Роль математики в современном естествознание

Математика нужна всем вне зависимости от рода занятий  и профессии. Известно, что еще  в древние времена математике придавалось большое значение. Девиз  первой академии – платоновской академии – «Не знающие математики сюда не входят» - ярко свидетельствует о  том, насколько высоко ценили математику на заре науки, хотя в те времена  основным предметом науки была философия.

Простейшие в современном  понимании математические начала, включающие элементарный арифметический счет и  простейшие геометрические измерения, служат отправной точкой естествознания.

«Тот, кто хочет решить вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым  не является», - утверждал выдающийся итальянский физик и астроном, один из основоположников естествознания Галилео Галилей (1564-1642).

Наука не может обойтись без перехода от чувственно-эмпирического  исследования к рационально-теоретическому. На этой стадии выдвигаются гипотезы для объяснения фактов и эмпирических законов, установленных с помощью наблюдений и экспериментов. При разработке и проверке гипотез приходится обращаться не только к логическим, но и к математическим методам. Именно поэтому естествознание и математика тесно связаны. Ведь математика, исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе и мышлении, отходит от содержания и исключает из допустимых аргументов наблюдение и эксперимент. Математику нельзя отнести к естествознанию или общественным наукам, т.к. она изучает не саму природу и объекты действительности, а математические объекты, которые могут иметь прообразы в действительности.

Предмет и специфика математики.

Слово «математика» произошло  от др.-греч. máthēma, что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. mathēmatikós, первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, математике. В частности, ars mathematica, означает искусство математики.

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика является языком науки, обеспечивая взаимосвязь различных наук. Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них граничат с математикой. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д.

Николай Бурбаки (группа французских  математиков) определяет современную  математику как науку о структурах. Здесь под структурой понимается упорядоченное многообразие математических элементов (чисел, функций и т.п.)[1]. Для построения математической системы  используются аксиоматический и  конструктивистский методы. В первом методе исходят из аксиом и правил вывода из них других положений. Естественный язык заменяется математическими символами. Этот процесс называется формализацией. Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и  довольно сложными структурами, система  обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской  алгебраической традиции, а также  математического анализа (понятия  функции, производной и т.д.). В  современной математике распространены также сложные графические системы  записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения  на основе графов.

Если формализация состоялась, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы  приобретают характер формул. Формулы, которые получаются в результате вывода доказательства, называются теоремами.

В конструктивистском методе на основе математических конструктов  строят более сложные элементы (но не выводят формулы). В процессе создания этих элементов используют подходящую для построения последовательность шагов. Для математика важно задать отличие метематических конструктов друг от друга. Если многообразие математических конструктов не упорядочено, то есть невозможно их сопоставление друг с другом, то работа математика теряет всякий смысл. Чтобы этого не случилось, математик внимательно следит за тем, чтобы математическая теория была непротиворечивой, т.е. чтобы в ней не было два или больше взаимно исключающих предположения. Непротиворечивость – основополагающий научный критерий математики.

История развития математики.

Математика в качестве самостоятельной отрасли научного знания начинает появляться в античности. Формируются различные представления  о соотношении математических образов  и реальных природных объектов, следовательно, о соотношении математики и естествознания[2]. Платон, к примеру, считал, что понимание  физического мира может быть достигнуто только с помощью математики, т.к. «Бог вечно геометризует». Для Платона математика являлась не просто посредником между идеями и данными чувственного опыта - математический порядок он считал точным отражением самой сути реальности.

В работе Евклида «Начала» впервые были применены доказательства, и это стало важнейшим событием для развития научного знания. Эта  математическая система была преподнесена как идеальная версия того, что  составляло содержание реального мира. Значительно расширили математическое знание греки Александрийского периода: Аполлоний («Конические сечения»), Гиппарх, Менелай, Птолемей, Диофант («Арифметика») и другие.

В средние века в Европе исследование природы любыми способами, включая математические, считалось  предосудительным занятием, т.к. главной  стала теологическая ветвь науки. Центр научной мысли теперь переместился в Индию, а потом в арабские страны. В Индии зарождается алгебра, вводятся десятичная система счисления  и нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда. В XV веке Улугбек  открыл при своем дворце в Самарканде обсерваторию, где были организованны непревзойденные астрономические наблюдения, вычисление атематических таблиц и т.д.

В XVII в. множество отраслей естествознания начинают основываться на экспериментально-математических методах. Появляется убежденность в том, что достоверность знания определяется степенью его математизации. «Книга природы написана на языке математики,» - эти слова принадлежат Г.Галилею. Кант же утверждал: «В каждом знании столько истины, сколько есть математики». Логическая стройность, дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов – все эти характеристики сделали математику образцом научного знания.

