Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Рыночные риски

РЕФЕРАТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

УПРАВЛЕНИЕ ФИНАНСОВЫМИ РИСКАМИ

Студента

Группы

Тема: рыночные риски

Факультет Финансовый

Специальность Финансы и кредит

Отделение очное

Преподаватель

Калуга, 2012

Содержание

Волатильность и способы ее моделирования………………………..3

2. VaR (Value-at-Risk) и основные методы его расчета………….……9

3. Методы построения функции финансового результата от изменения факторов риска……………………………………………………………….…15

1. Волатильность и способы ее моделирования

Волатильность представляет собой основную меру риска рыночного финансового инструмента. Волатильность является случайной составляющей изменения цены финансового инструмента, которое рассматривается следующим образом:

r= m + v, где

r - изменение цены за интервал,

m - среднее изменение цены (тренд) - постоянная величина;

v - волатильность, случайная величина (временной ряд) с нулевым мат. ожиданием, т.е. движение цены за некоторый интервал рассматривается как некое планируемое трендовое движение и случайное отклонение от тренда определяемое волатильностью.

Волатильность, таким образом, является случайной величиной, или (при рассмотрении изменения цены за несколько интервалов) временным рядом. Моделирование данной случайной величины представляет основу для оценки большинства рыночных рисков. Ниже приводятся основные способы моделирования волатильности:

·Простая волатильность
·Экспоненциальная волатильность
·Волатильность, как комбинация нескольких распределений
·ARCH/GARCH модели
·Прогнозируемая (implied) волатильность
·Реализованная (realized) волатильность

Простая волатильность

В рамках простейшего представления волатильность рассматривается, как нормально распределённая случайная величина ("белый шум") с дисперсией равной дисперсии изменения цены за интервал. Как оценка волатильность используется стандартное отклонение данной величины, рассчитанное по некой исторической выборке:

, где

e_t - изменение цены за i-й интервал.

N - длина исторической выборки.

Естественно для расчёта волатильности таким образом следует рассмотреть достаточно большое количество интервалов изменения цен. Например, для расчета однодневной волатильности желательно использовать не менее чем трехмесячную выборку однодневных изменений цен.

Достоинством такого рода модели является то, что она крайне проста, как с точки зрения расчёта волатильности, так и с точки зрения её дальнейшего применения. Чтобы рассчитать максимально возможное отклонение цены от среднего ожидаемого значения с заданной вероятностью достаточно просто умножить волатильность на коэффициент, определяемый свойствами нормального распределения. Так чтобы рассчитать предельное изменение с вероятностью 95% (стандарт RiskMetrics) волатильность необходимо умножить на 1,65. Вероятности 99% (требования Базельского комитета) соответствует коэффициент 2,33.

Простая волатильность также крайне просто моделировать, что позволяет легко использовать её в оценка риска, использующих метод Монте-Карло.

Недостатками такого расчёта волатильности являются:

Несоответствие нормального распределения реальному распределению случайных движений цен. Реальные случайные движения цен в целом не так сильно склонны отклоняться относительно нуля, как это моделируется нормальным распределением, но совершают иногда резкие скачки (имеют т.н. "тяжелые хвосты"). Представленные нормальным распределением случайные изменения с одной стороны склонны к сравнительно большим колебаниям около нуля, но, с другой стороны не склонны к резким выбросам. Последнее наиболее неприятно, т.к. именно резкие случайные движения цен представляют наибольший интерес при оценке потерь.
Расчёт характеристик волатильности по значительному историческому массиву приводит к "запаздыванию" оценки - произошедшие в течение последних дней или недель изменения волатильности не найдут в полной мере свое отражение в оценке волатильности.
С другой стороны, при регулярном (например, ежедневном) расчете волатильности с одной и той же длиной выборки выход из выборки резких скачков, имевших место в прошлом, будет приводить к резкому изменению текущей волатильности.
Данный подход не учитывает возможную автокорреляцию случайных изменений цен - например, в случае резкого однодневного скачка цен в последующие дни случайные изменения цен будут также выше своей "средней нормы", что способно существенно повлиять на характер принимаемых рисков.

