Уравнение состояние идеального газа

     Уравнение состояние идеального газа 

Уравнение состояния идеального газа – называется такое уравнение, которое связывает три макроскопических параметра давление P, объем V и температуру T, для достаточно разряженного газа.

       (1)

     Единственная величина в этом уравнении, зависящая от рода газа, это его молярная масса.

     Уравнение (1) называется уравнение состояния идеального газа или уравнение Менделеева – Клапейрона.

     Из  уравнения состояния вытекает связь  между давлением, объемом и температурой идеального газа, который может находиться в двух любых состояниях.

     Если  индекс 1 обозначить параметры, относящиеся  к первому состоянию, а индекс 2 - параметры, относящиеся ко второму  состоянию, то согласно уравнению (1) для газа данной массы:

     

     Правые  части этих уравнений одинаковы, следовательно, должны быть равны и  их левые части:

      (5)

     Уравнение состояние в форме (5) называется уравнением Клапейрона и представляет собой одну из форм записи уравнения  состояния.

     Таким образом, для данной массы газа, как бы ни менялись его давление, объем и температура, произведение давления на объем, деленное на абсолютную температуру, есть величина постоянная. 

Вывод основного уравнения  состояния идеального газа (уравнения Менделеева – Клапейрона) 

     

1. Если  рассмотреть график зависимости Р от V при изотермическом процессе при температурах Т₁ и Т₂ (так что Т₂ > Т₁). Из графика видно:

     при Т₁ V₁ соответствует давлению Р₁,

     V₂ соответствует давлению Р₂  
 
 

       
 
 
 
 
 

     В соответствии с видом графика и законом Бойля – Мариотта имеем:

     Р₁ V₁ = Р₂ V₂

     при Т₂ V₁ соответствует давлению Р₁’,

     V₂ соответствует давлению Р₂’

     в соответствии с видом графика  и законом Бойля – Мариотта имеем:

     Р₁’ V₁ = Р₂’ V₂

     Сравним значение произведений Р₁ V1 и Р₁’ V₁

      Р₁’ > Р₁  Р₁ V₁ < Р₁’ V₁

     V₁ = cоnst

     Т₂ > Т₁ ═> при увеличении Т возрастает произведение РV следовательно РV ~ Т, то есть, произведение давления на объём данной массы газа прямо пропорционально Т.

2. Рассмотрим график зависимости Р от V при изотермическом процессе для различных значений массы газа m₁ и m₂ (m₁ < m₂).

       
 
 
 
 
 
 

     при m₁  V₁ соответствует давлению Р₁,

     V₂ соответствует давлению Р₂

     В соответствии с видом графика  и законом Бойля – Мариотта имеем:

     Р₁ V₁ = Р₂ V₂

     при m₂ V₁ соответствует давлению Р₁’,

     V₂ соответствует давлению Р₂’

     в соответствии с видом графика  и законом Бойля – Мариотта имеем:

     Р₁’ V₁ = Р₂’ V₂

     Сравним значение произведений Р₁ V1 и Р₁’ V₁

      Р₁’ > Р₁  Р₁ V₁ < Р₁’ V₁

     V₁ = cоnst

     m₂ > m₁ ═> при увеличении m возрастает произведение РV следовательно

     РV ~ m

     то  есть, произведение давления на объём данной массы газа пропорционально массе газа.

3. Рассмотрим график зависимости Р от V при изотермическом процессе для различных веществ с М₁ и М₂ (M₁ < М₂).

 
 
 
 
 
 
 

     при М₁ V₁ соответствует давлению Р₁,

     V₂ соответствует давлению Р₂

     В соответствии с видом графика  и законом Бойля – Мариотта имеем:

     Р₁ V₁ = Р₂ V₂

     при Т₂ V₁ соответствует давлению Р₁’,

     V₂ соответствует давлению Р₂’

     в соответствии с видом графика  и законом Бойля – Мариотта имеем:

     Р₁’ V₁ = Р₂’ V₂

     Сравним значение произведений Р₁ V1 и Р₁’ V₁

      Р₁’ < Р₁  Р₁ V₁ > Р₁’ V₁

     V₁ = cоnst

     М₂ > М₁ ═> при уменьшении М возрастает произведение РV следовательно

     РV~

       произведение давления на объём газа обратно пропорционально значению молярной массы. 

