Разложение на множители

Кубанский Государственный университет 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат 

Тема: “Разработка фрагмента методики обучения по теме:

«Разложение на множители»” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                         Выполнила студентка

                                                                                   4 курса 43 группы

                                                                                            Факультета математики 

                                                                                           и компьютерных наук

                                                                           Бойко Юлия

                                                                                Преподаватель:

                                                                            Макаровская 

                                                                                          Татьяна Грегорьевна 
 
 
 
 
 

Краснодар 2010 год

Содержание 

  1. Характеристика  фрагмента методики обучения по теме:

       “Разложение на множители” 

  1. Теория
 
  1. Практика
 
  1. Задачи 
 
  1. Более сложные  задачи
 
  1. Заключение
 
  1. Список  использованой литературы
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---  

Тема : Разложение на множители 

Цель:  

- формировать  умение рефлексировать, анализировать, планировать свою деятельность   через применение известных правил и формул; 

- реализовывать знания и умения для выполнения заданий повышенной сложности; 

- воспитывать  интерес к предмету. 

Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний, урок – практикум 

Методы  обучения: наглядный, частично – поисковый, практический 

Формы организации: коллективная, групповая, индивидуальная 

План  фрагмента методики обучения:

  1. Теория
  2. Практика
  3. Задачи
  4. Более сложные задания
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.ТЕОРИЯ 

Разложение  многочлена на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов 

 Проведем  классификацию данных многочленов  по способу разложения на множдители: 

Метод разложения на множители: 

  1. Вынесение общего множителя за скобки
  2. С помощью формул сокращенного умножения
  3. Способ группировки
 
 
 

Вынесение общего множителя  за скобки 

Из каждого  слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим  множителем может быть не только одночлен, но и многочлен. 

Применение  формул сокращенного умножения 

Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая  обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

а2 + 2аb + b2 = (а + b)2

а2 - 2аb + b2  = (а - b)2

а2 - b2  = (а – b)(а + b)

а3 + b3 = (а + b)(а2 - аb + b2)

а3 - b3 = (а - b)(а2 + аb + b2) 

Способ  группировки 

 

Бывает, что члены  многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Чтобы разложить  многочлен на множители способом группировки, нужно:

  1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель
  2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки
  3. Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки.
 
 
 

Провести  классификацию данных многочленов по способу  разложения на множители.

   

                                                                                                 

20х3у2 + 4х2у                                      15а3b + 3а2b3

а4 –b8                                                  а2 + аb – 5а - 5b

2bх – 3ау - 6bу + ах                         2аn - 5bm - 10bn + аm

27b3 +а6                                             3а2 + 3аb – 7а - 7b

Х2 + 6х + 9                                        49m4 – 25п2

b(а +5) – с(а + 5)                             2у(х – 5) + х(х – 5) 
 

ОТВЕТЫ:

Вынесение общего множителя за скобки:множителя за скобки 

20х3у2 +4х2у                  

b(а +5) - с(а +5)            

15а3b +3а2b3                 

2у(х – 5) +х(х – 5)           

Формулы сокращенного умножения: 

а4 – b8                              

27b3 + а6                       

х2 + 6х + 9                      

49m4 - 25n2            

Способ группировки: 

2bх -3ау -6bу + ах

а2 + аb – 5а -5b

2аn -5bm -10bn + аm

3а2 +3аb -7а -7b

Метод выделения полного  квадрата 

    Многочлен дополняется  путем прибавления к нему некоторого слагаемого. Чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое. 

    Пример: x2-10x+24=                       Приемы:

              = (x2-10x+25)-25+24 =                    - дополним многочлен слагаемым 25 и отнимем его;

    = (x-5)2-1 =                                      - выделим полный квадрат;

              = (x-5-1)(x-5+1) = (x-6)(x-4)          - применили формулу сокращенного умножения. 
               