Экспоненциальная волатильность

Экспоненциальная волатильность представляет собой аналог простой волатильности - она также представляет случайные движения цен, как "белый шум" - нормальное распределение. Особенность данной волатильности в том, что при расчете стандартного отклонения данные исторической выборки включаются расчёт с весовыми коэффициентами, увеличивающими вес недавних движений цен в выборке по сравнению с давними движениями. Для оценки экспоненциальной волатильности используется следующая индуктивная формула:

где

- случайное изменение цены за i-й интервал.

- коэффициент сглаживания - весовой коэффициент, определяющий степень влияния на волатильность последнего изменения цен по сравнению с ранними оценками.

Экспоненциальная волатильность при использовании на практике интерпретируется аналогично простой. но она в большей мере отражает недавние изменения цен и не подвержена резким изменениям по факту выхода из выборки достаточно старых резких изменений цен.

Волатильность, как комбинация нескольких распределений

Для того, чтобы не отказываться от удобного при моделировании и расчете нормального распределения, и учесть эффект тяжелых хвостов можно моделировать волатильность в виде комбинации нескольких нормальнораспределённых случайных величин с различными дисперсиями, каждая из которых "срабатывает" с некоторой предопределённой вероятностью. При моделировании отдельного движения рынка для расчета случайной составляющей согласно выбранным вероятностям выбирается одно из этих распределений.

Например, возможна следующая комбинация для курса USD/RUR (цифры условны):

-с вероятностью 90% нормально распределённое изменение цен с дисперсией 5 коп.(случайные колебания цен в спокойной обстановке);

- с вероятностью 9% нормально распределённое изменение цен с дисперсией 15 коп.(более резкие изменения цен);

- с вероятностью 1% нормально распределённое изменение цен с дисперсией 50 коп.(стрессовые выбросы).

Реализованная (realized) волатильность

Под реализованной волатильностью рынка понимается оценка волатильности для некоторого горизонта, рассчитанная на основе изменений цен (волтильности) на меньших горизонтах. Например, исходя из предположения о броуновском характере движения цен, можно на основе внутридневной 5-ти минутной волатильности оценить однодневную волатильность или на основе однодневной волатильности рассчитать месячную.

В качестве самого простого способа (броуновское движение цен) расчета реализованной волатильности(v) можно воспользоваться следующей формулой:

v_t1=(t1/t2)^1/2v_t2, где

t1 - больший (оцениваемый) временной горизонт;

t2 - меньший (с достаточной статистикой) временной горизонт.

Однако, для серьезного практического использования данная формула достаточна груба, требуется дополнительное исследование свойств движений цен.

Преимуществами использования реализованной волатильности являются:

Возможность на основе незначительной выборки получить оценку волатильности инструмента на значительном горизонте.
Возможность оперативно предсказывать возможные скачки волатильности в будущем, на основе роста волатильности на коротких интервалах.

Возможности по предсказанию роста рискованности операций с помощью реализованной волатильности в определённом смысле сильнее, чем аналогичные возможности экспоненциальной и ARCH/GARCH-волатильностей. Например, рост внутридневной 5-ти минутной волатильности может говорить о увеличении нестабильности рынка, но между тем, он может в течение одного или нескольких дней не сопровождаться ростом однодневных изменений цен. При этом однодневные экспоненциальная и ARCH/GARCH-волатильности существенно не изменят своих значений, в то время как однодневная реализованная волатильность, построенная на основе 5-ти минутных изменений цен увеличится, сигнализируя о растущем риске.

ARCH/GARCH - модели волатильности

Простые представления о волатильности исходят из того, что случайные изменения цен на каждом временном интервале не зависят друг от друга. Реальное поведение случайных изменений обычно не соответствует данному допущению. Для волатильности характерна, т.н. "кластеризация", т.е. периоды когда абсолютные значения волатильности принимают большие или меньшие значения.

Например, при рассмотрении курса RUR/USD за несколько последних лет можно выделить периоды, когда колебания курса были незначительны, и периоды, когда среагировав на определённые события курс в течение нескольких дней или недель совершал значительные колебания (т.е. выбросы были не разовыми и случайными, а представляли собой затухающую серию, спровоцированную одним или несколькими значительными движениями). Если для такого рынка произвести оценку возможных потерь за неделю однодневных спекулятивных операций, не учитывая серийность случайных движений цен, то оценка риска может оказаться заниженной.