Однако, были и те, кто был иного мнения о роли математики для раскрытия качественных особенностей. Одним из этих людей являлся И.В.Гёте. Он считал, что природные явления должны наблюдаться в их естественном виде, т.к. эксперимент и количественный анализ не помогают понять их подлинную сущность, это возможно только с помощью опыта и интуиции. Также подход Гёте поддерживал А.Шопенгауэр(XIX в.), он вообще не видел пользы в математическом языке, применяемом к изучению природы. Шопенгауэр считал, что математические доказательства не дают достоверного представления о реальных процессах.

Много выдающихся ученых XX в. считали математику важнейшим  средством для точного выражения  научной мысли. Нильс Бор говорил  об огромном значении математики в  развитии теоретического естествознания и о том, что математика является не только наукой, но и её языком. Р.Фейнман  считал, что математика – это  язык и логика одновременно, однако он не признавал в математике науку.

В наши дни также противопоставляют  объяснение явлений их пониманию, полагая, что методы математики не могут объяснить  процессы культурно-исторической и  духовной жизни. Понимание рассматривается  как интуитивная деятельность мышления, и из-за этого отвергается возможность  использовать для его анализа  математические средства исследования. Также критически настроены ученые, исследующие биологические, психические  и социальные процессы, т.к. привыкли доверять не математическому анализу, а опыту и интуиции.

Математика – источник представлений  и концепций в естествознании.

Для естествознания и других наук математика вырабатывает структуры  мысли, формулы, на основе которых можно  решать проблемы специальных наук. Это происходит из-за особенности  математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя при  этом отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств. Они называются отношениями отношений. Т.к. эти отношения  особые, то математике удаётся проникать  в самые глубокие характеристики мира и говорить на языке структур, определяемых как инварианты систем. Глубинные проникновения в природу  делают математику методологом и  носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может количественно описать явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории". Математика вырабатывает модели возможных ещё неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль.

Когда-то И.Кант сказал: «Математика  – наука, брошенная человеком  на исследование мира в его возможных  вариантах". Математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Ему разрешены построения, противоречивые физически, главное, чтобы они не были противоречивы логически. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных  версиях. Как замечает австрийский  математик и писатель нашего времени Р. Музиль, «математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку». Раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя,поскольку он мыслит математически, то есть, по выражению Г. Вейля, пытаясь дать "теоретическое изображение бытия на фоне возможного".

Но у учёного нет  возможности для бескрайнего  фантазирования. Истина состоит в  том, что нематематические науки, сталкиваясь  с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать  пределы возможного - той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.

Т.к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она  способна проводить аналогии между  качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты  над пропастью". Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры  на соседние, близкие и далекие, регионы  природы.

Однако математическая наука лишает мир многообразия, как  выразился русский математик  И.Шафаревич она «убивает индивидуальность». Он пишет: «Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: "7 предметов". Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы"^». То есть счёт делает предметы равными.

При описании математика выявляет только одну характеристику предмета и, отслеживая её вариации, выводит  закономерность. На остальные характеристики не обращается внимание, т.к. они мешают исследованию. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Из-за того, что за одним  свойством не видно других особенностей предмета или явления, Ю.Шрейдер называет математику пародией на природу. Но всё не так плохо. Математика просто не может работать по-другому, и при таком подходе есть чёткая заданность исследования, когда нужно проследить «поведение» объекта на основе определённого свойства, проследить за изменениями и развитием и отобразить информацию в уравнениях, графиках, схемах.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство Rⁿ, при n > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».[3]

Математические обобщения, которые развивались вне связи  с практическими применениями, а  просто для достижения логической гармонии, оказались очень удобным инструментом для осуществления грандиозной  программы Эйнштейна. Отказавшись  не только от представлений об абсолютности пространства и времени, но и от эвклидовой геометрии в качестве основы физики, Эйнштейн обратился к рассмотрению криволинейной четырехмерной римановой  метрики. Это автоматически привело  его к объяснению гравитационных эффектов и особой роли скорости света, которая представляет собой верхний  предел логически последовательного  применения скорости как физического  понятия. Математики к этому времени  уже постепенно привыкли к абстракциям  такого рода, разрабатывая неэвклидову  геометрию и ее различные модели.

Используя математические методы исследования науки должны учитывать  возможности математики, считаясь с  границами ее применимости. Имеется  в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод  на язык количественных описаний не дает прироста информации.

Итак, математика играет важную роль в качестве языка, особых методов  исследования, источника представлений  и концепций в естествознании.

Математика как специфический  язык естествознания.

" ... Все законы выводятся  из опыта. Но для выражения  их нужен специальный язык. Обиходный  язык слишком беден, кроме того, он слишком неопределен для выражения столь богатых содержанием точных и тонких соотношений. Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться".

Во многих случаях математика  играет роль  универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений.