               

Комбинация различных приемов при разложении многочленов на множители 

Пример 1: 5x2-45                                          Приемы:

Решение: 5x2-45 = 5(x2-9) =                        - вынесение общего множителя;

                             = 5(x-3)(x+3)                   - использование формул                              сокращенного умножения. 
 

Пример 2: y3-3y2+6y-8           

Решение: y3-3y2+6y-8 =                      Приемы:

= (y3-8)-(3y2-6y) =                                - группировка;

= (y-2)(y2+2y+4)-3y(y-2) =                  - формула сокращенного умножения;

= (y-2)(y2+2y+4-3y) =                          - вынесение общего множителя за скобки

= (y-2)(y2-y+4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.ПРАКТИКА 

Вынесение общего множителя за скобки

Пример:

3а  + 12b = 3(а + 4 b)

2у(х  - 5) + х(х – 5) = (х  – 5)(2у + х) 

С помощью формул сокращенного умножения

Пример:

4х2 + 12ху + 9у2 = (2х  + 3у)2

125а3  – 64х3 = (5а –  4х)(25а2 + 20ах + 16х2)

49х4у6 - 0,01а2 = (7х2у3  – 0,1а) (7х2у3 + 0,1а) 

Способ группировки

Пример:

3а2 +3аb – 7а - 7b = (3а2 + 3аb) – (7а + 7b) = 3а(а + b) – 7(а + b) = (а + b)(3а – 7)  
 

Порядок разложения многочлена на множители 
 

  • Вынести общий  множитель за скобку (если он есть)
 
  • Попробовать разложить многочлен на множители  по формулам сокращенного умножения
 
  • Попытаться  применить способ группировки 

          (если предыдущие способы не привели к цели) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.ЗАДАЧИ 

  1. Задания первого  уровня
 
  1. Задания второго  уровня
 
  1. Задания третьего уровня
 
 

    Задания первого уровня

    Закончите разложение на множители:

  1. 7а2 – 28=7(а2 – 4)=
  2. - 2b2 + 18= -2(b2  - 9)=
  3. 3а2 + 6а + 3= 3(а2 +2а +1)=
  4. - х2 +4х - 4= - (х2 - 4х +4)=
  5. с2 - b2 + 8с +8b =(с2 - b2) + (8с+8b)=(с – b)(с + b) +8(с + b)=
  6. х2 – у2 – 3х – 3у=(х2 – у2) – (3х +3у)=
 

    Ответы:

  1. 7(а – 2)(а +2)
  2. - 2(b – 3)(b + 3)
  3. 3(а +1)2
  4. - (х – 2)2
  5. (с + b)(с – b + 8)
  6. (х – у)(х + у) – 3(х + у)=(х +у)(х – у – 3)
 

    Задания второго уровня

Разложите на множители:

  1. ах2 – ау2
  2. у6 – у4
  3. 4а2b – 8аb +4b
  4. - 10х2 +40ах – 40а2
  5. х2 – 2ху +у2 – 6х +6у
  6. 4а2 +4аb + b2 +12а +6b
 

    Ответы:

  1. а(х – у)(х +у)
  2. (у3 – у2)(у3 + у2)
  3. 4b(а – 1)2
  4. - 10(х – 2а)2
  5. (х – у)(х – у – 6)
  6. (2а + b) (2а + b +6)
 
 

Задания третьего уровня

Разложите на множители:

  1. 32х3у2 – 2х
  2. ху4 – у3 +ху2 – у
  3. а4 – а3b + а2b – аb2
  4. 9х2 – 12х + 4 – у2
  5. с2 – х2 – 2ху – у2
  6. а6 – а4 + а2 - 1
 

Ответы:

  1. 2х(4ху -1)(4ху +1)
  2. (у3 +у)(ух -1)
  3. (а3 – аb)(а – b)
  4. (3х - 2 – у)(3х – 2 +у)
  5. (с – х – у)(с + х + у)
  6. (а2 – 1)(а4 + 1)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.БОЛЕЕ  СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ. 

