Теория арбитражного ценообразования. 2

     Факторные модели и 

     теория  арбитражного ценообразования

     В поздних 1980-х теоретические модели инвестиционных банков Уолл-Стрит показали, что рыночные цены многих японских варрантов были слишком низкими  по отношению к ценам обыкновенных акций тех же корпораций. Впоследствии, банки начали покупать недооцененные японские варранты, цены которых выросли бы в случае подъема японского рынка ценных бумаг и наоборот.

     Чтобы застраховаться от риска, связанного с  их появлением на японском рынке ценных бумаг, многие банки Уолл-Стрит продали фьючерсы на японские фондовые индексы, такие, как ТОПИКС или Никкей. Несмотря на эти превентивные меры, многие банки все же потеряли много денег. Оглядываясь назад, банки могли бы избежать этих потерь. Анализ с применением факторных моделей позднее выявил, как банки потеряли деньги и как они могут предотвратить возможные в будущем аналогичные потери.

     Эта глава вводит факторные модели, которые  являются уравнениями, делящими прибыль  от ценных бумаг на две составляющие. Факторная модель предписывает то, что отдача от каждого рискованного капиталовложения определяется:

     - Относительно маленьким числом  общих факторов, которые представляют  те события в экономике, что  влияют на большое число различных  капиталовложений.

     - Рисковую составляющую, которая однозначно определена для данного капиталовложения.

     Например, изменения цены акций IBM могут частично быть вызваны изменениями макроэкономических переменных, таких, как изменения в процентных ставках, инфляции и производительности, которые представляют собой общие факторы, потому что они влияют на цены большинства ценных бумаг. В дополнение, изменения в цене акций IBM вызваны также успехами во внедрении новых продуктов, мероприятиях по снижению издержек, пожаром в сборочном цехе, обнаружением незаконного корпоративного положения, изменением в руководстве и т.п. Эти компоненты прибыли от акций IBM рассматриваются как специфические компоненты, обусловленные предприятием, потому что они влияют только на данную фирму, и не влияют на отдачу от прочих вложений.

     Во  многих важных приложениях можно  игнорировать влияние специфических  для фирмы составляющих на колебания  прибыли диверсифицированных инвестиционных портфелей, которые незначительно  концентрированы на какой-либо, определенной ценной, бумаге. Колебания прибыли от этих портфелей почти полностью определяются общими факторами, и фактически неподвержены влиянию специфических компонент. А так как это те типы портфелей, которые большинство инвесторов должны и хотят держать, то риск, связанный с ценной бумагой, которая подвержена влиянию специфических составляющих, – специфический для данной фирмы риск, не влияет на общую желательность или отсутствие оной для этих типов портфелей.

     Хотя  общие факторы воздействуют на отдачу от многих капиталовложений, чувствительность последней к данным факторам различается в зависимости от конкретного вида капиталовложений. Например, цена акций муниципальной энергетической компании может быть гораздо чувствительней к изменениям процентной ставки, чем фирмы, занимающейся разработкой программного обеспечения. Эти бета-факторы, или факторные чувствительности, как их часто называют, похожи на рыночные бета, описанные в предыдущей главе, которые также различаются от акций к акциям.

     Факторные модели – удобный инструмент для  анализа рисков, страхования и управления портфелями. Открывающая главу виньетка показывает, почему так важно понимать разнообразные источники риска, который может повлиять на отдачу от инвестиций. Вспомните банки Уолл-Стрит, которые подвергли себя колебаниям на японском рынке ценных бумаг, купив большие количества недооцененных японских варрантов. Чтобы компенсировать этот риск, они продали фьючерсы на индексы ТОПИКС или Никкей. Чтобы определить количество представляемых к продаже фьючерсов, банкиры рассчитали рыночные бета их портфелей варрантов и продали соответствующее число  фьючерсов так, чтоб их комбинированные из варрантов и фьючерсов портфели имели нулевые рыночные бета.

     Стратегия страхования варрантов фьючерсами свела бы на нет большую часть  риска, если бы японские ценные бумаги были чувствительны только к общим факторам. Однако, японские ценные бумаги, как и американские, подвержены влиянию многочисленных источников факторных рисков, которые представляют собой вариацию отдачи вследствие воздействия общих факторов. Некоторые факторы склонны по-разному влиять на большие и малые фирмы. Так как положение варрантов определялись в основном деятельностью малых фирм, а фьючерсов – больших, то банки не оградили себя от рисков так, как они изначально думали. Последствия этой плохо продуманной стратегии хеджирования выявились в конце 1980-х, когда портфели из больших японских фирм значительно превзошли портфели из малых японских фирм. Как следствие, банки потеряли больше денег на их позициях по варрантам, чем они заработали на фьючерсах.