Естествознание все шире использует математику для объяснения природных явлений. Есть несколько  направлений математизации естествознания:

• Количественные анализ и формулировка качественно установленных фактов и законов;
• Построение математических моделей, создание математической физики, математической биологии и т.д.
• Построение и анализ конкретных научных теорий, в том числе их языка.

Естественный язык оперирует  качественными понятиями (характеризуют  качества предметов и явлений), математический язык отличается от него. Изучение новых  вещей и явлений начинается с  их качественного описания, затем  образовывают сравнительные понятия, выражая интенсивность какого-либо свойства с помощью чисел. Когда  интенсивность уже можно измерить, а это значит, представить в  виде отношения данной величины к  однородной величине, взятой в качестве единицы измерения, тогда появляются количественные понятия. Именно с ними часто связан прогресс в научном  познании. Количественный язык развивает  и уточняет обычный язык, основывающийся на качественных понятиях. Это значит, что количественные и качественные методы не взаимоисключающие, а взаимодополняющие.

Количественные язык и  понятия стали осознанно применяться  после появления экспериментального естествознания, до этого они использовались, но несистематически. Г.Галилей первый использовал язык количественных понятий вместе с экспериментальным методом исследования.

Плюс количественного  языка математики в том, что он краток и точен. Сравнивать или измерять что-то в числах гораздо проще, чем  описывать словами. Символы жестко привязаны к значениям, не допуская разночтений, интерпретаций и объяснений. С этой целью используются такие  математические методы как дифференцирование, интегрирование, функциональный анализ и другие.

Еще одним преимуществом  является то, что с помощью математического  языка можно точно сформулировать количествнные закономерности, которые характеризуют изучаемые явления, и то, что точная формулировка законов и научных теорий на математическом языке позволяет применить богатый математический и логический аппарат при получении из них следствий.

Все выше сказанное позволяет сделать вывод, что в любом процессе научного познания язык качественных описаний и количественный язык математики сильно взаимосвязаны. Эта взаимосвязь ясно прослеживается в сочетании и взаимодействии естественно-научных и математических методах исследования. Чем лучше мы знаем качественные особенности явлений, тем успешнее можем использовать для их анализа количественные математические методы исследования, а чем более совершенные количественные методы применяются для изучения явлений, тем полнее познаются их качественные особенности.

Математика играет важную роль в естествознании. Назовем некоторые  её функции:

• Функция универсального языка: язык, предназначенный для краткой, ёмкой и точной записи разных утверждений. То, что описано на математическом языке, можно перевести на обычный, но описание может оказаться слишком длинным и запутаным;
• Функция источника моделей, алгоритмических схем для отображения связей, процессов и отношений, из которых состоит предмет естествознания. Идеализируя исследуемый объект или явление, математическая модель или схема упрощает его и это позволяет выявить суть объекта или явления.

Математическая гипотеза – это метод естественно-научного познания, который основывается на повторении общих свойств реального мира, отраженных в математических формулах и уравнениях. В математической гипотезе к готовым математическим формам стараются подобрать конкретное содержание, подставляя в подходящее уравнение из смежных областей науки величины другой природы, а после этого проверяют на совпадение с характеристиками изучаемого предмета. С помощью этого метода Шрёдингер описал основные законы квантовой механики: приняв волновую гипотезу движения элементарных частиц, он отыскал уравнение, не отличающееся формально от уравнения классической физики колебаний нагруженной струны и дал его членам совершенно другое толкование(квантово-механическое). Так Шрёдингер получил волновой вариант квантовой механики.

Применение математики в разных отраслях естествознания.

Математика - наука о  количественных отношениях действительности. Математика является междисциплинарной  наукой, её результаты используются в  естествознании и общественных науках.

Известный математик, академик Б. Гнеденко, считая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы. Математические методы применяются в физике, химии, в высокоматематизированных отраслях биолигии и многих других науках. По мнению академика А.Н.Колмогорова, область применения математического метода не ограничена, но в разных отраслях естествознания роль и значение математического метода различны. Выявить качественную однородность групп объектов и явлений сложно, а математические методы как раз основываются на однородных объектах, которые можно количественно и структурно сравнить. Поэтому трудно получить математические формулы и уравнения для объектов естествознания. Чем более различны объекты и явления, тем труднее они поддаются математизации.

Очень внушительный обзор мощных средств, которыми располагают  сегодня физики благодаря изобретательной  деятельности математиков прошлых  столетий, представлен в великолепном трактате Куранта и Гильберта  о методах математической физики. В этом труде ясно излагаются логические обобщения, оказавшиеся исключительно плодотворными не только для изучения разнообразнейших проблем в рамках классической физики, но и способствовавшие прояснению новых вопросов, с которыми мы столкнулись в ходе современного развития физической науки.

Из аналитической  геометрии Декарта возник очень  удобный математический инструмент в виде дифференциального исчисления, в которое сам Ньютон, в равной мере выдающийся физик и математик, внес столь фундаментальный вклад.

