, т е. следует задать начальные  условия статистическим распределением и следить за его эволюцией. Эти  случайные явления получили название хаосов

Рис. 2 Фазовое пространство.

Эволюцию динамических систем во времени оказалось удобным  анализировать с помощью фазового пространства — абстрактного пространства с числом измерений, равным числу переменных, характеризующих состояние системы Примером может служить пространство, имеющее в качестве своих координат координаты и скорости всех частиц системы Для линейного гармонического осциллятора (одна степень свободы) размерность фазового пространства равна двум (координата и скорость колеблющейся частицы) Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению координаты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, движется по фазовой траектории (рис. 2) Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеблется без затухания, представляют собой эллипсы

В случае затухания фазовые  траектории при любых начальных  значениях оканчиваются в одной  точке, которая соответствует покою  в положении равновесия. Эта точка, или аттрактор, как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории (англ to attract "притягивать") и является обобщением понятия равновесия, состояние, которое притягивает системы Маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается На диаграмме его состоянии (фазовой диаграмме) по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость изменения этого угла Получается фазовый портрет в виде точки, движущейся вокруг начала отсчета Начало отсчета и будет аттрактором, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение маятника по фазовой диаграмме В таком простом аттракторе нет ничего странного. В более сложных движениях, например, маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подкачивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний. Если запустить часы энергичным толчком маятника, он замедлится до темпа, который обусловлен весом груза, после чего характер его движения останется неизменным Если толчок будет слабым, маятник, замедляясь, вскоре остановится Ситуации с сильным начальным толчком на фазовой диаграмме соответствует спираль, обвивающаяся все более плотно вокруг круговой орбиты, аттрактор будет в данном случае окружностью, т е объектом не более странным, чем точка Разным маятникам соответствуют аттракторы, которые называют предельными циклами Все фазовые траектории, соответствующие разным начальным условиям, выходят на периодическую траекторию, которая отвечает установившемуся движению если начальные отклонения были малыми, они возрастут, а, если амплитуды были большими, то уменьшатся. Биение сердца тоже изображается предельным циклом — установившимся режимом.