Пример: n3 + 3n2 + 2n= n(n2 +3n+2) = n(n2 +2n + n +2) = n((n2 +2n) + (n +2)) =

= n(n(n +2)+(n +2)) = n(n +2)(n +1) 

Для решения  этого примера мы использовали еще  один прием разложения на множители  – предварительное преобразование 

Предварительное преобразование

Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые  слагаемые или дополняется путем  прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен  не изменился, от него отнимается такое же слагаемое. 
 

Решите  уравнение: 

х2 +10х +21=0

х2 +10х +25 - 4=0

(х +5)2 – 4=0

(х +5 -2)(х +5 + 2)=0

(х +3)(х +7)=0

х +3 =0 или х +7 =0

х = -3     или х = -7

Ответ: -3; -7.

Метод выделения  полного квадрата. 
 

Сложные задания: 

  1. Решите  уравнение: х2 – 15х +56 =0
 
  1. Докажите  тождество:

(а2 +3а)2 +2(а2 +3а)= а(а+1)(а+2)(а+3) 

     3.Разложите на множители:

а)х2 – 3х +2

b)х2 + 4х +3 
 

Решите  уравнение:

х2 – 15х +56 =0

х2 – 7х – 8х +56 =0

(х2 – 7х)  – (8х – 56) = 0

х(х – 7) – 8(х  – 7) =0

(х – 7)(х  – 8) =0

х -7 =0 или х – 8 =0

х=7 или х=8

Ответ: 7;8 
 

Докажите  тождество:

(а2 + 3а)2 +2(а2 + 3а) = а(а + 1) (а + 2)(а + 3)

(а2 + 3а)2 +2(а2 + 3а) = (а2 + 3а)(а2 + 3а) +

2(а2 +3а) = (а2 + 3а)(а2 + 3а + 2) =

(а(а + 3))(а2 + 2а  + а + 1 +1) =

а(а + 3)((а2 + 2а + 1) +(а + 1)) =

а(а +3)((а + 1)2 +(а + 1)) =

а(а +3)(а + 1)(а + 1 + 1) =

а(а + 3)(а + 1)(а + 2) = а(а + 1)(а + 2)(а + 3) 
 

Разложите на множители

а) х2 – 3х + 2 = х2 – 2х – х + 1 + 1 =

(х2 – 2х  + 1) – (х – 1) = (х – 1)2 –  (х – 1) =

(х – 1)(х  – 1 – 1) = (х – 1)(х – 2) 

b) х2 + 4х + 3 = х2 + 4х + 4 – 1 =

(х2 + 4х + 4) –  1 =(х + 2)2 – 12 =

(х + 2 – 1)(х  + 2 + 1) = (х + 1)(х + 3) 
 
 

Разложите на множители, используя  различные способы:

  • 5а3 – 125аb2

5а(а - 5b)(а + 5b)    5а(а2 - 25 b2)      5а(а - 5b)2  

  • 63аb3 – 7а2b

7а2b2(9b – 1)            аb(63 b2 – 7а)       7аb(9b2 – а) 

  • 3а2 + 6а  + 3

3(а +1)(а –  1)           3(а  + 1)2              (3а + 1)2 

  • а2 - b2 + 6а +6b

(а + b)(а – b + 6)      ( а – b)2                (а2 -  b2) + (6а + 6b) 

  • 6х2 –  12х + 6

(3х – 3)2                  6(х – 1)2              (х – 1)(х + 6) 

Заключение: 

    Мы проанализировали  следующие приемы разложения многочлена на множители:

      1. вынесение общего множителя за скобки; 

      2. группировка; 

      3. использование формул сокращенного умножения; 

                   4. выделение полного квадрата. 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Список  использованой литературы 

  1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков  Алгебра 7.
 
  1. Теляковский С.А. Алгебра для 7 классов.
 
  1. Смирнова  учебник для 7 класса по математике.

Разложение на множители 📙 Реферат → 🆔 232706

Разложение на множители 📙 Реферат → 🆔 232706

Разложение на множители