     Чтобы предотвратить такие потери в  будущем, некоторые банки Уолл-Стрит  разработали факторные модели, чтобы  выявить фактор, который определяет деятельность малых фирм. Тогда они  скорректировали вес каждого  варранты так, чтоб чувствительность портфеля из варрантов к «фактору малых фирм» совпала с чувствительностью фьючерсов к данному фактору.

     Факторные модели не только описывают, как неожиданные  изменения в разнообразных макроэкономических переменных влияют на отдачу от инвестиций, они также могут быть использованы, чтобы оценить ожидаемый уровень отдачи от инвестиций. Часть 6.10 использует факторные модели, чтобы вывести теорию арбитражного ценообразования, созданную Россом (1976), которая относит риск инвестиции к ее ожидаемому уровню отдачи. Она названа теорией арбитражного ценообразования (АРТ), ибо она основана на принципе отсутствия арбитража.

     Как теория, АРТ применяется аналогично модели ценообразования капитальных  активов (CAPM). Однако, она требует меньше ограничительных допущений относительно поведения инвесторов, чем CAPM. АРТ недавно стала более популярной из-за выявленных эмпирически недостатков CAPM, описанных в главе 5. В частности, акции фирм с низкой капитализацией и акции компаний с низкими соотношениями цена/балансовая стоимость обычно имеют намного большую отдачу, чем CAPM бы предсказала. Мы надеемся, что с факторами АРТ могут быть учтены дополнительные аспекты риска (помимо рыночного риска) и могут быть объяснены высокие средние отдачи от, как акций нижнего сегмента, так и от акций с низкими соотношениями цена/балансовая стоимость.

     Хотя  инвесторы часто рассматривают  CAPM и АРТ как конкурирующие теории, обе могут принести инвесторам выгоду аналогично корпоративным финансовым специалистам. Например, эмпирические данные, приведенные в конце 5 главы, предполагают, что приложения CAPM, использующие традиционные рыночные показатели, такие, как S&P 500, не смогут объяснить перекрестный характер последних отдач от ценных бумаг. Анализ факторных моделей в данной главе создаст представление о том, почему CAPM не оправдала себя, и об альтернативе, которая сработала бы намного лучше в прошлом. Однако, большая гибкость АРТ, которая дает ей возможность интерпретировать прошлые отдачи лучше, чем CAPM, имеет свои недостатки. Т.к. АРТ накладывает меньше ограничений, чем CAPM, то она и дает менее точное предсказание  будущих уровней отдачи. 
 
 

6.1 Модель рынка:  первая факторная  модель

     Простейшая  возможная факторная модель –  однофакторная модель, являющаяся факторной  моделью с одним фактором. Часто бывает удобно рассматривать данный фактор как рыночный фактор и обращаться к модели как рыночной. Интерпретация CAPM часто основана на свойствах рыночной модели. Однако, как покажет данный раздел, CAPM не обязательно связана с рыночной моделью; поэтому, такая интерпретация CAPM часто неверна. 

Регрессия рыночной модели

     Чтобы понять рыночную модель, рассмотрим регрессию, использовавшуюся чтобы оценить  рыночную бета в 5 главе. Там указывались  бета, оцененные как коэффициент  наклона в регрессии отдачи от акций Dell на отдачу от S&P 500 и показана регрессия в виде линии наилучшим образом подобранных точек на иллюстрации 5.11. Алгебраическое выражение для регрессии – это просто уравнение (5.9) скорректированное специально для Dell:

     ``r_DELL ⁼ a_DELL + b<sub>DELL`</sub> `R_S&P + `'_DELL                   (6.1)

     С поквартальными данными с конца 1991 по 1995 оценки:

     a_DELL = отрезок, отсекаемый линией регрессии на координатной оси

     b_DELL = наклон линии регрессии (рыночная бета Dell)

     '_{DELL =} остаток регрессии, который задан так, чтобы иметь нулевое среднее значение

     По  свойствам регрессии, `'<sub>dell</sub>  и  (<sub>`</sub>`R_S&P )    нескоррелированы.

     Игнорируя константу, уравнение (6.1) разбивает  неопределенную отдачу от Dell на две составляющие:

     - Компонента, которая может быть  объяснена изменениями рыночного фактора. Эта составляющая – следствие взаимосвязи бета и отдачи от S&P.

     - Компонента, на которую не влияют  рыночные движения, остаток регрессии,`'_dell. 