Это революционное  развитие породило чрезвычайно тесную связь между физическими и  математическими исследованиями; открытия в физике стимулировали работу математиков, а математические абстракции и обобщения  в свою очередь способствовали прояснению физических проблем. В качестве типичного  примера можно вспомнить, как  изучение явления теплопроводности побудило Фурье заняться разработкой  гармонического анализа, который до наших дней остается важным разделом чисто математических исследований и в то же время оказывается  все в большей степени незаменимым  инструментом во многих областях физики. Также можно упомянуть взаимосвязь  между фундаментальными результатами Фарадея в области электричества  и магнетизма и теорией Максвелла  электромагнитных полей, которая вызвала  развитие таких математических дисциплин, как векторный и тензорный  анализ, оказавшихся столь полезными  во многих разделах физической науки.

Математический метод  является основополагающим в небесной механике, например, в учении о движении планет. Закон всемирного тяготения  имеет очень простое математическое выражение и практически полностью  определяет исследуемый в этой области  круг явлений. Все результаты, которые  были получены на основе математического  метода, имеют высокоточное подтверждение  в реальности.

Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может  количественно описать явление, но и главный источник представлений  и принципов, на основе которых зарождаются  новые теории". Основная трудность  исследования – это выбор предпосылок  для математической обработки и  истолкование результатов, полученных математическим путём.

Математические методы широко используются и в химии, т.к. все химические элементы обладают общей  характеристикой – атомным весом. Сравнивая элементы по этому признаку, Д.И.Менделеев построил Периодическую  систему элементов. Применение математических методов в химии основывается на выделении общих свойств химических веществ и соединений.

Из-за специфических свойств систем, изучаемых в биологических науках и науках о Земле математические методы в этих областях часто играют подчиненную роль. Математизировать эти науки сложно, т.к. сложно найти качественную однородность данных систем. Дело обстоит проще в таких областях как геофизика, биофизика и пр., т.к. они опираются на изучение физических основ природных явлений.

Огромные успехи точных математических наук привели к появлению  среди ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое  в их опытах подчиняется законам  математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых  поразительных чудесных открытий, сделанных  человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом. Почему реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре? Кант даёт такое объяснение: само наше восприятие выстраивает действительность, т. е. то, что отражается нашим разумом  и воспринимается как реальность, подчиняется математическим законам. Есть и другая идея: природа в  процессе эволюции вкладывает математику в наш разум как реально  существующую структуру, неотъемлемую от нее самой. Развитие наших способностей к абстрагированию и манипулированию  логическими символами должно быть ориентировано на реально существующие структуры реального мира.

"Вступая на проложенный  древними путь, скажем вместе  с ними, что если приступить  к божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими из-за их непреходящей достоверности" (Н.Кузанский).

Наши геометрические и  логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир  подчиняется математическим законам  в значительно большей степени, чем нам известно сейчас. Но даже если эти структурные (математические) принципы экстраполируются все более  глубокими конструкциями и теоремами, то и в этом случае просто невероятно, чтобы действительность с исчерпывающей  полнотой отражалась математическими  конструкциями - от огромных космологических  размеров и до микрочастиц. Открытыми  остаются вопросы, как математика соотносится  с миром и дает возможность  познавать его; какой способ познания преобладает в математике - дискурсивный или интуитивный. По мнению В. Гейзенберга, "наиболее важными ему кажутся, прежде всего, математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений". Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида "хомо сапиенс" принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы.

По мнению некоторых  методологов, законы природы не сводятся к математическим соотношениям. Их надо понимать как любой вид организованности идеальных прообразов вещей. Есть три  вида организованности: простейший - числовые соотношения; более сложный - ритмика  первого порядка, изучаемая математической теорией групп; ритмика второго  порядка - "слово". Два первых вида организованности наполняют Вселенную  мерой и гармонией, третий вид - смыслом. В рамках этого объяснения математика занимает свое особое место в познании. "Чисто логическое мышление не может  принести нам никакого знания эмпирического  мира. Все познание реальности отправляется от опыта и возвращается к нему. Предложения, полученные при помощи чисто логических средств, при сравнении  с реальностью оказываются совершенно пустыми". (А.Эйнштейн).

В ходе изучения свойств  реальных объектов часто оказывается  так, что они приближенно соответствуют  аксиоматике того или иного раздела  математики (напр. положение небольшого тела можно приближенно описать, задав три его координаты, совокупность которых можно рассматривать  как вектор в трехмерном пространстве). При этом ранее доказанные в математике утверждения (теоремы) оказываются  применимыми к таким объектам.

Очевидно, что более простые  объекты нашего мира удовлетворяют  более простым системам аксиом, следствия  из которых математиками изучены  более полно. Поэтому естественные науки “низших” уровней оказываются  более математизированными.