Теплопроводность. 2

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Введение

В учении о  теплообмене рассматриваются процессы распространения т е

плоты в  твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей

физ и комеханической природе весьма многообразны, отличаются большой

сложн о стью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных

я в лений.

Перенос теплоты  может осуществляться тремя способами: теплопрово д

ностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко

разли ч ны по своей природе и характеризуются различными законами.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между неп о

средственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной темп

е ратурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел

опирается на весьма прочный теоретический  фундамент. Оно основано на

простых кол  и чественных законах и располагает хорошо разработанным

математическим  а п паратом. Теплопроводность представляет собой,

согласно  взглядам совреме н ной физики, молекулярный процесс передачи

теплоты.

Известно, что  при нагревании тела кинетическая энергия  его молекул

возрастает. Частицы более нагретой части  тела, сталкиваясь при своем

бесп о рядочном движении с соседними частицами, сообщают им часть

своей кинетич е ской энергии. Этот процесс постепенно распространяется

по всему  телу. Пер е нос теплоты теплопроводностью  зависит от

физических  свойств тела, от его геометрических размерах, а также от

разности  температур между различными частями  тела. При определении

переноса  теплоты теплопроводностью в  реал ь ных телах встречаются

известные трудности, которые на практике до сих  пор удовлетворительно

не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые пр о цессы

развиваются в неоднородной среде, свойства которой  зависят от темп е

ратуры и изменяются по объему.

Основной  закон теплопроводности

Для распространения  теплоты в любом теле или пространстве необход и

мо наличие  разности температур в различных  точках тела. Это условие

отн о сится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой

градиент  темп е ратуры в различных точках тела не должен быть равен

нулю.

Связь между  количеством теплоты , проходящим за промежуток вр е мени

через элементарную площадку dS , расположенную на изотермической

поверхности, и градиентом температуры устанавливается  гипотезой Фурье,

с о гласно которой

. (2. 1 )

Минус в  правой части показывает, что в  направлении теплового потока

температура убывает и grad T является величиной отрицательной. Коэффиц

и ент пропоркоэффициентом теплопроводности или более кра тко теплопроводностью.

Справедливость  гипотезы Фурье подтве р ждено многочисленными опытными

данными, поэтому  эта гипотеза в насто я щее время носит название

основного уравнения теплопроводности или  закона Ф у рье.

Отношение количества теплоты, проходящего через  заданную повер х

ность, ко времени называют тепловым потоком. Тепловой поток обозначают

q и выражают в ваттах (Вт):

. (2. 2 )

Если относительное  изменение температуры Т на расстоянии средней

длины свободного пробега частиц l мало, то выполняется основной закон

теплопроводности (закон Фурье): плотность теплового  потока q

пропорциональна градиенту температуры grad T, то есть

(2.3)

( где —  коэффициент теплопроводн ости или просто

теплопроводност и)

Отношение теплового потока dq через малый элемент поверхности к

площади dS этой поверхности называют поверхностной плотн о стью

теплового потока (или вектором плотности теплового  потока), обознач а

ют j и выражают в ваттах на квадра т ный метр (Вт/м 2 ):

. (2. 4 )

Вектор плотности  теплового потока направлен по нормали  к поверхности

в сторону  убывания температуры. Векторы j и grad T лежат на одной

прямой, но направлены в противоположные стороны.

Тепловой  поток q , прошедший сквозь произвольную поверхность S , н а

ходят из выр а жения

. (2. 5 )

Количество  теплоты, прошедшее через эту  поверхность в течение врем е

ни t , определяется интегралом

. (2. 6 )

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через

какуюлибо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать те

м пературное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение

температурного  поля и составляет основную задачу аналитической теории

теплопрово д ности.

