Связь экспоненциального распределения с распределением Пуассона

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

   ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

   ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

   МОСКОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ ЭЛЕКТРОНИКИ И  АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ) 
 
 
 
 
 

   КУРСОВАЯ  РАБОТА 

   по  дисциплине: 

   Надёжность  и испытание ИРЭ 

   на  тему: 

   «Связь экспоненциального распределения

   с распределением Пуассона» 
 
 
 
 
 
 

         Выполнил  студент гр. ЭС-11-07

         Маслов  К.И. 
 

         Преподаватель

         Гродзенский С. Я.  
 
 
 
 
 
 
 

   Москва, 2011 
 

Содержание 

  

1. Введение
2. Экспоненциальное распределение
3. Распределение Пуассона
4. Связь между экспоненциальным распределением и распределением Пуассона на примере модели чистого рождения
5. Применение модели чистого рождения
6. Список литературы

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение

 

    Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

    Важный  вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В  первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

    Основной  целью реферата является выявление связи между экспоненциальным распределением и распределением Пуассона. 
 
 
 
 

2. Экспоненциальное  распределение

 

    Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Т, которое описывается плотностью:

    

    (1.1) 

    где λ — постоянная положительная  величина.

    В определенных случаях принимают  λ=λ(t)=const, это можно делать когда:

    — есть оборудование, у которого контроль перед вводом в эксплуатацию отсеивает почти все дефектные элементы;

    — есть элементы, которые практически  не стареют;

    — у большинства элементов  имеется  длительный период, на котором интенсивность  отказов практически постоянна.

    Из  выражения (1.1) видно, что показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

    Графики плотности и функции распределения показательного закона показаны на рисунке 1.1. 

    

    Рисунок 1.1 — Графики плотности f (t) и функции распределения F (t) показательного закона. 

    Найдем  вероятность попадания в интервал (а, в) непрерывной СВ  Т. Эта вероятность  есть приращение функции распределения непрерывной СВ Т на заданном интервале ( рисунок 1.2). 

    

    Рисунок 1.2 — Приращение функции  распределения в  интервале (а, в) 

    Учитывая, что: F (a) = 1 – e-λa, F (в) = 1 – e-λв.

    Получим:

    P (a<T< в) = e-λa – e-λв. (1.2)

    Числовые  характеристики показательного распределения следующие:

    — математическое ожидание:

    mt = M (T) = 1/λ  (1.3)

    — дисперсия величины Т:

    Д(T) = 1/λ2 (1.4)

    — среднее квадратическое отклонение:

    σt =  = 1/λ     (1.5)

    — среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа):

    Tср = 1/λ. (1.6)

    Показательное распределение широко применяется  на практике, в частности в теории надежности, одним из основных понятий  которой являются функция надежности и функция ненадежности.

    Вероятность безотказной работы за время длительностью  t будет равна:

    R (t) = P (T > t) = 1 – F (t).           (1.7)

    Функцию R (t), определяющую вероятность безотказной  работы элемента за время длительностью t   называют функцией надежности.

    Функция распределения F (t) = Р(Т<t) определяет вероятность отказа время длительностью t и называется функцией ненадежности.

    На  практике длительность времени безотказной  работы элемента часто имеет показательное  распределение с функцией распределения:

    F (t) = 1-e-λt.                         (1.8)

    Поэтому, согласно выражению (1.7), функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента будет иметь вид:

    R (t) = 1 — F (t)= e-λt                  (1.9)

    Функцию надежности, определяемую равенством (1.7), называют показательным законом надежности. Основное свойство этого закона состоит в том, что вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение объекта не зависит от прошлого, если в настоящий момент он работоспособен. 

    Графики, характеризующие вероятность отказа Q (t) и вероятность безотказной  работы P (t), представлены на рисунке 1.3. 

    

    Рисунок 1.3 – Вероятность отказа Q (t) и безотказной

    работы P (t) при экспоненциальном законе распределения 

3. Распределение Пуассона

 

    Это распределение также как и  биномиальное описывает характеристики дискретных СВ.

    Рассмотрим  дискретную СВ X, которая может принимать  только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2,...,m, причем последовательность этих значении теоретически не ограничена.

    СВ X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m,выражается формулой: 

    

    (1.10)

    где а — некоторая положительная  величина, называемая параметром закона Пуассона.

    Последовательность вероятностей, задаваемая формулой (1.10), представляет собой ряд распределения, т. е. сумма всех вероятностей Рm равна единице и имеет вид:

 

    Зададим параметру а некоторые численные  значения и определим вероятности Рm для различных значений т по формуле (1.10). В результате этих действии получим данные рядов распределения. На их основе построены многоугольники распределения СВ X, распределенной по закону Пуассона (рисунок 1.4).

