Синтез і аналіз багаточастотних сплайн-фільтрів

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ  
 

Кафедра радіоелектроніки 
  
  

Реферат

на тему: „Синтез і аналіз багаточастотних сплайн-фільтрів”

     Виконав:

        Головко В.О. 
  
  
   
  
 
 
 
 
 

Київ 2011

ЗМІСТ 

Перелік умовних позначень  і скорочень 

Вступ

     Протягом  останніх двох десятиліть, багаточастотні банки фільтрів знайшли застосування в багатьох різних областях, таких як кодування мови, адаптивна обробка сигналів, стиснення зображень, обробка сигналів та зображень (Malvar, 1992; Vaidyanathan, 1993; Vetterli amd Kovaevi 1995; Fliege, 1994; Misiti, Misiti, Oppenheim, and Poggi, 1996). Основна ідея використання багаточастотних банків фільтрів полягає в здатності системи виділити в частотній області сигнал при поділі на два або більше сигналів або скласти два або більше різних сигналів в один сигнал[3].

     Багатошвидкісна обробка сигналів (multirate processing) припускає, що в процесі лінійного перетворення цифрових сигналів можлива зміна  частоти дискретизації в бік зменшення або збільшення і, як наслідок, необхідної швидкості обробки. Це призводить до більш ефективної обробки сигналів, оскільки відкривається можливість значного зменшення необхідної обчислювальної продуктивності проектованої цифрової системи. В останні роки в області багатошвидкісної обробки сигналів досягнуто великого успіху. Багатошвидкісна фільтрація та особливості її застосування стали предметом досліджень численних наукових праць. З'явилися десятки монографій і навчальних посібників, так чи інакше пов'язаних з науковими та практичними досягненнями в цій галузі. Абсолютно унікальні можливості дає використання багатошвидкісної обробки в системах адаптивної і нелінійної фільтрації, стиску, аналізу та відновлення мови, звуку та зображень[11]. 

     1.1. Основні поняття 

     Фільтр (від англ. - «Filter») - лінійна стаціонарна  система, тобто  властивості фільтра  не залежать від часу. Незалежність властивостей фільтра від часу означає, що затримка входу призводить до такої ж затримки виходу. До основних характеристик фільтрів відносяться: імпульсна характеристика.

     Банк  фільтрів (від англ. - «Filter Banks») −  цифровий пристрій, в якому вхідний  сигнал, представлений послідовністю  відліків, за допомогою М різних цифрових фільтрів розбивається на М різних канальних сигналів (для обробки деяким способом кожного з них), з яких за допомогою вихідних фільтрів і наступного підсумовування утворюється послідовність відліків вихідного сигналу.

     Основну ідею побудови системи аналізу/синтезу сигналів з використанням банку фільтрів розкриває рис. 1.1.

     Рис. 1.1. Система аналізу / синтезу сигналів на основі банка фільтрів 

     Вихідний  сигнал розбивається за допомогою фільтрів аналізу) Hk(z), k=0,1...,M-1 на M субполосних складові, які в ідеальному випадку в частотній області не перекриваються. Підібравши відповідним чином набір фільтрів синтезу Fk(z), k=0,1 ...,M-1, можна відновити вихідний сигнал з його субполосних компонент. Внаслідок обмеження ширини спектра сигналів на виході БФ можна зменшити частоту дискретизації субполосних сигналів пропорційно зменшенню ширини спектра. Для пониження частоти дискретизації на стадії аналізу і подальшого підвищення на стадії синтезу використовуються відповідно компресори та експандери частоти дискретизації. У випадку, коли коефіцієнт проріджування в кожному каналі дорівнює відношенню ширини спектра субполосного сигналу до ширини спектра вихідного або

     говорять  про систему аналізу / синтезу з повною децимацією. Таким чином, виходить M сигналів, що відображають поведінку вихідного сигналу в кожному частотному піддіапазоні, які представлені в сумі тією ж кількістю відліків, що й вихідний сигнал. Кожен субполосний сигнал окремо може бути ефективно оброблений по деякому алгоритму b_k, k=0,1 ...,M-1.

