Строение атома. 4

Содержание

1. Строение атома
2. Атом как целое
3. Законы Дальтона
4. Число Авогадро
5. Открытие электрона

6. Другие доказательства сложной структуры атома

7. Квантовая теория Бора
8. Квантовая механика атома
9. Периодическая система элементов
10. Дальнейшее исследование структуры атомов

Строение атома

Существует  целый раздел физики, изучающий внутреннее устройство атомов (Строение атома). Атомы, первоначально считавшиеся неделимыми, представляют собой сложные системы. Они имеют массивное ядро, состоящее из протонов и нейтронов, вокруг которого в пустом пространстве движутся электроны. Атомы очень малы – их размеры порядка 10^–10–10^–9 м, а размеры ядра еще примерно в 100 000 раз меньше (10^–15–10^–14 м). Поэтому атомы можно «увидеть» только косвенным путем, на изображении с очень большим увеличением (например, с помощью автоэлектронного проектора). Но и в этом случае атомы не удается рассмотреть в деталях. Наши знания об их внутреннем устройстве основаны на огромном количестве экспериментальных данных, которые косвенно, но убедительно свидетельствуют в пользу сказанного выше.

Представления о строении атома радикально изменились в 20 веке под влиянием новых теоретических  идей и экспериментальных данных. В описании внутреннего строения атомного ядра до сих пор остаются нерешенные вопросы, которые служат предметом интенсивных исследований. В следующих разделах излагается история развития представлений  о строении атома как целого; строению ядра посвящена отдельная статья,  поскольку эти представления  развивались в значительной степени  независимо. Энергия, необходимая для  исследования внешних оболочек атома, относительно невелика, порядка тепловой или химической энергии. По этой причине  электроны были экспериментально обнаружены задолго до открытия ядра.

Ядро  же при его малых размерах очень  сильно связано, так что разрушить  и исследовать его можно только с помощью сил, в миллионы раз  более интенсивных, нежели силы, действующие  между атомами. Быстрый прогресс в понимании внутренней структуры  ядра начался лишь с появлением ускорителей  частиц. Именно это огромное различие размеров и энергии связи позволяет  рассматривать структуру атома  в целом отдельно от структуры  ядра.

Чтобы составить представление о размерах атома и незаполненности занимаемого им пространства, рассмотрим атомы, составляющие каплю воды диаметром 1 мм. Если мысленно увеличить эту каплю до размеров Земли, то атомы водорода и кислорода, входящие в молекулу воды, будут иметь в поперечнике 1–2 м. Основная же часть массы каждого атома сосредоточена в его ядре, поперечник которого при этом составил всего 0,01 мм.

АТОМ КАК ЦЕЛОЕ

Историю возникновения самых общих представлений  об атоме обычно ведут со времен греческого философа Демокрита (460 – 370 до н. э.), много размышлявшего о наименьших частицах, на которые можно было бы поделить любое вещество. Группу греческих философов, придерживавшихся того взгляда, что существуют подобные крошечные неделимые частицы, называли атомистами. Греческий философ Эпикур (342–270 до н.э.) принял атомную теорию, и в первом веке до н.э. один из его последователей, римский поэт и философ Лукреций Кар, изложил учение Эпикура в поэме «О природе вещей», благодаря которой оно и сохранилось для следующих поколений. Аристотель (384–322 до н.э.), один из крупнейших ученых древности, атомистическую теорию не принимал, и его взгляды на философию и науку преобладали впоследствии в средневековом мышлении. Атомистической теории как бы не существовало до самого конца эпохи Возрождения, когда на смену чисто умозрительным философским рассуждениям пришел эксперимент.

В эпоху  Возрождения начались систематические  исследования в областях, именуемых  ныне химией и физикой, принесшие  с собой новые догадки о  природе «неделимых частиц». Р.Бойль (1627–1691) и И.Ньютон (1643–1727) исходили в своих рассуждениях из представления о существовании неделимых частиц вещества. Однако ни Бойлю, ни Ньютону не потребовалось детальной атомистической теории для объяснения интересовавших их явлений, и результаты проведенных ими экспериментов не сказали ничего нового о свойствах «атомов».