     

4. Сопоставляя полученное

      РV~Т  

     РV~m  => РV~ Т

     РV~1/М 

     Введем  коэффициент пропорциональности R

     РV = R Т уравнение Менделеева – Клапейрона. 

     Изотермический  процесс 

     Процесс изменения состояния термодинамической  системы макроскопических тел при постоянной температуре называется изотермическим.

     Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой –  термостатом. Термостатом может  служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.

     Из  уравнения состояния идеального газа (4) следует, что при постоянной температуре Т и неизменных значениях массы газа m и его молярной массы M произведение давления Р газа на его объем V должно оставаться постоянным:

     PV = const при T = const

     Для газа данной массы произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется.

     Изотермический  процесс можно осуществить, например, путем изменения объема газа при постоянной температуре.

     Этот  закон экспериментально был открыт английским ученым Р. Бойлем (1627-1691) и несколько позже французским ученым Э. Мариоттом (1620-1684). Поэтому он носит название закона Бойля – Мариотта.

     Закон Бойля – Мариотта справедлив для любых газов, а также и для их смесей (например, для воздуха). Лишь при давлениях, в несколько сотен раз больших атмосферного, отклонения от этого закона становятся существенными.

     Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре графически изображается кривой, которая называется изотермой. Изотерма газа изображается обратно пропорциональную зависимость между давление и объемом.

     Кривая  такого рода называется гипербола (рис.1).

     

     Рис.1 График зависимости между давлением  и объемом газа при постоянной температуре

Разным постоянным температурам соответствуют различные изотермы. При повышении температуры давление согласно уравнению состояния (4) увеличивается, если V=const. Поэтому изотерма, соответствующая более высокой температуре , лежит выше изотермы, соответствующей более низкой температуре .

     В системах координат p, T (рис.2) и V, T (рис.3) изотермический процесс изображается прямой, параллельной соответственно оси p или V. Эти прямые также изотермы. Третий параметр (V или p) не сохраняет вдоль них постоянного значения.

     

     Рис.2 График изотермического процесса в  координатах p,T 

     

     Рис.3 График изотермического процесса в  координатах V,T 

     Изотермический  процесс протекает медленно, так  как он обусловлен теплообменом с  окружающей средой. 

     Изобарический процесс 

     Процесс изменения состояния термодинамической  системы при постоянном давлении называется изобарным. Изобарный процесс  протекает при неизменном давлении p и условии m = const и M = const.

     Согласно  уравнению (4) в любом состоянии  газа с неизменным давлением отношение объема газа к его температуре остается постоянным:

     

     где V – объем газа при абсолютной температуре T, V₀ – объем газа при температуре 0⁰С; коэффициент α, равный 1/273 К^-1, называется температурным коэффициентом объемного расширения газов.

     Для газа данной массы отношение объема к температуре постоянно, если давление газа не меняется.

     Этот  закон был установлен экспериментально в 1802г. французским ученым Ж. Гей-Люссаком (1778 – 1850) и носит название закон Гей-Люссака.

     Формулу закона Гей-Люссака можно переписать в виде:

     

     Таким образом, при неизменной массе газа и постоянном давлении его объем  с повышением температуры на 1 градус увеличивается на 1/273 часть того объема, который газ занимает при 273К (0⁰С).

     Графически  такой процесс изображается прямой с помощью координатных осей V, T продолжение которой проходит через начало координат. Называют эту прямую изобарой (рис.4).

     

     Рис.4 Графическая зависимость изобарического процесса

Угол  ее наклона α к оси температур зависит от давления газа: чем больше давление, тем меньше угол наклона (p₃ > p₂ > p₁).

     Различным давлениям соответствуют разные изобары. С ростом давления объем  газа при постоянной температуре  согласно закону Бойле - Мариотта уменьшается. Поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению p₂, лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению p₁.