Проблему учета серий случайных больших выбросов доходностей финансовых инструментов при расчете волатильности можно решить с помощью использования ARCH/GARCH-моделей. ARCH-модель моделирует волатильность в виде суммы константной базовой волатильности и линейной функции абсолютных значений нескольких последних изменений цен. При этом уровень волатильность (стандартное отклонение доходности финансового инструмента) рассчитывается по следующей рекурсивной формуле (ARCH(q)):

где
a - константа - базовая волатильность;

epsi - предыдущие изменения цен;

q - порядок модели - количество последних изменений цен, влияющих на текущую волатильность;

b_i - весовые коэффициенты, определяющие степень влияния предыдущих изменений цен на текущее значение волатильности.

Расширением ARCH-модели является GARCH-модель волатильности, где на текущую волатильность влияют как предыдущие изменения цен, так и предыдущие оценки волатильности (т.н. "старые новости"). Согласно данной модели (GARCH(p,q)) расчет волатильность производится по следующей формуле:

где

p - количество предшествующих оценок волатильности, влияющих на текущую;

c_i - весовые коэффициенты, определяющие степень влияния предыдущих оценок волатильности на текущее значение.

2. VaR (Value-at-Risk) и основные методы его расчета

Рассмотрим наиболее распространенный метод количественной оценки величины рыночного риска торговых позиций – VaR:

VaR – это выраженная в денежных единицах базовой валюты оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени (временной горизонт) потери с заданной вероятностью (уровень доверия). Базой для оценки VaR является динамика курсов и цен инструментов за установленный период времени в прошлом.

Временной горизонт часто выбирается исходя из срока нахождения финансового инструмента в портфеле или его ликвидности, исходя из минимального реального срока, на протяжении которого можно реализовать на рынке данный инструмент без существенного убытка. Временной горизонт измеряется числом рабочих или торговых дней.

Уровень доверия, или вероятность, выбирается в зависимости от предпочтений по риску, выраженных в регламентирующих документах банка. На практике часто используется уровень в 95% и 99%. Базельский комитет по банковскому надзору рекомендует уровень в 99%, на который ориентируются надзорные органы.

Величина VaR рассчитывается тремя основными методами:

параметрическим;

методом исторического моделирования;

методом Монте-Карло.

Далее, проведен краткий обзор всех трех методов оценки риска методом VaR.

Параметрический метод расчёта VaR

Данный метод может использоваться для оценки рыночного риска финансовых инструментов, по которым банк имеет открытую позицию. Стоит отметить, что параметрический метод плохо подходит для оценки риска активов с нелинейными ценовыми характеристиками. Основным недостатком данного метода является предположение о нормальном распределении доходностей финансовых инструментов, которое, как правило, не соответствует параметрам реального финансового рынка. Для параметрического расчёта VaR необходимо регулярно рассчитывать волатильность котировок ценных бумаг, валютных курсов, процентных ставок или иных риск-факторов (переменная, от которой в наибольшей степени зависит изменение стоимости открытых банком позиций).

Базовая формула для определения VaR с учетом стоимости позиции актива имеет следующий вид:

VaR = V* λ *σ,

где:

λ – квантиль нормального распределения для выбранного доверительного уровня. Квантиль показывает положение искомого значения случайной величины относительно среднего, выраженное в количестве стандартных отклонений доходности портфеля. При вероятности отклонения от среднего, равного 99%, квантиль нормального распределения составляет 2,326, при 95% – 1,645;

σ – волатильность изменения риск-фактора. Волатильность – это стандартное (среднеквадратическое) отклонение изменения риск-фактора относительно его предыдущего значения;

V – текущая стоимость открытой позиции. Под открытой позицией понимается рыночная стоимость финансовых инструментов, купленных или проданных банком для получения прибыли или иных целей таким образом, что количество финансовых инструментов, находящихся в рассматриваемый момент на балансовых или забалансовых счетах, не равно нулю.

Пример

Инвестор владеет акциями компании стоимостью 10 млн.руб. Заданный уровень доверия 99% с временным горизонтом в один день. Однодневная волатильность цены акций (σ) = 2,15.

VaR = 10 * 2,33* 2,15 = 50,09 млн.руб.