( Структура  атома )

Законы Дальтона.

Первым действительно научным  обоснованием атомистической теории, убедительно продемонстрировавшим рациональность и простоту гипотезы о том, что всякий химический элемент  состоит из мельчайших частиц, явилась  работа английского школьного учителя  математики Дж.Дальтона (1766–1844), статья которого, посвященная этой проблеме, появилась в 1803.

Дальтон изучал свойства газов, в частности  отношения объемов газов, вступавших в реакцию образования химического  соединения, например, при образовании  воды из водорода и кислорода. Он установил, что отношения прореагировавших количеств водорода и кислорода  всегда представляют собой отношения  небольших целых чисел. Так, при  образовании воды (H₂O) в реакцию с 16 г кислорода вступают 2,016 г газообразного водорода, а при образовании пероксида водорода (H₂O₂) с 2,016 г водорода соединяются 32 г газообразного кислорода. Массы кислорода, реагирующие с одной и той же массой водорода при образовании этих двух соединений, соотносятся между собой как небольшие числа:

16:32 = 1:2.

На  основе подобных результатов Дальтон  сформулировал свой «закон кратных  отношений». Согласно этому закону, если два элемента соединяются в  разных пропорциях, образуя разные соединения, то массы одного из элементов, соединяющиеся с одним и тем  же количеством второго элемента, соотносятся как небольшие целые  числа. По второму закону Дальтона, «закону постоянных отношений», в  любом химическом соединении соотношение  масс входящих в него элементов всегда одно и то же. Большое количество экспериментальных данных, относящихся  не только к газам, но также и к  жидкостям и твердым соединениям, собрал Й.Берцелиус (1779–1848), который  провел точные измерения реагирующих  масс элементов для многих соединений. Его данные подтвердили сформулированные Дальтоном законы и убедительно  продемонстрировали наличие у каждого  элемента наименьшей единицы массы.

Атомные постулаты Дальтона имели то преимущество перед абстрактными рассуждениями  древнегреческих атомистов, что  его законы позволяли объяснить  и увязать между собой результаты реальных опытов, а также предсказать  результаты новых экспериментов. Он постулировал, что 1) все атомы одного и того же элемента тождественны во всех отношениях, в частности, одинаковы  их массы; 2) атомы разных элементов  имеют неодинаковые свойства, в частности, неодинаковы их массы; 3) в соединение, в отличие от элемента, входит определенное целое число атомов каждого из составляющих его элементов; 4) в  химических реакциях может происходить  перераспределение атомов, но ни один атом не разрушается и не создается  вновь. (В действительности, как выяснилось в начале 20 в., эти постулаты не вполне строго выполняются, т.к. атомы одного и того же элемента могут иметь разные массы, например водород имеет три такие разновидности, называемые изотопами; кроме того, атомы могут претерпевать радиоактивные превращения и даже полностью разрушиться, но не в химических реакциях, рассматривавшихся Дальтоном.) Основанная на этих четырех постулатах атомная теория Дальтона давала самое простое объяснение законов постоянных и кратных отношений.

Хотя  законы Дальтона лежат в основе всей химии, ими не определяются фактические  размеры и массы атомов. Они  ничего не говорят о числе атомов, содержащихся в определенной массе  элемента или соединения. Молекулы простых веществ слишком малы, чтобы их можно было взвесить по отдельности, поэтому для определения  масс атомов и молекул приходится прибегать к косвенным методам.

Число Авогадро.

В 1811 А.Авогадро (1776–1856) выдвинул гипотезу, которая значительно упрощала анализ того, как из элементов образуются соединения, и устанавливала различие между атомами и молекулами. Его  мысль состояла в том, что равные объемы газов, находящиеся при одинаковых температуре и давлении, содержат одно и то же число молекул. В принципе намек на это можно найти в  более ранней работе Ж.Гей-Люссака (1778–1850), который установил, что отношение  объемов газообразных элементов, вступающих в химическую реакцию, выражается целыми числами, хотя и отличными от отношений  масс, полученных Дальтоном. Например, 2 л газообразного водорода (молекулы H₂), соединяясь с 1 л газообразного кислорода (молекулы O₂), образуют 1 л паров воды (молекулы H₂O).