Разложение  колебаний в рыночной модели

     Т.к. `'<sub>dell</sub>  и <sub>`</sub>`R_S&P  нескоррелированы, и т.к. a_dell – константа, которая не влияет на колебания, колебания отдачи от акций Dell могут быть описаны двумя соответствующими выражениями:

     s_DELL = var(b_DELL `R<sub>S&P</sub>) +var(`'_dell )

                 (6.2)

     =b²_DELL  var(^``R_S&P)  + var(`'_dell )

     Глоссарий терминов риска. Первый член в правой части уравнения (6.2), b²_DELL  var(^``R_S&P) называется «систематическим», «рыночным», или «недиверсифицируемым» риском, связанным с акциями Dell. Оставшийся член var(`'_dell) называется «несистематическим», «нерыночным», или «диверсифицируемым» риском. Мы предпочитаем использовать термины «систематический» и «несистематический», обращаясь к данным членам; называть данные члены «диверсифицируемыми» и «недиверсифицируемыми» некорректно в большинстве случаев, как будет вскоре показано в этой главе. Следующие определения более точны.

1. Систематический (рыночный) риск ценной бумаги – доля колебаний доходности ценной бумаги, объясняемая рыночными движениями. Несистематический (нерыночный) риск – доля колебаний доходности, которая не может быть объяснена рыночными изменениями.
2. Диверсифицируемый риск фактически нивелирован при держании портфелей с небольшими весами каждой ценной бумаги (редкий инвестор положит все яйца в одну корзину). Т.к. сумма долей должна равняться 1, это значит, что такие портфели, известные как хорошо диверсифицируемые портфели, содержат большее количество наименований ценных бумаг. Недиверсифицируемый риск обычно не может быть нивелирован, даже приблизительно, в портфелях с небольшими весами значительного числа ценных бумаг.

     Регрессионный Р-квадрат и разложение колебаний. Обычно используемая статистика из регрессии в уравнении (6.1), известная как  Р-квадрат, измеряет долю колебаний доходности вследствие систематического риска. Во-первых, обобщим регрессию в уравнении (6.1) по произвольно взятой ценной бумаге (ценная бумага i) и индекс случайного рынка с отдачей R_m.

     Получаем:

     `r<sub>i</sub> = a<sub>i</sub> + b<sub>i</sub>  `R_m + `'_I              (6.3) 
 
 
 
 

     Пример 6.1 (Высокий Р-квадра)

     Пример 6.2 (Низкий Р-квадрат)

     На  иллюстрациях 6.1 и 6.2 представлены точки, изображающие данные по двум таким регрессиям: одна для компании, в большей степени, с систематическим риском (высокий Р-квадрат на иллюстрации 6.1), другой для компаний, преимущественно, с   несистематическим риском (низкий Р-квадрат на иллюстрации 6.2). По горизонтальной оси на обеих иллюстрациях отложена величина независимой переменной регрессии, которая равна рыночной доходности. 

Диверсифицируемый риск и неверное понимание  CAPM

     Интуиция, обычно стоящая позади соотношения  риск – ожидаемая доходность CAPM, состоит в том, что систематический риск недиверсифицируем. Таким образом, такой риск должен быть компенсирован более высокими уровнями доходности для инвесторов. В то же время, часто несистематический риск называют «диверсифицируемым», подразумевая то, что дополнительные ожидаемые отдачи не требуются для принятия несистематического риска. Хотя такая интуиция привлекательна, она – нечто сбивающее с толку, как показано ниже, некоторый риск, созданный остатком рыночной модели, не обязательно диверсифицируем.

     Например, риск от остатка в регрессии рыночной модели General Motors недиверсифицируем, т.к. он связан с общими факторами, к которым GM особенно чувствительна. Например, неожиданное увеличение процентных ставок, скорее всего, имеет отрицательное воздействие на большинство ценных бумаг. Риск, связанный с процентными ставками, недиверсифицируем, т.к. он не нивелируется при cохранении хорошо диверсифицированных портфелей. Более того, данный вид риска является общим фаткором.

     Цена  акций GM, безусловно, подвержена влиянию риска, связанного с процентными ставками. Продажи нового автомобиля падают, если покупатели находят процентные ставки по автомобильному кредиту непозволительно высокими. В самом деле, повышение процентных ставок, скорее повлияют на доходность по акциям GM, чем на доходность по рыночному портфелю. Где выявляется эффект процентной ставки в уравнении (6.3)? Очевидно, некоторая доля эффекта роста процентных ставок будет отражена систематической компонентой доходности GM – бета GM, умноженная на рыночную доходность, - но это недостаточно, чтобы объяснить дополнительное снижение цены акций GM по отношению к рынку. Остальная часть эффекта выявится в регрессионном остатке GM.