     Традиційно  БФ поділяють на банки з рівнополосними і нерівнополосними каналами, ортогональні, біортогональні, двоканальні та багатоканальні і т.д. Кожен фільтр банку цифрових фільтрів утворює канал. Тому говорять про M-канальний банк фільтрів. Сигнал в каналі називається субполосою, звідси назва субполосна фільтрація або субполосне кодування.

     Рівнополосна декомпозиція має на увазі однаковий коефіцієнт децимації і однакову сумарну ширину смуги пропускання кожного каналу. В цей клас цифрових БФ входять також банки з багатокомпонентними фільтрами (що мають більше однієї смуги пропускання). У випадку  нарівнополосних каналів коефіцієнти децимації різні і в загальному випадку можуть бути виражені у вигляді раціонального числа

     У зв'язку з тим, що неможливо побудувати фільтр з ідеальною прямокутною АЧХ, доводиться миритися з наявністю у смугового фільтра перехідної зони і нерівномірністю в смузі пропускання. Ця обставина в поєднанні з ефектом «згортання» частот, що виникають при децимації, може призвести до значних спотворень при відновленні сигналу. Однак існують методики розрахунку БФ, які дозволяють повністю (БФ з повним відновленням) або майже повністю, тобто з будь-якою наперед заданою точністю, відновити вихідний сигнал.

     Дециматор (компресор частоти дискретизації) − пристрій, здійснює децимації (проріджування) сигналу в часі. Децимація (від англ. - «Decimation») − операція, що полягає у виключенні (пропуск) відліків вхідного сигналу, з порядковим номером, кратним коефіцієнту децимації. Децимації в M раз позначається зазвичай як (↓M): y(n)= (↓M)x(n) = x(nM). В частотній області це запишеться як

     тобто спектр вихідного сигналу операції децимації містить M копій «розширеного» в M раз спектра вхідного сигналу, як це показано на рис. 1.2.

     Рис. 1.2. Децимація сигналу в M раз.

     Як  видно з рис. 1.2, якщо сигнал не обмежений  смугою частот , то відбувається накладення спектрів копій, тобто елайзінг (від англ. - «Aliasing»). Тому в банку фільтрів перед децимацією виконується НЧ-фільтрація. Сукупність фільтру і дециматора називається фільтром- дециматором.

     Інтерполятор  − пристрій, що виконує дії, зворотні децимації. Інтерполяція (від англ. - «Interpolation») - операція, полягає у  вбудовуванні (додаванні) між відліками, чий порядковий номер кратний певному числу, деякої константи (зазвичай нуля). Інтерполяція в M раз зазвичай позначається як (↑M):

     В частотної області це запишеться як  , тобто спектр вихідного сигналу операції інтерполяції містить M копій «стисненого» в M раз спектру вхідного сигналу. Ці копії повторюються через .

     Для їх усунення після інтерполятора  ставиться НЧ-фільтр. Сукупність інтерполятора і фільтра називається фільтром-інтерполятором.

     Еквівалентні  схеми включення інтерполяторів і дециматорів. Дві «чудові» тотожності (від англ. - «Noble Identity») - дозволяють зменшити число обчислень в банку фільтрів. Це обумовлено тим, що частота дискретизації вхідного сигналу знижується за допомогою дециматора, а потім здійснюється процес фільтрації, таким чином загальна обчислювальна складність зменшується пропорційно коефіцієнту децимації. Після закінчення обробки субполосного сигналу в кожному каналі банку фільтрів частота дискретизації підвищується за допомогою інтерполятора. Дані рівності (еквівалентні схеми включення) широко застосовуються для виведення різних співвідношень і представлені на рис. 1.3.

     Рис. 1.3. Еквівалентні схеми включення фільтрів-дециматорів і фільтрів-інтерполяторов.

     Приведення  коефіцієнтів децимації.

     Якщо  банк фільтрів має нерівні коефіцієнти децимації (m_k не рівні як на рис. 1.1), він може бути трансформований в банк фільтрів з рівними коефіцієнтами децимації (усі m_k рівні) як описано нижче.

     Нехай N=lcm(m0,m1,…mM-1). Канал з коефіцієнтом децимації / інтерполяції m_k зображений на рис. 1.4. Наведемо систему з ланцюжком затримок з коефіцієнтом передискретизаціі N/m_k між стороною аналізу та синтезу, як показано на рис. 1.5.