Истинное  число молекул в данном объеме газа чрезвычайно велико, и до 1865 его не удавалось определить с  приемлемой точностью. Однако уже во времена Авогадро проводились грубые оценки на основе кинетической теории газов. Очень удобной единицей измерения  количества вещества является моль, т.е. количество вещества, в котором столько  же молекул, сколько атомов в 0,012 кг самого распространенного изотопа  углерода ¹²С. Один моль идеального газа при нормальных условиях (н.у.), т.е. стандартных температуре и давлении, занимает объем 22,4 л. Число Авогадро – это полное число молекул в одном моле вещества или в 22,4 л газа при н.у. Другие методы, такие, как рентгенография, дают для числа Авогадро N₀ более точные значения, нежели полученные на основе кинетической теории. Значение, принятое в настоящее время, таково: 6,0221367×10²³ атомов (молекул) в одном моле. Следовательно, в 1 л воздуха содержится примерно 3×10²² молекул кислорода, азота и других газов.

Важная  роль числа Авогадро для физики атома  связана с тем, что оно позволяет  определить массу и приблизительные  размеры атома или молекулы. Поскольку  масса 22,4 л газообразного H₂ составляет 2,016×10^–3кг, масса одного атома водорода равна 1,67×10^–27 кг. Если считать, что в твердом теле атомы расположены вплотную друг к другу, то число Авогадро позволит приближенно оценить радиус r, скажем, атомов алюминия. Для алюминия 1 моль равен 0,027 кг, а плотность – 2,7×10³кг/м³. При этом имеем

откуда r » 1,6×10^–10 м. Так первые оценки числа Авогадро дали представление об атомных размерах.

Открытие электрона.

Экспериментальные данные, связанные с образованием химических соединений, подтверждали существование «атомных» частиц и позволили судить о малых  размерах и массе отдельных атомов. Однако реальная структура атомов, в том числе и существование  еще меньших частиц, составляющих атомы, оставалась неясной до открытия Дж.Дж.Томсоном электрона в 1897. До той  поры атом считался неделимым и различие в химических свойствах различных  элементов не имело своего объяснения. Еще до открытия Томсона был выполнен ряд интересных экспериментов, в  которых другие исследователи изучали  электрический ток в стеклянных трубках, наполненных газом при  низких давлениях. Такие трубки, названные  трубками Гейсслера по имени немецкого  стеклодува Г.Гейсслера (1815–1879), который  первым начал изготовлять их, испускали  яркое свечение, будучи подключены к высоковольтной обмотке индукционной катушки. Этими электрическими разрядами  заинтересовался У.Крукс (1832–1919), который  установил, что характер разряда  в трубке меняется в зависимости  от давления, и разряд полностью  исчезает при высоком вакууме. Более  поздние исследования Ж.Перрена (1870–1942) показали, что вызывающие свечение «катодные лучи» представляют собой  отрицательно заряженные частицы, которые  движутся прямолинейно, но могут отклоняться  магнитным полем. Однако заряд и  масса частиц оставались неизвестны и было неясно, одинаковы ли все  отрицательные частицы.

Огромной  заслугой Томсона явилось доказательство того, что все частицы, образующие катодные лучи, тождественны друг другу  и входят в состав вещества. С  помощью разрядной трубки особого  типа, изображенной на рис. 2, Томсон измерил  скорость и отношение заряда к  массе частиц катодных лучей, позднее  названных электронами. Электроны  вылетали из катода под действием  высоковольтного разряда в трубке. Через диафрагмы D и E проходили только те из них, что летели вдоль оси трубки.

( Трубка, использованная английским физиком Дж.Томсоном для определения отношения заряда к массе для катодных лучей. Эти опыты привели к открытию электрона).