     Т.к. изменения процентных ставок, очевидно недиверсифицируемый фактор риска, воздействуют на регрессионный остаток рыночной модели, весь риск, ассоциируемый с остатком, не может рассматриваться как диверсифицируемый. Пока кто-либо может составлять портфели с особенными весами, которые нивелируют риск, связанный с процентной ставкой (методами, описанными в данной главе), в основном, большинство портфелей с небольшими весами большого числа наименований ценных бумаг не нивелируют этот источник риска.    

      Остаточная  корреляция и факторные  модели.

      Если  рыночная модель используется для разделения диверсифицируемого и недиверсифицируемого риска, то доходность рыночного портфеля является источником выявления корреляции между ценными бумагами. Как уже было доказано, это не совсем так. Формально, это работает только тогда, когда доход с i-ой ценной бумаги выглядит следующим образом:

        r_i = a_i + b_i  `R<sub>m</sub> + `e_{i    ,}   где R_m  - доходность рыночного портфеля, e_i  и R_m   не связаны друг с другом, а среднее значение e_i  различных ценных бумаг равно нулю и они также не связаны друг с другом никакой зависимостью.

      То, что e_i  различных акций не связаны друг с другом является главным отличием между представленной выше однофакторной моделью и более распространенной моделью «процесса создания дохода» (вытекающей из уравнения 6.3 без предположения о несвязанности e_i), использованной при обсуждении CAPM.

      Эта «однофакторная модель» имеет только один общий фактор (рыночный фактор), производящий доходы. Остаточный доход  с каждой акции (e_i) определяется независимо от общих факторов. Так как эти e_i   не связаны, каждая  из них   представляет изменения в стоимости фирмы, которые действительно являются специфичными. Как станет ясно из следующего параграфа, специфичные для фирмы элементы этого вида не имеют никакого эффекта на изменение дохода хорошо сбалансированного портфеля, составленного из множества ценных бумаг. Следовательно, в однофакторной модели, изменение дохода диверсифицируемо, благодаря элементам, являющимся для фирмы специфическими и известными как специфический для фирмы риск.

      Даже  если рассмотренная выше ставка процента предполагает, что однофакторная рыночная модель не существует в реальности, ее изучение помогает лучше понять различие в значениях диверсифицируемого и недиверсифицируемого риска. После недолгого рассмотрения  математической стороны  и практического применения диверсификации этот параграф обращается к многофакторным моделям более близким к реальности, построенным на предположении о диверсифицированной версии недиверсифицированного риска.  

6.2. Принцип диверсификации.

      Все знакомые с правилом «Не следует класть все яйца в одну корзину» знают, что при подбрасывании монеты 1000 раз вероятность выпадения той или иной стороны будет скорее равна половине, нежели при подбрасывании ее 10 раз. Как бы то ни было, подбрасывание монеты не является идеальной аналогией, когда мы говорим о диверсификации вложений. Факторные модели позволяют нам разбить доход с ценных бумаг на 2 элемента: элемент, для которого аналогия с подбрасыванием монеты не работает (общие факторы), и элемент, для которого она идеально подходит (факторы, являющиеся для фирмы специфичными).

      Примеры со страхованием в  случае факторного риска  и риска специфического для фирмы.

      Для того чтобы лучше понять подобное деление, представим себе два страховых  контракта: страхование автомобиля и страхование здоровья. Среди всех застрахованных водителей случаи автомобильных аварий независимы друг от друга, а  ежегодное их количество почти постоянно и соответственно количество страховых претензий, приходящихся на компанию в год, практически не меняется. (Наше предположение может нарушить разве что только огромная миллионная авария на затуманенной автостраде между двумя штатами). Вследствие прекрасной диверсификации этих претензий, автомобильные страховые компании могут рассчитать их ожидаемую величину по этому типу риска (добавляя накладные расходы и прибыль). Напротив, страхование здоровья предполагает наличие совокупности диверсифицируемых и недиверсифицируемых элементов. Болезни, которые требуют дорогостоящей медицинской помощи, не поражают большую часть населения одновременно. Тем не менее, как подтверждает опыт борьбы со  СПИДом, компании, занимающиеся страхованием здоровья, не могут полностью искоренить некоторые формы риска даже путем наличия большого количества держателей страховых полисов. Если вирус ВИЧ мутирует в легко передаваемую болезнь, многие компании, занимающиеся страхованием  здоровья, обанкротятся. Вследствие финансового риска, который компании несут из-за различных эпидемий, они должны оценивать стоимость страховки в большую величину, чем просто ожидаемый убыток (так называемая премия от риска).