    Из  рисунка 1.4 видно, что в зависимости от параметра а многоугольники распределения имеют существенные различия и по форме похожи на другие известные законы распределения СВ. 

    

    Рисунок 1.4 — Многоугольники распределения 

    Одной из основных числовых характеристик  СВ X, распределенной по закону Пуассона, является математическое ожидание:

    

    (1.11)

    После некоторых преобразовании получим:  mx = а. Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание СВ X.

    Другая  числовая характеристика – дисперсия, которая тоже равна параметру а, т. е. Дх = а.

    Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна  ее математическому ожиданию а:

    mx =Дх = a (1.11)

    Это свойство распределения Пуассона часто  применяется на практике для решения  вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что СВ X распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики — математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то это может служить основанием в пользу гипотезы о пуассоновском распределении.

    В задачах энергетики наибольший интерес  представляют потоки событии, распределение  которых описывается законом  Пуассона.

    Под потоком событий понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток сбоев электронной вычислительной машины; потоки отказов энергетических объектов (выключателей, разъединителей, трансформаторов и др.) в достаточно большой системе и     т. п.

    События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем  рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами  появления. Такой поток можно  изобразить как последовательность точек t1, t2, ..., tk на числовой оси (рисунок 1.5).

    

    Рисунок 1.5 — Представление  потока событий 

    Рассмотрим  на оси 0t простейший поток событий  как неограниченную последовательность случайных точек (см. рисунок 1.5). Выделим произвольный участок времени длиной τ. Доказано, что при условиях стационарности, отсутствия последействия и ординарности потока событий, число точек, попадающих па участок τ, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием:

    a = λτ,  (1.12)

    где λ — плотность потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени). 
 

    Вероятность того, что за время τ произойдет ровно m событий, будет равна:

    

    (1.13)

    Вероятность того, что участок окажется пустым (не произойдет ни одного события):

    

    (1.14)

    Вероятность появления хотя бы одного события:

    

    (1.15)

    Вероятность того, что в интервале времени  τ  произойдет не менее к событии:

    

    

    (1.16)

    Важным  свойством закона Пуассона является то, что он является предельным для  биномиального распределения:

    

    (1.17)

    если  одновременно устремлять число опытов п к бесконечности, а вероятность P – к нулю, причем их произведение пр сохраняет постоянное значение:

    np = a  (1.18)

    Это предельное свойство биномиального  распределения можно записать в  виде:

    

    (1.19)

    Предельное  свойство биномиального закона часто  находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов п, в каждом из которых событие A имеет очень  малую вероятность Р. Тогда для  вычисления вероятности Рnm того, что событие А появится равно т раз, можно воспользоваться приближенной формулой:

    

    (1.20)

    где пр = а — параметр закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

    От  этого свойства закона Пуассона —  выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события — происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.

    Уместно заметить, что если при биномиальном распределении вероятностей (р + q)n, величины р и q не сильно отличаются друг от друга (не более чем на 2 порядка), например, p = 0,1 и = 0,9 или р = 0,5 и q = 0,5, то при увеличении числа опытов n→∞ асимптотой биномиального распределения будет нормальный закон распределения.

    Если  же р и q резко отличаются, т. е. p→0 или q→ 0, то при п→∞асимптотой биномиального распределения будет закон Пуассона (закон редких явлений).

    Таким образом, биномиальное распределение  сводится в пределе к двум —  нормальному и пуассоновскому. 
 
 
 
 
 
 

    

4. Связь между экспоненциальным распределением и  распределением Пуассона на примере модели чистого рождения

 

    Модель  обслуживающей системы, представленная только поступлением клиентов, называется моделью чистого рождения.

    Пусть p0(t) — вероятность отсутствия событий (поступления клиентов) за период времени  t. При условии, что длина интервала времени Т между поступлениями клиентов описывается экспоненциальным распределением с интенсивностью λ, будем иметь:

    p0(t) = P {интервал времени T ≥ t} = 1 - P {интервал времени T ≤ t} = 1 - (1 - e-λt) = e-λt.

    При достаточно малом интервале времени h > 0 имеем:

    p0(h) = e-λh = 1 - λh + (λh)2/2! - ... = 1 - λh + O(h2).

    Экспоненциальное  распределение базируется на предположении, что на достаточно малом временном  интервале h > 0 может наступить  не более одного события (поступления клиента). Следовательно, при h → 0 p1(h) = 1 - p0(h) ≈ λh.

