Шифр: 8801031044

Специальность 220100.62

Оглавление 

Теория  массового обслуживания……………………………………………………………. 2

Математическая  модель однофазной СМО……………………………………..…………….. 8

Пример  практического решения  задачи………………………………..…………………….. 11

Список  литературы………………………………………………………………………………. 13 

Теория  массового обслуживания 

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций - типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах К.Пальма, Ф.Поллачека, А.Я.Хинчина, Б.В.Гнеденко, А.Кофмана, Р.Крюона, Т. Cаати и других советских и зарубежных математиков.

 Теория  очередей, - раздел теории вероятностей, изучающий математические модели  разного рода реальных массового  обслуживания систем. Эти модели  представляют собой случайные  процессы специального вида, которые  называются иногда процессами обслуживания. Чаще всего используется описательное определение этих процессов, поскольку формальное их построение оказывается весьма сложным и не всегда эффективным.

Теория  массового обслуживания использует главным образом аппарат теории вероятностей. Основные задачи теории массового обслуживания обычно состоят в том, чтобы на основании "локальных" свойств рассматриваемых случайных процессов изучить их стационарные характеристики (если таковые существуют) или поведение этих характеристик за большой промежуток времени. Одна из главных конечных целей исследований в этой области состоит в выборе наиболее разумной организации систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания (СМО)— это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

 С  позиции моделирования процесса  массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

     Цикл функционирования системы  массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут  служить: Магазины, банки, ремонтные  мастерские, почтовые отделения, посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей, персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач, аудиторские фирмы, отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий, телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы  массового обслуживания любого вида являются:

1. входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
2. дисциплина очереди;
3. механизм обслуживания.

  Входной поток  требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

     Дисциплина очереди — это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

     - первым пришел - первый обслуживаешься;

     - пришел последним — обслуживаешься  первым;

     - случайный отбор заявок;

     - отбор заявок по критерию  приоритетности;

     - ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

     Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

     Следует отметить, что время обслуживания  заявки зависит от характера  самой заявки или требований  клиента и от состояния и  возможностей обслуживающей системы.  В ряде случаев приходится  также учитывать вероятность  выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

     Структура обслуживающей системы  определяется количеством и взаимным  расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть,  что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

     Система обслуживания может состоять  из нескольких разнотипных каналов  обслуживания, через которые должно  пройти каждое обслуживаемое  требование, т. е. в обслуживающей  системе процедуры обслуживания  требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

     Рассмотрев основные компоненты  систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности  любой системы массового обслуживания  определяются следующими основными факторами: 

- вероятностным  распределением моментов поступлений  заявок на обслуживание (единичных  или групповых);

- вероятностным  распределением времени продолжительности  обслуживания;

- конфигурацией  обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);

- количеством  и производительностью обслуживающих  каналов;

- дисциплиной  очереди;

- мощностью  источника требований.

     В качестве основных критериев  эффективности функционирования систем массового обслуживания, в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

- вероятность  немедленного обслуживания поступившей  заявки;

- вероятность  отказа в обслуживании поступившей  заявки;

- относительная  и абсолютная пропускная способность системы;

- средний  процент заявок, получивших отказ  в обслуживании;

- среднее  время ожидания в очереди;

- средняя  длина очереди;

- средний  доход от функционирования системы  в единицу времени и т.п.

     Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

     Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового  обслуживания, различают два основных вида СМО:

     - системы с отказами, в которых  заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

     - системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая  в момент, когда все каналы  обслуживания заняты, становится  в очередь и ждет, пока не  освободится один из каналов.

     Системы массового обслуживания  с ожиданием делятся на системы  с ограниченным ожиданием и  системы с неограниченным ожиданием.

     В системах с ограниченным  ожиданием может ограничиваться:

     - длина очереди;

     - время пребывания в очереди.

     В системах с неограниченным  ожиданием заявка, стоящая в очереди,  ждет обслуживание неограниченно  долго, т.е. пока не подойдет  очередь.

 По  количеству каналов обслуживания  СМО подразделяются на

следующие группы.