Физический  смысл коэффициента теплопроводности

Вспомним  ещё раз, что о сновным законом передачи тепла

теплопроводностью является закон Фурье. Согласно этому  закону

количество  тепла dQ, передаваемое посредством теплопроводности через

элемент поверхности  dF, перпендикулярный тепловому потоку, за время d

прямопропорционально температурному градиенту t/ n, поверхности dF и

времени d :

(3.1)

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом

теплопроводности , при выражении Q в ккал/ч:

(3.2)

Таким образом, коэффициент теплопроводности показывает, какое

количество  тепла проходит вследствие теплопроводности в единицу

времени через  единицу поверхности теплообмена  при падении температуры

на 1 град на единицу длины нормали к изотермической поверхности.

Коэффициенты  теплопроводности сплошных однородных сред зависят от

физикохимических свойств вещества (структура вещества, его природа).

Значения  теплопроводности для многих веществ  табулированы и могут быть

легко найдены в справочной литературе.

Значения  коэффициента теплопроводности для  некоторых газов, жидкостей

и твёрдых  тел при атмосферном давлении , зависит от агрегатного

состояния вещества (см. табл . ), его атомномолекулярного строения,

температуры и давлсмеси или раствора) и т. д.].

Вещество  t, , вт/ ( м К) Газы

Водород

Гелий

Кислород 

Азот

Металлы

Серебро

Медь

Железо

Олово

Жидкости 

Ртуть

Вода

Ацетон 

Бензол

0

0

0

-3

0

0

0

0

0

20

16

22,5

0,1 765

0,1411

0,0237

0,0226

403

86,5

68,2

35,6

0,190

0,167

0,158

6,9

Теплопроводность  жидкостей и газов 

Теплопров о дность , один из видов переноса теплоты (энергии

теплового движения микрочастиц) от более нагретых частей тела к

менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры. При

теплопроводности  перенос энергии в теле осуществляется в результате

непосредственной  передачи энергии от частиц (молекул, атомов,

электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией. 

Отклонения  от закона Фурье могут появиться  при очень больших

значениях grad T (например, в сильных ударных волнах ) , при низких

температурах (для жидкого гелия Не) и при высоких температурах порядка

десятков  и сотен тысяч градусов, когда  в газах перенос энергии

осуществляется  не только в результате межатомных столкновений, но в

основном  за счёт излучения (лучистая теплопроводность ). В разреженных

газах, когда l сравнимо с расстоянием L между стенками,

ограничивающими объём газа, молекулы чаще сталкиваются со стенками,

чем между  собой. При этом нарушается условие  применимости закона

Фурье, и  само понятие локальной температуры  газа теряет смысл. В этом

случае рассматривают не процесс теплопроводности в газе, а теплообмен

между телами, находящимися в газовой среде.

Теплопроводность  газов .

Для идеального газа , состоящего из твёрдых сферических молекул

диаметром d, согласно кинетической теории газов , справедливо

следующее выражение 

(3.4)

где — плотность  газа, c v — теплоёмкость единицы массы

газа при  постоянном объёме , V — средняя скорость движения

молекул. Поскольку J пропорциональна 1 /р, а ~ р ( р — давление

газа), то Т. такого газа не зависит от давления. Кроме того,

коэффициент теплопроводности�'3f и вязкости связаны

соотношением: . В случае газа, состоящего из многоатомных молекул,

существенный  вклад в дают внутренние степени свободы молекул, что

учитывает соотношение:

,

где = с р /c v , с р — теплоёмкость при постоянном давлении. В

реальных  газах коэффициент теплопроводности — довольно сложная

функция температуры  и давления, причём с ростом Т  и р значение

возрастает. Для газовых смесей может быть как бол ьше, так и меньше

коэффициента  теплопроводности ком понентов смеси, то есть

теплопроводности  нелинейная функция состава.

Если газ  неравномерно нагрет , т. е. температура в одной его части

выше или  ниже, чем в другой, то наблюдается  выравнивание температуры:

более нагретая часть охлаждается, тогда, как более  холодная

нагревается.