      Факторный риск не диверсифицируется, так как  факторы одинаковы для многих ценных бумаг. Это означает, что доходы ценных бумаг тесно связаны между  собой благодаря каждому объективному качеству фактора. В однофакторной рыночной модели портфель из тысячи равных между собой акций с одинаковыми рыночными факторами бета имеет такую же рыночную бету (и, следовательно, такой же систематический риск) как и каждая акция портфеля в отдельности. Как следует из следующего параграфа, это остается верным и для более простых факторных моделей. Благодаря наличию финансового риска даже самая необычная диверсификационная стратегия, например, складывания равного количества яиц по всем корзинам, не уменьшит отклонения дохода. 
 
 

      Определение степени диверсификации специфического для  фирмы риска.

      Напротив, легко показать, что риск e ценных бумаг диверсифицирован в больших портфелях, так как e's не связаны между собой в ценных бумагах. Давайте рассмотрим две бумаги: 1 и 2, каждая  с некоррелируемой e's и с одинаковыми отклонениями равными 1. При помощи уже знакомой формулы, выведенной из уравнения (4.9а), сбалансированный портфель из двух ценных бумаг, которые равны x1=x2=5, имеет специфическое для фирмы отклонение:

var(ep) = x²₁ var(ei) + x²₂var(e) = .25(.l) + .25(.l) = .25(2)(.l) = .05

      Таким образом, портфель, составленный из двух ценных бумаг, делит специфическое  для фирмы отклонение для каждой ценной бумаги.

      Сбалансированный  портфель из 10 равных акций, для которых  отклонения специфического для фирмы риска равны, имеет следующее отклонение:

var(ep) == x1²var(ei) + x2²yar(e₂)+ ... + x10²var(e₁₀)

= .0l(.l) + .0l(.l) + ... + .0l(.l) = .01(10)(.l) = .01

      Это составляет одну десятую специфического для фирмы отклонения для каждой ценной бумаги.

      Продолжая делать то же самое для N  количества ценных бумаг, мы получим, что специфичное  для фирмы отклонение портфеля в 1/ N раз больше (или в N раз меньше) отклонения каждой акции и что стандартное отклонение обратно пропорционально квадратному корню из N. Эти результаты отражены на графике (6.3), где по оси ординат отложены стандартное отклонение портфеля со специфичным для фирмы e и по оси абсцисс количество ценных бумаг в портфеле. Становится очевидным, что специфический для фирмы риск уменьшается с ростом количества ценных бумаг в портфеле.

      Практика  действительно показывает, что портфель с такими весами ценных бумаг будет  иметь специфическое для фирмы  отклонение  обратно пропорциональное количеству ценных бумаг. На этом основании  можно сделать следующий немаловажный вывод, касающийся стандартного отклонения:

      Результат 6.1. Если доход с ценных бумаг соответствует факторной модели (с несвязанными остатками), то портфели, составленные из ценных бумаг с равными весами, будут иметь остатки со стандартным отклонением примерно обратно пропорциональным корню квадратному из числа ценных бумаг. 
 

6.3. Многофакторные модели.

      Однофакторная рыночная модель представляет нам упрощенное описание получения доходов с  акций, но, к сожалению, является нереальной. Так как акции чувствительны к ставке процента также как и к рыночному риску и риску, специфическому для фирмы, риск ставки процента порождает связь между остатками рыночной модели, что означает, что не только общий фактор влияет на доходы с акций.

      Уравнение многофакторной модели.

      Алгебраическое  представление многофакторной модели, то  есть модели, содержащей более  одного элемента, дано в следующем  уравнении (6.4):

`r<sub>i</sub> = a<sub>i</sub>+ b<sub>iI</sub> `F₁ + b_i2 `F<sub>2</sub> + ... + b<sub>ik</sub> `F<sub>k`</sub>+ ` e _i              (6.4)

      Формула построена на следующих допущениях: доходы с акций создаются малым количеством общих факторов, каждый из которых обозначен F с чертой и для которых разные акции обладают различной чувствительностью, то есть b, совместно с несвязанными специфичными для фирмы элементами, а также e , которые вносят свое незначительное отклонение в хорошо диверсифицированные портфели.

      Объяснение  общих факторов.

      F в формуле (6.4.) можно рассматривать как замену новой информации о макроэкономических изменениях таких как промышленное производство, инфляция, ставка процента, цены на нефть, изменчивый курс акций. Так как F представляют новую информацию, их среднее значение обычно приравнивают к нулю, а это позволяет интерпретировать  a как ожидаемый доход с акций.