    Этот  результат показывает, что вероятность  поступления клиента на протяжении интервала h прямо пропорциональна h с коэффициентом пропорциональности, равным интенсивности поступлений  λ.

    Чтобы получить распределение числа клиентов, поступивших на протяжении некоторого интервала времени, обозначим через pn(t) вероятность поступления n клиентов на протяжении времени t. При достаточно малом h > 0 имеем следующее:

    pn(t + h) ≈ pn(t)(1 - λh) + pn-1(t)λh, n > 0,

    p0(t + h) ≈ p0(t)(1 - λh), n = 0.

    Из  первого уравнения следует, что  поступление п клиентов на протяжении времени t + h возможно в двух случаях: если имеется n поступлений на протяжении времени t и нет поступлений за время h, или существует n - 1 поступлений за время t и одно поступление за время h. Любые другие комбинации невозможны вследствие того, что на протяжении малого периода h возможно наступление только одного события. В соответствии с условием независимости событий к правой части уравнения применим закон умножения вероятностей. Во втором уравнении отсутствие поступлений клиентов на протяжении интервала t + h возможно лишь тогда, когда нет поступлений клиентов за время h.

    Перегруппировывая члены и переходя к пределу  при h → 0, получаем следующее.

    

    Решение приведенных выше разностно-дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

    

    В данном случае мы получили дискретную плотность вероятности распределения  Пуассона с математическим ожиданием M{n | t} = λt поступлений за время t. Дисперсия распределения Пуассона также равна λt. Полученный результат означает, что всякий раз, когда временные интервалы между моментами последовательных поступлений заявок распределены по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 1/λ, число поступлений заявок в интервале, равном t единиц времени, характеризуется распределением Пуассона с математическим ожиданием λt. Верным является и обратное утверждение. Соответствие между экспоненциальным распределением (с интенсивностью поступлений λ) и распределением Пуассона показано в следующей таблице.  
 
 
 
 

    Таблица 1. Соответствие между  экспоненциальным распределением и распределением Пуассона

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Применение  модели чистого рождения

 

    В небольшом штате каждые 12 минут  рождается ребенок. Время между  рождениями распределено по экспоненциальному  закону. Требуется определить следующее:

     1. Среднее число рождений за  год.

     2. Вероятность того, что на протяжении  одного дня не будет ни одного рождения.

     3. Вероятность выдачи 50 свидетельств  о рождении к концу третьего  часа, если известно, что на протяжении  последних двух часов было  выдано 40 таких свидетельств.

    Вычислим  интенсивность рождений за день: λ = (24 * 60) / 12 = 120 рождений за день.

    Интенсивность рождений в штате за год равна  λt = 120 * 365 = 43800 рождений.

    Вероятность того, что на протяжении одного дня  не родится ни один ребенок, вычисляется  с использованием пуассоновского распределения    p0(1) = [(120 * 1)0e-120 * 1]/0! ≈ 0.

    Для вычисления вероятности выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа при условии, что на протяжении последних  двух часов было выдано 40 таких свидетельств, заметим, что, поскольку распределение  числа рождений является пуассоновским, искомая вероятность сводится к вероятности появления 10 (= 50 - 40) рождений за один (= 3 - 2) час. Так как λ = 60/12 = 5 рождений за час, то p10(1) = [(5 * 1)10e-5 * 1]/10! = 0,01813. 
 
 
 
 
 
 

6. Список  литературы

 
   

1. Зорин В.В. Надежность систем электроснабжения. / В.В. Зорин и др. - К.: Вища шк.. 1984. - 192 с.
2. Савоськин Н.Е. Надежность электрических систем. Учебное пособие/ Пензенский гос. ун-т. – Пенза, 2004. – 102с.
3. Волков Н.Г. Надежность электроснабжения. Учеб. пособие/ Том. политех. ун-т. – Томск, 2003. – 140с.
4. Конюхова Е.А. Надежность электроснабжения промышленных предприятий. / Е.А. Конюхова, Э.А. Киреева. – М.: НТФ «Энергопрогресс», 2001. - 92с.; ил. [Библиотечка электротехника, приложение к журналу «Энергетик»; Вып. 12 (36)]
5. Биллинтон Р. Оценка надёжности электроэнергетических систем: Пер. с англ. / Р. Биллинтон, Р. Аллан. – М.: Энергоатомиздат, 1988, -288 с.
6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Наука. 1969. -576 с.
7. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. - М: Высш. школа, 1977. - 479 с.