В нормальном режиме эти электроны попадали в  центр люминесцентного экрана. (Трубка Томсона была первой «электронно-лучевой  трубкой» с экраном, предшественницей телевизионного кинескопа.) В трубке находилась также пара пластин электрического конденсатора, которые, если на них  подавалось напряжение, могли отклонять  электроны. Электрическая сила F_E, действующая на заряд e со стороны электрического поля E, дается выражением  F_E = eE.

Кроме того, в той же области трубки с помощью пары катушек с током  могло создаваться магнитное  поле, способное отклонять электроны  в противоположном направлении. Сила F_H, действующая со стороны магнитного поля H, пропорциональна напряженности поля, скорости частицы v и ее заряду e:

F_H = Hev.

Томсон  отрегулировал электрическое и  магнитное поля так, чтобы полное отклонение электронов было равно нулю, т.е. электронный пучок вернулся в первоначальное положение. Поскольку  в этом случае обе силы F_E и F_Hравны, скорость электронов дается выражением

v = E/H.

Томсон установил, что  эта скорость зависит от напряжения на трубке V и что кинетическая энергия электронов mv²/2 прямо пропорциональна этому напряжению, т.е. mv²/2 = eV. (Отсюда термин «электрон-вольт» для энергии, приобретаемой частицей с зарядом, равным заряду электрона при ускорении разностью потенциалов 1 В.) Комбинируя это уравнение с выражением для скорости электрона, он нашел отношение заряда к массе:

Эти опыты позволили определить отношение e/m для электрона и дали приближенное значение заряда e. Точно величина e была измерена Р.Милликеном, который в своих опытах добивался, чтобы заряженные капельки масла висели в воздухе между пластинами конденсатора. В настоящее время характеристики электрона известны с большой точностью:

Таким образом, масса электрона  значительно меньше массы атома  водорода:

Эксперименты Томсона  показали, что электроны в электрических  разрядах могут возникать из любого вещества. Поскольку все электроны  одинаковы, элементы должны различаться  лишь числом электронов. Кроме того, малая величина массы электронов указывала на то, что масса атома  сосредоточена не в них.

Другие доказательства сложной структуры атома.

В то самое время, когда  Томсон и другие исследователи экспериментировали с катодными лучами, открытие рентгеновского излучения и радиоактивности  принесло дополнительные доказательства сложной структуры атома. В 1895 В.Рентген (1845–1923) случайно обнаружил таинственное излучение («Х-лучи»), проникавшее сквозь черную бумагу, которой он оборачивал трубку Крукса при исследовании зеленой люминесцирующей области электрического разряда. Х-лучи вызывали свечение удаленного экрана, покрытого кристаллическим платиноцианидом бария. Рентген выяснил, что различные вещества разной толщины, введенные между экраном и трубкой, ослабляют свечение, но не гасят его полностью. Это свидетельствовало о чрезвычайно высокой проникающей способности Х-лучей. Рентген установил также, что эти лучи распространяются прямолинейно и не отклоняются под действием электрических и магнитных полей. Возникновение такого невидимого проникающего излучения при бомбардировке электронами различных материалов было чем-то совершенно новым. Было известно, что видимый свет от трубок Гейсслера состоит из отдельных «спектральных линий» с определенными длинами волн и, значит, связан с «колебаниями» атомов, имеющими дискретные частоты. Существенная особенность нового излучения, отличавшая его от оптических спектров, помимо высокой проникающей способности, состояла в том, что оптические спектры элементов с последовательно возраставшим числом электронов полностью отличались друг от друга, тогда как спектры X-лучей очень незначительно изменялись от элемента к элементу.