Другими словами, вероятность того, что убытки инвестора превысят 50 млн.руб. в течение ближайших суток, равна 1 %. Убытки, превышающие 50 млн.руб. ожидаются в среднем один раз в 100 дней торгов.

Метод исторического моделирования расчета VaR

Данный метод основан на предположении о стационарности поведения рыночных цен в ближайшем будущем.

Сначала выбирается период времени (число рабочих или торговых дней), за который отслеживаются исторические изменения цен всех активов, входящих в портфель. Для каждого периода времени моделируются сценарии изменения цены. Гипотетическая цена актива рассчитывается как его текущая цена, умноженная на прирост цены, соответствующий данному сценарию. Затем производится полная переоценка всего текущего портфеля по ценам, смоделированным на основе исторических сценариев, и для каждого сценария вычисляется, насколько может измениться стоимость текущего портфеля. После этого полученные результаты ранжируются по номерам в порядке убывания (от самого большого прироста до самого большого убытка). И, наконец, в соответствии с желаемым уровнем доверия величина VaR определяется как такой максимальный убыток, который равен абсолютной величине изменения с номером, равным целой части числа (1- квантиль при заданном уровне доверия) * число сценариев.

В отличие от параметрического метода, метод исторического моделирования позволяет наглядно и полно оценить риск, он хорошо подходит для оценки риска активов с нелинейными ценовыми характеристиками. Преимущество исторического моделирования заключается в том, что он исключает высокое влияние модельного риска и основан на реально наблюдавшейся в прошлом модели, без учета предположений о нормальном распределении или какой-либо другой стохастической модели динамики цен на рынке. Стоит отметить, что при расчете VaR данным методом присутствует высокая вероятность ошибок измерения при малом периоде исторической выборки. Кроме того, из выборки не исключаются наиболее старые наблюдения, что резко ухудшает точность модели.

Пример:

В 400 сценариях оказалось 300 случаев убытка и 100 случаев прироста. VaR (95%) – это абсолютная величина 21-го по величине убытка (400+1-1(1-0,05)*400=21, где 0,05 - квантиль при уровне доверия 95%), т.е. изменения под номером 380.

Метод Монте-Карло расчета VaR

Метод Монте-Карло, или метод стохастического моделирования, является самым сложным методом расчета VaR, однако его точность может быть значительно выше, чем у других методов. Метод Монте-Карло очень схож с методом исторического моделирования, он также основан на изменении цен активов, только с заданными параметрами распределения (математическим ожиданием, волатильностью). Метод Монте-Карло подразумевает осуществление большого количества испытаний – разовых моделирований развития ситуации на рынках с расчетом финансового результата по портфелю. В результате проведения данных испытаний будет получено распределение возможных финансовых результатов, на основе которого путем отсечения наихудших согласно выбранной доверительной вероятности может быть получена VaR-оценка. Метод Монте-Карло не подразумевает свертывания и обобщения формул для получения аналитической оценки портфеля в целом, поэтому и для результата по портфелю и для волатильностей и корреляций можно использовать значительно более сложные модели. Метод заключается в следующем. По ретроспективным данным (периоду времени) рассчитываются оценки математического ожидания и волатильность. С помощью датчика случайных чисел данные генерируются с помощью нормального распределения и заносятся в таблицу. Далее вычисляется траектория моделируемых цен по формуле натурального логарифма и производится переоценка стоимости портфеля.

Так как оценка VaR методом Монте-Карло практически всегда производится с использованием программных средств, данные модели могут представлять собой не формулы, а достаточно сложные подпрограммы. Таким образом, метод Монте-Карло позволяет использовать при расчете рисков модели практически любой сложности. Преимущество метода Монте-Карло заключается еще и в том, что предоставляется возможность использовать любые распределения. Кроме того, метод позволяет моделировать поведения рынков - трендов, кластеров высокой или низкой волатильности, меняющихся корреляций между факторами риска, сценариев "что–если" и т.д. При этом стоит отметить, что данный метод требует мощных вычислительных ресурсов и при простейших реализациях может оказаться близок к историческому или параметрическому VaR, что приведет к наследованию всех их недостатков.