     Рис. 1.4. К-й канал банка фільтрів

     Рис. 1.5. К-й канал з ланцюжком затримок

     Обидві  системи, представлені на рис. 1.4 і рис. 1.5 ідентичні, так як система з ланцюжком затримок володіє перфективною реконструкцією і має нульову затримку. Перестановка затримок в представленій системі до mk-дециматора і після mk-інтерполятора призводить до системи, представленої на рис. 1.6.

     Рис. 1.6. Еквівалентна система к-го каналу

     Таким чином, банк фільтрів з нерівними  коефіцієнтами децимації виражається  як банк фільтрів з рівними коефіцієнтами  децимації, що має N каналів. Повне відновлення[22]. 

     1.2. Основні принципи роботи багаточастотних фільтрів 

     При поділі сигналу на два або більше сигналів використовується система аналіз-синтезу. При аналізі сигнал розділяється за допомогою М-фільтрів  в M смугах тієї ж пропускної здатності, і кожен суб-сигнал децимується. У разі фільтра банків при n=8, загальний сигнал спочатку розділяється на  дві смуги. Після цього, децимований сигнал розділяється на дві смуги і так далі. Проробивши це три рази отримаємо трирівневий банк фільтрів відповідної структури, показаної на рисунку 1.7(б). У цьому випадку Н₀(z) є фільтром верхніх частот із смугою пропускання, яка дорівнює половині смуги проріджування, де коефіцієнт дорівнює 2, H₁(z) і H₂(z) є смуговими фільтрами із смугою пропускання дорівнює 1/4 
та 1/8 смуги, відповідно, і відповідними коефіцієнтами проріджування є 4 і 
8, а Н₃(z) є фільтр нижніх частот з тією ж пропускною здатністю і децимуючим коефіцієнтом як Н₂(z). У багатьох додатках процесор відповідає за зберігання сигналу в пам'ять або передачу його через канал. Основною метою є значне зниження, за допомогою належної схеми кодування, число бітів представляють вихідний сигнал для зберігання або 
передачі цілей. При поділі сигналу в різних смугах частот за допомогою банка фільтрів аналіз-синтезу, характеристики сигналу відрізняються в кожній групі і різна кількість бітів може використовуватися для кодування і декодування суб-сигналів. Типовим прикладом є використання системи в цілому для покращення адаптивної обробки сигналів. Іншим прикладом є де-зашумлення сигналу, здійснюється за допомогою спеціального банка фільтру, називається дискретно-часовим вейвлет-банком (Vetterli and Kova evi , 1995; Misiti et al., 1996).

     Рис. 1.7. Банк фільтрів (аналіз і синтез).(a) M-канальний банк фільтрів. (b) три рівня банка фільтрів. 

     Роль  фільтрів в частині синтезу полягає в приблизному відновленні вихідного сигналу. Це здійснюється в два етапи. По-перше, для рівномірного банка фільтра, М суб-сигналів на виході блоку обробки інтерполюються на коефіцієнт M і фільтруються М фільтрами синтезу Fk(z) при k = 0,1, ..., M-1, тоді як для октавного банка фільтр, інтерполяційні коефіцієнти суб-сигналів такі ж, як для частини аналізу. По-друге, виходи цих фільтрів додаються. В 
передачі і зберіганні додатків, кінцева мета полягає в розробці загальної системи, такої що, незважаючи на значне скорочення кількості біт, що використовуються в блоці обробки, реконструйований сигнал затримує вихідний сигнал або страждає від незначної втрати інформація, яку несуть суб-сигнали.

     Є два типи кодування, а саме, з втратами і без втрат. Для кодування із втратами, бажано розробити таку систему, що вихідний сигнал просто затримує вхідний сигнал або страждає від деяких фазових спотворень, які повинні бути допустимими в деяких додатках. Для кодування з втратами, це вигідно для розробки аналізу-синтез банка фільтрів, такі що деякі викривлення, включаючи спотворення амплітуди і помилки елайзінгу, будучи менше, ніж викликані спотворенням кодування не допускаються. Це збільшує загальну продуктивність банка. Ці факти дуже важливі для мови, аудіо-і комунікаційних додатків.