Еще одним открытием, имеющим  отношение к строению атома, было то, что атомы некоторых элементов  могут спонтанно испускать излучение. Это явление было обнаружено в 1896 А.Беккерелем (1852–1908). Беккерель открыл радиоактивность, используя соли урана  в процессе изучения люминесценции  солей под действием света  и ее связи с люминесценцией стекла в рентгеновской трубке. В одном  из опытов наблюдалось почернение фотопластинки, завернутой в черную бумагу и находившейся около урановой соли в полной темноте. Это случайное открытие стимулировало  интенсивные поиски других примеров естественной радиоактивности и  постановку опытов по определению природы  испускаемого излучения. В 1898 П.Кюри (1859–1906) и М.Кюри (1867–1934) обнаружили еще два  радиоактивных элемента – полоний  и радий. Э.Резерфорд (1871–1937), исследовав проникающую способность излучения  урана, показал, что имеются два  типа излучений: очень «мягкое» излучение, которое легко поглощается веществом  и которое Резерфорд назвал альфа-лучами, и более проникающее излучение, которое он назвал бета-лучами. Бета-лучи оказались тождественными обычным  электронам, или «катодным лучам», возникающим в разрядных трубках. Альфа-лучи, как выяснилось, имеют  такие же заряд и массу, как  и атомы гелия, лишенные двух своих  электронов. Третий тип излучения, названный  гамма-лучами, оказался сходен с X-лучами, но обладал еще большей проникающей способностью.

Все эти открытия ясно показали, что атом не является «неделимым». Он не только состоит из более мелких частей (электронов и более тяжелых  положительных частиц), но эти и  другие субчастицы, по-видимому, самопроизвольно  испускаются при радиоактивном  распаде тяжелых элементов. Кроме  того, атомы не только испускают  излучение в видимой области  с дискретными частотами, но и  могут так возбуждаться, что начинают испускать более «жесткое» электромагнитное излучение, а именно X-лучи.

Квантовая теория Бора.

Н.Бор (1885–1962) работал в 1912–1913 у Резерфорда, когда тот проводил опыты по рассеянию, и вернулся в 1913 в Копенгаген с  множеством новых идей. Требовал своего объяснения ряд явлений, помимо только что открытых в «ядерных» экспериментах  по рассеянию. Теперь, когда была отвергнута томпсоновская модель атома, узкие, дискретные спектральные линии в излучении разрядных трубок и эмпирические закономерности в их частотах казались еще менее понятными.

Был и другой атомный эффект, открытый в 1887 Г.Герцем (1857–1894), а именно фотоэффект. Суть его в том, что свет, падающий на свежеочищенную поверхность металла, выбивает из нее электроны, если частота  света достаточно высока. Для каждого  металла имеется своя пороговая  частота. Опыты показали, что тормозящее электростатическое поле, уменьшающее  до нуля ток фотоэлектронов, не зависит  от интенсивности света, но зависит  от его длины волны. Электромагнитная теория, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны, оказалась  не в состоянии объяснить это, поскольку по этой теории для испускания электрона с любой скоростью  атому нужно только достаточно долго  поглощать энергию. В 1905 А.Эйнштейн (1879–1955) предложил объяснение фотоэффекта, которое полностью согласовалось  с экспериментальными данными, но требовало  коренного пересмотра существовавшей концепции света как волнового  процесса. Эйнштейн предположил, что  свет переносит энергию порциями, которые называются фотонами или  квантами света, причем их энергия дается выражением E =hn, где n – частота света, а h – «постоянная Планка», равная 6,626×10^–34Дж×с. Попадая на поверхность металла, фотон передает всю свою энергию электрону. Поскольку электрон связан с поверхностью электростатическими силами, ему для вылета необходима энергия W(«работа выхода»), а остальная часть полученной электроном энергии превращается в его кинетическую энергию, т.е. hn = W + ¹/₂mv². Гипотеза Эйнштейна объясняла, почему кинетическая энергия фотоэлектронов зависит от частоты света, а число испускаемых электронов – от его интенсивности.

Как часто происходит с научными открытиями, оказалось, что гипотеза «квантов»  Эйнштейна имеет в своей основе более раннюю теорию. М.Планк (1858–1947) первым привлек идею квантования  для объяснения наблюдаемого спектрального  состава излучения нагретых тел. Ему удалось объяснить спектр, предположив, что гармонические  осцилляторы поглощают и излучают лишь дискретные порции энергии hn.