Одноканальные СМО. Она состоит из одной очереди и одного устройства обслуживания. Термин "одноканальная" говорит о том, что к устройству обслуживания ведет только один путь.

Многоканальные  СМО. Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство. 

По кругу  обслуживаемых объектов различают  два вида.

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания – это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые  СМО. Для открытой СМО предполагается, что исходная совокупность на столько велика, что изменение ее размеров, вследствие прибытия или возвращения обслуженной заявки в исходную совокупность не оказывает существенного влияния на вероятность появления очередной заявки. 

Если  приборы обслуживания соединяются  параллельно, то такое обслуживание называется однофазным, а если приборы соединяются последовательно, то многофазным, (ряд последовательных операций).

Однофазные  СМО – это однородные системы, которые выполняют одну и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО – это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают  в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

  В  1953 году Г. Кендалл предложил  стандартные обозначения определений,  которые используются исследователями без изменений. Для однофазных СМО символика Кендалла выглядит следующим образом :

  A / B / n / m 2.1

  Где  A и B входной поток и поток  обслуживания соответственно ,

  n –  число каналов, n 1,

  m - ёмкость накопителя.

 Потоки  случайных событий могут иметь различный вид:

- М  – экспоненциальное распределение  длительностей интервалов поступления  заявок или длительностей обслуживания ( индекс М от определяющего  слова марковский процесс, т.е.  такой, когда поведение процесса  после момента времени t зависит лишь от состояния процесса в момент времени t и не зависит от поведения до момента времени t),

- D - детерминированное  распределение длительностей интервалов  поступления заявок или длительностей  обслуживания,

- Ек - поток  Эрланга к – го порядка для длительностей интервалов между приходами заявок или длительностей обслуживания,

- GI - рекуррентный  поток (длительности интервалов  статистически независимы и имеют  одинаковое распределение),

- G - общий  вид распределения.

  Тогда  в символах Кендалла вместо А и В подставляется символ одного из упомянутых потоков, например:

M/M/1 - экспоненциальные  потоки с одним каналом обслуживания  и неограниченной ёмкостью.

D/GI/5/10 - детерминированный входной поток,  рекуррентный поток обслуживания, многоканальное СМО с 5 одинаковыми каналами, ёмкость накопителя 10 и т.д. 

 
Математическая  модель однофазной СМО

Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными  обслуживающими приборами в любой  момент времени полностью определяется числом заявок k, находящихся в ней. Действительно, если k≤n, то k заявок находятся на обслуживании, очереди нет; k приборов заняты обслуживанием заявок, а n – k приборов свободны. Если k > n, то все приборы заняты (n заявок обслуживается), а k–n заявок находится в очереди.

Величина k может принимать значения k=0, 1, 2, . . ., N, где N = n+m, причем для СМО с отказами m=0, а для систем с неограниченной очередью m и N --  ∞.

Увеличение  числа заявок в системе (переход  из состояния S_k в состояние S_k+1) происходит под воздействием потока заявок интенсивности £, которая не зависит от k, то есть £_k,k+1 = £.     

Уменьшение  числа заявок в системе (переход  из состояния S_k в состояние S_k–1) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивности µ и потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивности v, причем £_k,_k+₁= f(k, n, µ, v), а вид этой функции определяется типом СМО.

Из этого  следует, что однофазной СМО соответствует  граф состояний, вершины которого (S₀, S₁, S₂, . . .) образуют последовательную цепочку и любые две соседние вершины соединены двумя встречно направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).

Определим предельные вероятности состояний  Р_k, для СМО с конечным числом состояний. Для СМО P_k, – это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровно k заявок.

В СМО  с конечным числом состояний всегда имеет место стационарный режим, так как между любыми двумя вершинами графа существует маршрут.