Недостатком метода оценки рисков VaR является то, что он игнорирует очень многие значительные и интересные детали, необходимые для реального представления рыночных рисков. VaR не учитывает, какой вклад в риск вносит рынок, какие структурные изменения портфеля увеличивают риск, а также какие инструменты хеджирования контролируют специфический риск. Модель не дает информации о наихудшем возможном убытке за пределами значения VaR (при заданном уровне доверия 95% остается неизвестным, какими могут быть потери в оставшихся 5% случаев).

3. Методы построения функции финансового результата от изменения факторов риска

Для решений различных задач оценки рисков, в частности для расчета параметрического VaR, расчета VaR методом Монте-Карло, стресс-тестинга, как правило, необходимо представить финансовый результат по портфелю как функцию изменений факторов риска. Это позволит не осуществлять расчет и моделирование характеристик отдельных инструментов, входящих в портфель, и связей между ними, а ограничиться небольшим множеством факторов риска.

Важной задачей, которая должна быть решена в первую очередь, является собственно выделение основных рыночных факторов, влияющих на стоимость портфеля. Выделение факторов определяет степень точности модели, разделяет систематические и несистематические риски. Так, для диверсифицированного портфеля акций можно считать рыночным фактором основной индекс рынка или основной индекс и несколько отраслевых индексов. В первом случае отраслевые риски будут рассматриваться как несистематические и игнорироваться, более детальный второй подход позволит их учесть. Для портфеля облигаций можно выбрать несколько базовых точек на кривой доходности (например, доходности для сроков: 1 неделя, 1 месяц, 3 месяца, 6 месяцев, 1 год, 3 года, 5 лет, 10 лет), а можно поступить грубо и воспользоваться единой средней ставкой доходности. Естественно, чем факторов больше, тем качественнее результат, но и тем сложнее становится модель и тем больше затрат она требует при построении и использовании.

Для построения модели достаточно суметь представить в виде функции от изменений факторов риска финансовый результат по каждому отдельному инструменту, входящему в портфель. Сделать это можно одним из следующих методов:

Полная переоценка - подразумевает расчет финансового результата по инструменту на основе функции, определяющей стоимость инструмента на основе фактора риска. Например, стоимость облигации может быть рассчитана на основе доходности, как текущая стоимость потока платежей. Для того чтобы посчитать финансовый результат по облигации достаточно посчитать разницу её стоимости для начальной и конечной доходности (фактора риска). Т.к. полная переоценка часто подразумевает нелинейность функции стоимости инструмента, её использование в параметрических методах затруднено - сложно построить аналитически агрегированную функцию финансового результата по портфелю.

Линейное (дельта) приближение - самый простой, широко распространенный и между тем грубый метод. Подразумевает представление финансового результата по инструменту в виде линейной функции изменения фактора. В качестве коэффициента линейной функции может использоваться модифицированная дюрация, умноженная на текущую стоимость инструмента(для потоков платежей - векселей, облигаций и т.д.), "бета"-коэффициент "альфа-бета" модели, умноженный на текущую стоимость инструмента (акции, товары и т.д.). Для инструментов, чья стоимость связана с фактором нелинейно, метод дает приемлемое приближение только для сравнительно небольших изменений фактора. Зато линейная функция позволяет построить агрегированную функцию результата по портфелю аналитически и аналитически же изучить её свойства с учетом корреляций факторов при условии использования нормальных распределений.

Дельта-гамма приближение - подразумевает представление результата по инструменту в виде многочлена второй степени от изменения фактора риска (разложение в ряд Тейлора до второго члена). Обычно дельта-гамма приближение применяется для облигаций и иных инструментов, представляемых в виде потока платежей, в виде выражения изменения стоимости через модифицированную дюрацию и выпуклость. Данный метод дает более точную оценку результата по инструменту, чем линейное приближение, однако при использовании данного способа затруднителен учет корреляций факторов риска при аналитическом изучении свойств портфеля.

Отдельный интерес представляет ситуация когда во всем множестве факторов риска есть близкие по природе факторы, влияющие на стоимость инструмента. Например, 5-месячные ГКО нужно выразить через 3-х месячную и 6-ти месячную доходности рынка (факторы риска). В этом случае желательно учесть в формуле оба фактора с весовыми коэффициентами. В приведенном примере можно, например, использовать расчет 5-ти месячной доходности как линейной интерполяции 3-х месячной и 6-ти месячной.

Рыночные риски 📙 Реферат → 🆔 244747