Бор блестяще применил квантовую гипотезу к описанию орбит электронов в  атомах и их излучения. Он отбросил идею о том, что электроны ведут  себя подобно осцилляторам, а вместо этого представил динамику атома  в виде движения электронов по орбитам  вокруг ядра, наподобие движения планет по орбитам вокруг Солнца. Сила электростатического  притяжения электрона ядром является центростремительной силой, заставляющей электрон двигаться по круговой орбите радиуса r со скоростью v. В общем случае ядра с зарядом Ze имеем

В таком  силовом поле (когда сила обратно  пропорциональна расстоянию до центра притяжения) кинетическая энергия движения всегда равна – 1/2 потенциальной  энергии:

а полная энергия, т.е. сумма кинетической и  потенциальной энергий, равна:

Эти соотношения следуют из обычных  законов механики и электростатики. Бор, в дополнение к ним, сформулировал  следующие постулаты, составляющие основу квантовой теории атома.

I. Разрешены  только такие круговые орбиты, для которых момент импульса  равен целому числу в единицах  постоянной Планка, деленной на 2p. (Момент импульса тела l, движущегося по круговой орбите, равен произведению его массы m на скорость v и радиус орбиты r.) Таким образом,

II. Хотя, согласно электромагнитной  теории, любая заряженная частица,  движущаяся с ускорением, должна  испускать излучение, электроны  не испускают излучения, двигаясь  по своим орбитам внутри атома.  Излучение возникает только при  переходе электрона с одной  квантованной орбиты на другую.

III. Частота этого излучения определяется  изменением полной энергии, т.е.  разностью энергий атома в  начальном и конечном состояниях:

hn = E₂ – E₁.

Эти условия квантования энергии  приводят к дискретным орбитам электронов. Решая уравнение (2) относительно скорости и подставляя в (4), получаем

или, если ввести «боровский радиус» a₀ = h²/4p2me² » 5,29×10^–11 м,

На  рисунке  изображены первые шесть  орбит электронов в атоме водорода, соответствующие теории Бора. Показаны также переходы, сопровождающиеся испусканием  дискретных спектральных линий. Каждая серия спектральных линий носит  имя ее открывателя; из всех серий  лишь часть серии Бальмера лежит  в видимой области спектра.

( АТОМ ВОДОРОДА. Изображены шесть круговых орбит, отвечающих стабильным энергетическим уровням отдельного электрона. Приведены также различные серии спектральных линий, соответствующие переходам с одной орбиты на другую)

На  другом рисунке показано, как выглядят линии серии Бальмера на фотопластинке  спектрографа. Нетрудно видеть, что  линии сгущаются вблизи границы  серии.

(СПЕКТРАЛЬНЫЕ  ЛИНИИ водорода H и ртути Hg. Обозначения  линий соответствуют переходам, показанным на рис.; эти линии составляют часть серии Бальмера)

Энергии состояний атома, отвечающих каждому  целому значению n, также квантованы:

Используя третий постулат Бора и соотношение с = ln между скоростью, длиной волны и частотой, можно теперь объяснить эмпирическую формулу, найденную Бальмером для его серии линий:

просто  как частный случай формулы Бора. С ее помощью можно вычислить  «постоянную Ридберга» R_H :

Значение R_H, найденное Бальмером, составляло 10967776 м^–1; используя имевшиеся в то время значения m, e, c и h, Бор получил R_H = 1,03×10⁷ м^–1. Современное значение R_H составляет 10979708 м^–1. Таким образом, соответствие теории Бора с экспериментом достаточно хорошее. Расхождение в величине R_H объясняется неточностью значений фундаментальных констант m, e, c, h, которыми пользовался Бор, а также необходимостью учета ряда поправок, главной из которых является поправка на движение ядра (см. ниже).

Таким образом, Бор своей  теорией с самого начала добился  значительного успеха, дав не только качественное, но и количественное объяснение линиям водородного спектра  и применив представления Планка и Эйнштейна о квантах в  теории оптических спектров.