Очевидно, что  это связано с потоком тепла  от более нагретой части

газа к  более холодной. Это явление возникновения  потока тепла в газе

называется  теплопроводностью, В любом теле, в частности в газе,ения, состава (в случаециональности  называется предоставленном самому себе, теплопроводность приводит к выравниванию

температур, и этот процесс, конечно, нестационарный. Но часто

встречаются и случаи, когда разность температур искусственно

поддерживается  постоянной.

Например, в  электрической лампе накаливания  газ, находящийся

непосредственно около накаленной нити, имеет высокую  температуру

(равную температуре самой нити), тогда как газ, прилегающий к стенкам

стеклянного баллона лампы, обладает значительно  более низкой

температурой. Через некоторое время после  включения лампы

устанавливается постоянная разность температур между  нитью и стенками.

Это постоянство  обеспечивается, с одной стороны, электрической

энергией, подводимой к нити из электрической сети, с  другой стороны

— отдачей  тепла от стенок лампы к окружающему  ее воздуху. При

этих условиях в газе, находящемся в лампе, устанавливается

стационарный, т. е. не изменяющийся со временем, поток  тепла.

Установившаяся  стационарная разность температур зависит  от

теплопроводности  газа (для лампы накаливания надо иметь в виду, что

кроме отвода тепла через газ в данном частном  случае отвод тепла

происходит  главным образом в результате излучения).

В приведенном  примере лампы расчет потока тепла  представляет большие

трудности, связанные со сложной формой нити и сосуда, вследствие чего

распределение температуры в газе тоже оказывается  весьма сложным.

Чтобы найти  количественные закономерности,

характеризующие процесс теплопроводности,

мы рассмотрим более простую задачу

Пусть вдоль  какогонибудь направления в газе,

например, вдоль  оси X , температура меняется от точки  к точке ,

т. е. является функцией v . в то время как в плоскости,

перпендикулярной 

к этой оси, температура всюду одинакова 

Изменение температуры вдоль оси X характеризуется  градиентом

температуры .

Смысл градиента  температуры заключается в том, что он равен изменению

температуры от одной точки к другой, отнесенному к единице расстояния

между ними. Существование градиента температуры  и является необходимым

условием  для возникновения теплопроводности. Направление потока тепла

совпадает с направлением падения температуры. Если возрастанию х (т.

е. dx > 0) соответствует падение температуры ( d Т<0), то тепло течет

в направлении  возрастающего х: поток тепла  направлен так, чтобы

уменьшить существующий градиент температуры, который  его вызвал. Опыт

показывает, что поток тепла Q пропорционален градиенту температуры

(закон Фурье): ( 3.5 )

При стационарных условиях количество тепла Q , протекающего в единицу

времени через  газ, равно мощности источника энергии, за счет которого

поддерживается  заданный градиент температуры. Эта мощность (обычно

электрическая) и подлежит измерению при экспериментальном определении

коэффициента  теплопроводности. В тех случаях, когда газ, в котором

существует  градиент температуры, предоставлен самому себе, т. е. к

нему извне  не подводится энергия, теплопроводность приводит к

выравниванию  температуры. Сначтеплопроводность. Как мы увидим, закон выравнивания температуры весьма

напоминает  процесс выравнивания концентрации посредством диффузии.

Теплопроводность  жидкости.

В исследованиях, посвященных теории теплопроводности жидкостей, можно

увидеть три  основных направления:

1. Вычисление  кинетических коэффициентов средствами  статистической

физики.

2. Использование  моделей теплового движения и  механизмов переноса.

3. Полуэмпирический  подход.

Рассмотрим  первое из этих направлений .

Исторически первой попыткой расчета коэффициента теплопроводности

путем использования  аппарата статистической физики можно  считать

работу Энскога. В теории Энскога используется модель молекул жестких

шаров, которая позволяет ограничиться учетом лишь парных соударений

молекул и  тем самым воспользоваться схемой кинетического уравнения

Больцмана.

Непосредственно к жидкостям метод Энскога может быть применен в

качестве первого приближения теплопроводности по газу т.к. схема

кинетического уравнения Больцмана не содержит основного элемента,

свойственного жидкому состоянию взаимодействия коллектива молекул.