     У випадку з аудіо або мовними сигналами, мета полягає в розробці загальної системи , коли наші вуха не в змозі помітити помилки, викликані скороченням числа бітів які використовуються для зберігання або передачі. У випадку із зображеннями наші очі служать в якості "суддів", тому, мета полягає в скороченні числа бітів для представлення зображення до межі, яка все ще буде задовільною для наших очей.

     Залежно від того, скільки каналів використовуються для поділу сигналів, є дві групи банків фільтрів, а саме, багатоканальні або М-канальні банки фільтрів і двоканальні банки фільтрів (М = 2). У першій групі, сигнал розділяється на М різних каналів а в другій групі на два канали. Використовуючи деревоподібну структуру, двоканальний банк фільтрів може бути використаний для побудови М-канального банка фільтрів у разі, коли М є ступенем двійки. Більш ефективним способом побудови М-канального банка фільтрів є вперше розробити прототип фільтра в належному порядку. Фільтри в аналізі та синтезі банків генерується за допомогою цього прототипу фільтра використовуючи косинус-модуляцію або модифіковане дискретне перетворення Фур'є (Malvar, 1992b; Vaidyanathan, 1993; Fliege, 1993; Heller, Karp, and Nguyen 1999; Karp, Mertins, and Schuller 2001).

     Двоканальні банки фільтрів є дуже корисними у створенні вісімкових банків фільтрів. У цьому випадку, загальний сигнал спочатку розкладується за допомогою двоканального банка фільтра на дві полоси. Після цього, децимований відфільтрований сигнал нижніх частот розділяється на дві смуги, використовуючи той же двоканальний банк фільтр, і так далі. Існують два основних типи вісімкових банків фільтрів, а саме, частотно-селективні банки фільтрів – в основному використовуються для аудіо- та телекомунікаційних систем і дискретно-часові вейвлет банки, що використовуються в додатках, де форму сигналу бажано зберегти, як і у випадку зображень. Для дискретно-часових вейвлет банків, вибір частот для фільтрів у вісімковому банк-фільтру аналіза і синтеза є не таким важливим у зв'язку з їх різними додатками. У цих випадках основною метою є збереження вхідного сигналу після обробки його належним чином в блоці обробки.

     Коли  два або більше різних сигналів складаються  в єдиний сигнал, то використовується система рівномірного синтез-аналізу, як показано на рисунку 1.8. Ця система називається також трансмультіплексор.

     Рис. 1.8. Банк фільтрів синтезу і аналізу: Трансмультіплексор. 

     У цій системі всі сигнали M інтерполюються коефіцієнтом M і фільтруються М синтез-фільтрів Fk(z) при k = 0,1, ..., M-1. Потім виходи додаються. Наступний крок полягає в передачі сигналу через канал. Нарешті, в аналізі банка вихідних сигналів відновлюються за допомогою М аналізуючих фільтрів Hk(z) при k = 0,1, ..., M-1. Ці сигнали мають оригінальну частоту дискретизації через децимацію на коефіцієнт M. Якщо вихідний сигнал в системі аналіз-синтезу це просто затримка вхідного сигналу, то для відповідного трансмультіплексора вихідних сигналів у разі ідеального каналу є затримка вхідного сигналу. Таким чином, трансмультіплексор може бути перетворений в банк фільтра аналіз-синтезу[7].

Висновки 

       Банки фільтрів використовуються для спектрального аналізу і синтезу сигналів. Вони грають важливу роль у багатьох сучасних програмах обробки сигналів, таких як аудіо, кодування зображення. Причина їхньої популярності є той факт, що вони легко дозволяють отримати спектральні складові сигналу, забезпечуючи при цьому дуже ефективно реалізацію. Так як більшість банків фільтрів зв'язані з різними частотами дискретизації, вони також називають багаточастотними системами[6].

       Багаточастотна  дискретизація дуже ефективна для  побудови банків фільтрів та для вирішень задач обробки сигналів за допомогою вейвлет-розкладу[9]. 

Список  використаних джерел