Уравнения Колмогорова имеют вид:

– состояние S₀

£₁₀P₁=£₀₁P₀    (2.10)

– состояние S₁

£₀₁P₀+£₂₁P₂=£₁₀P₁+£₁₂P₁;  

учитывая  выражение (2.10), получим

£₂₁P₂=£₁₂P₁    (2.11)

– состояние S₂

£₁₂P₁+£₃₂P₃=£₂₁P₂+£₂₃P₂;

учитывая  формулу (2.11), имеем

£₃₂P₃=£₂₃P₂   (2.12)

— состояние S_k-1 (по аналогии)

      £_k,k-₁P_k=£_k-1,_kP_k-1    (2.13)

– состояние S_N-1

        £_N-1,_NP_N-1=£_N,N-1P_N .   (2.14)

Для состояния S_N непосредственно по графу находим уравнение

     £_N-1,_NP_N-1=£_N,N-1P_N , 

которое совпадает с уравнением (2.14).

Поэтому последнее уравнение исключаем  из /рассмотрения, а вместо него используем условие нормировки

N     

∑  P_k =1         (2.15)

k=0

Для решения  системы уравнений (2.10) – (2.15) выразим  все вероятности P_kk

   ___

=(1,N) через Р₀ и получим

   P₁=λ₀₁/ λ_{10 *} P₀;                                                                            (2.16)

P₂=λ₁₂/λ₂₁P₁=λ₀₁/λ₁₀*λ₁₂/λ₂₁*P₀

……………………………

P_k=λ_k-1,k/λ_k,k-1*P_k-1=λ₀₁/λ₁₀*λ₁₂/λ₂₁***λ_k-1,k/λ_k,k-1*P₀

      k 

P_k=P₀ П   *λ_i-1,i/λ_i,i-1,      k=1,2…..N

           i=1

Подставляя  значения Рд в формулу (2.15), получим

             N   k 

       P₀+P₀∑  П *λ_i-1,i/λ_i,i-1=1             (2.17)

                k=1 i=1

             -1

            N   k

   P₀ = ∑   П*λ_i-1,i/λ_i,i-1

          _{k=1    i=1} 

Обратим внимание на структуру формул (2.16) и (2.17). В формуле (2.16) имеем произведение отношений интенсивностей пере-хода слева направо к интенсивностям перехода справа налево для всех переходов между начальной и рассматриваемой вершинами графа состояний. В формуле (2.17) имеем сумму этих произведений, вычисленных для всех вершин графа

         __

S_k(k=1,N) .

Подставляя  в формулы (2.16) и (2.17) значения интенсивностей переходов λ_i,i-1 и λ_i-1,i  для СМО любого типа, можно рассчитать вероятности ее состояний и определить показатели, эффективности. 

 
Пример  практического решения  задачи

Существует  однолинейная однофазная модель массового  обслуживания, где λ - средняя плотность потока требований; µ – параметр обслуживания одного требования; N – очередь (максимально возможна). Рассмотрим время t. Как меняется система от t до t+ . Е0 – событие в системе отсутствуют требования в момент времени t+ . Вероятность событий : в момент времени t – требование отсутствует полная группа событий в момент времени t – одно требование. Полная вероятность отсутствий. , где Е1 – в системе находится одно требование в течение t времени. Еn – в системе находится n требование в течение t времени.   Стационарная вероятность – такая вероятность, которая не зависит от времени.  

Следовательно, при этом Pn(t)=const, a P’n(t)=0.  

Принимая  условия cтационарности, определим коэффициент загрузки 

Операционные  характеристики – это те характеристики, которые влияют на выбор той или  иной системы массового обслуживания (максимальная длина очереди, средняя длина очереди, максимальное и среднее время нахождения в системе).

Среднее число требования в системе: 

Дисперсия или квадрат отклонения среднего числа требований:

Средняя длина очереди:   

Среднее время ожидания обслуживания:   

Максимальная длина очереди:  
 

 
Список  литературы

Игнатьева А.В. Максимцов  М.И, Исследование систем управления. Учебное  пособие для Вузов (ГРИФ) М. Юнити-Дана 2003 г.

Голик С.Е. Математичееские  методы системного анализа и теории принятия решений. Часть 2. Учебное пособие. Ред.изд. отдел СЗПИ. 1997г.

Тынкевич М.А.  Экономико-математически методы. Учебное  пособие. 2 изд. Кемерово 2000г.