Второе направление  использует различные представления  модельного

характера о природе теплового движения и механизмах переноса. Так,

например, существует группа работ, в основу которой положена

решеточная  модель жидкости. В них предполагается, что тепловое

движение  молекул, в основном, сводится к колебательным  движениям

вокруг временных  положений равновесия в квазикристаллических

"ячейках". В соответствии с этим предполагается, что перенос тепла

происходит  за счет обмена энергией при непосредственном "столкновении"

колеблющихся  соседних молекул .

Теплопроводность  жидкости предлагается рассчитывать по формуле

( 3 . 6 )

где н к частота колебаний, a кол амплитуда колебаний,

Далее рассмотрим работы, где использовано представление  о

колебательном характере теплового движения в  жидкостях по аналогии с

теорией Дебая  для твердых тел, где перенос  тепла осуществляется

посредством гиперакустических колебаний среды (фононов). Здесь

теплопроводность  жидкости выражается соотношением:

( 3 . 7 )

где U ф скорость звука, ℓ'3f ф средняя длина свободного

пробега,

с – плотность.

Формула для  жидкостей была предложена Л. Бриллиюэном в 1914 г.

Многие исследователи  пользовались выражениями, к оторые являются

упрощенными выражениями формулы для твердых  тел Дебая. Первая в этом

направлении работа была выполнена Н.П. Пашским. Формула Пашского может

быть приведена к виду

( 3 .8 )

где а среднее расстояние между молекулами, L характеристическая

константа.

Эта формула  аналогична формуле Дебая, если длина  свободного пробега

волн выражается соотношением

( 3 .9)

где b эмпирический (поправочный) коэффициент.

Американский  ученый Бриджмен предположил, что средняя длина

свободного  пробега волн ℓ'3f равна среднему расстоянию между

молекулами  а ,

( 3 .10)

Для теплопроводности получается формула

( 3. 11)

где U ф скоростьала мы и рассмотрим такую нестационарнузвука в жидкости.

Попытка учесть роль внутренних колебательных степеней свободы была

сделана Е. Боровиком. Им получена формула для теплопроводности

( 3 .12)

где r радиус молекулы.

При оценке работ рассматриваемого направления, возникает вопрос:

"В какой  степени корректно использование  общей формулы Дебая для

жидкостей?"

Экспериментальные данные показывают, что теплопроводность жидкостей

тем больше, чем больше ее удельная теплоемкость C V . Следовательно,

теплоемкость  может входить в выражение  для л. Помимо этого, в

жидкостях происходят явления, аналогичные тем, которые наблюдаются в

твердых телах, а именно, коллективные колебания молекул

распространяются  со скоростью звука и область  их распространения

ограничивается "длиной свободного пробега".

Кроме того, представление о переносе тепла  дебаевскими волнами

отражает  важную особенность жидкого состояния  коллективный характер

колебаний части молекул жидкости (в отличие  от газового состояния с

хаотическиеми перескоками молекул).

Рассмотрим  третье направление – полуэмпирические методы расчета

теплопроводности  жидкости.

В работе А.Миснара вывод формулы для теплопроводности сделан на

основе общей  формулы Дебая: л ~ с · U ф · С V ·ℓ'3f ф ,

выражающей  зависимость коэффициента теплопроводности от плотности с,

скорости  звука U , удельной (объемной) теплоемкости С V и длины

свободного  пробега носителей энергии фононов  ℓ'3f ф .

По аналогии с приближенной формулой для скорости звука в твердом теле

(3.13)

А.Миснар предложил выразить скорость звука в жидкости через Т кип ,

и плотность  с, т.е

(3.14)

Однако сопоставление  с экспериментом выявляет довольно значительное

расхождение с расчетом; при одинаковом числе  атомов в молекуле

отклонения  тем больше, чем больше вязкость жидкости. Если ввести

коэффициент динамической вязкости м, то скорость звука можно