В 1914 Дж.Франк (1882–1964) и Г.Герц (1887–1975) экспериментально подтвердили  правильность представления о квантовании  энергетических уровней, бомбардируя  атомы паров ртути электронами  с известной энергией. Они измеряли энергию, теряемую электронами при  рассеянии на атомах ртути. Электроны  с энергией ниже определенного порогового значения вообще не передавали энергию  атомам ртути; но, как только энергия  электронов оказывалась достаточной  для возбуждения перехода атома  ртути на ближайший уровень с  более высокой энергией, электроны  интенсивно передавали свою энергию. Это  было убедительным доказательством  существования квантованных энергетических уровней.

Теория Бора позволила  объяснить и происхождение рентгеновского излучения (X-лучей): это излучение испускается в результате выбивания (бомбардирующим атом электроном) электрона с внутренней орбиты атома: на освободившееся место переходят электроны с внешних оболочек атома. Поскольку энергия при этом изменяется значительно больше, чем при оптическом переходе, рентгеновское излучение оказывается более коротковолновым, нежели видимый свет, и более проникающим. Теория Бора объяснила не только линии Бальмера, наблюдаемые в видимой части спектра, но и другие серии линий в ультрафиолетовой (серию Лаймана) и инфракрасной (серию Пашена) области, которые были обнаружены с помощью фотографических методов.

Хотя масса M ядра водорода (протона) значительно больше массы электрона, движущегося по орбите в атоме, было бы неправильным считать, что в этой «динамической» модели атома протон покоится. Как указал А.Зоммерфельд (1868–1951), в силу законов сохранения энергии и импульса ядро и электрон должны вращаться относительно общего центра масс с одинаковой угловой скоростью (при этом ядро расположено гораздо ближе к центру масс). Влияние этого движения ядра на энергию электронных состояний можно учесть, просто заменив массу электрона m«приведенной массой»

где M – масса ядра рассматриваемого атома. В случае водорода величинаm меньше m на 1/1837. Однако точность спектроскопических измерений такова, что такая поправка заметно улучшает согласие теории с экспериментом.

Эффектной демонстрацией  возможностей модифицированной теории Бора для атома водорода явилось  открытие «тяжелого водорода» (дейтерия) ²Н. Масса ядра дейтерия почти вдвое превышает массу протона, и хотя дейтерий составляет всего 1/4500 часть обычного газообразного водорода, его наличие проявляется на фотоснимках спектра, сделанных с высоким разрешением, в виде очень слабых линий, сдвинутых относительно основных линий из-за различия в величине m. После того как Ф.Астон (1977–1945) обнаружил в 1931 очевидное расхождение в значениях атомной массы водорода, Р.Бёрдж (1887–1980) и Д.Менцель выдвинули гипотезу о существовании двух разновидностей водорода с разными массами изотопов. В 1932 Г.Юри (1893–1981), Дж.Мерфи и Ф.Брикведде (1903–1989) провели серию экспериментов, в которых спектр водорода фотографировался с помощью вогнутой дифракционной решетки радиусом 6,4 м. Они обнаружили слабые дейтериевые линии там, где их предсказывали (длина волны, отвечающая линии H_a , была смещена на 179,3 нм), и, взяв образцы, обогащенные тяжелым изотопом, получили не вызывающие сомнения яркие линии.

Зоммерфельд развил далее  теорию Бора, указав на то, что круговые орбиты – это лишь частный случай и что постулаты Бора могут  быть введены и в случае эллиптических  орбит. (При движении по эллиптической  орбите скорость наряду с азимутальной имеет и радиальную составляющую. При этом движение происходит в одной плоскости, а центр притяжения располагается в одном из фокусов.) Таким образом, на обобщенный импульс p_i налагаются два условия квантования, связанные с «периодическими координатами» q_i. (Область изменения периодических координат повторяется с определенным периодом; например, угловое положение электрона относительно ядра представляет собой периодическую координату.) В общем случае

Таким образом, для того чтобы  орбита существовала, интеграл от импульса по координате за период должен быть равен  целому числу постоянных Планка. При  движении по эллиптической орбите существуют два независимых уравнения