     Следовательно, при одной и той же температуре  газ будет занимать тем больший  объем, чем меньше его давление. На диаграммах с координатными осями p, V или p, T изобары имеют вид прямых, параллельных оси Т или, соответственно оси V (рис.5, рис.6).

       

     Рис.5 График изобарического процесса в координатах  p,T 

     

     Рис.6 График изобарического процесса в координатах  p,V 

     Изобарным можно считать расширение газа при нагревании его в цилиндре с подвижным поршнем. Постоянство давления в цилиндре обеспечивается атмосферным давлением на внешнюю поверхность поршня.

Изохорический процесс 

     Процесс изменения состояния термодинамической  системы при постоянном объеме называют изохорным. Изохорный процесс, протекающий при неизменном объеме V и условии m = const и M = const.

     При этих условиях из уравнения состояния  идеального газа (4) вытекает, что в  любом состоянии газа с неизменным объемом отношение давления газа к его температуре остается постоянным:

     

     Для газа данной массы отношение давления к температуре постоянно, если объем  не меняется.

     Этот  газовый закон был установлен в 1787г. французским физиком Ж. Шарлем (1746 – 1823) и носит название закон Шарля.

     График  уравнения изохорного процесса называется изохорой. Изохора, изображенная в прямоугольной  системе координат по оси ординат  которой отсчитывается давление газа, а по оси абсцисс – его  абсолютная температура, является прямой, проходящей через начало координат (рис.7).

     

     Рис.7 Графическая зависимость изохорического процесса 

     Угол  наклона α изохоры к оси  температур тем больше, чем меньше объем газа (V₃ > V₂ > V₁).

     Разные  объемам соответствуют разные изохоры. С ростом объема газа при постоянной температуре давление его согласно закону Бойля – Мариотта падает. Поэтому изохора, соответствующая большому объему V₂, лежит ниже изохоры, соответствующей объему V₁.

     В системах координат p, V и V, T изохора имеет вид прямой, параллельной оси p или, соответственно, Т (рис.8, рис.9).

     

     Рис.8 График изохорического процесса в координатах  p, V 

     

     Рис.9 График изохорического процесса в координатах  V, T 

     Увеличение  давления газа в любой емкости  или в электрической лампочке при нагревании является изохорным процессом. Изохорный процесс используется в газовых термометрах постоянного объема. Также изохорный процесс можно осуществить при нагревании воздуха при постоянном объеме. 

     Адиабатический  процесс 

     Кроме изобарного, изохорного и изотермического процессов, в термодинамике часто рассматриваются адиабатные процессы.

     Адиабатным  процессом называется процесс, происходящий в термодинамической системе  при отсутствии теплообмена с  окружающими телами, то есть при  условии Q = 0.

     Отсутствие  теплообмена с окружающей средой может быть обеспечено хорошей теплоизоляцией газа. Быстрые процессы расширения или сжатия газа могут быть близкими к адиабатическому и при отсутствии теплоизоляции, если время, за которое происходит изменение объема газа, значительно меньше времени, необходимого для установления теплового равновесия газа с окружающими телами.

     Примерами адиабатных процессов могут служить  процессы сжатия воздуха в цилиндре воздушного огнива, в цилиндре двигателя  внутреннего сгорания. В соответствии с первым законом термодинамики, при адиабатном сжатии изменение внутренней энергии газа ΔU равно работе внешних сил А:

     ΔU = А

     Так как работа внешних сил при  сжатии положительна, внутренняя энергия  газа при адиабатном сжатии увеличивается, его температура повышается.

     При адиабатном расширении газ совершает  работу А^' за счет уменьшения своей внутренней энергии:

     ΔU = - А'

     Поэтому температура газа при адиабатном расширении понижается. Это можно  обнаружить в следующем опыте. Если в бутылку, содержащую насыщенный водяной пар, накачивать с помощью насоса воздух, то пробка вылетает. Работа А' по выталкиванию пробки совершается воздухом за счет уменьшения его внутренней энергии, так как расширение воздуха происходит за очень короткое время и теплообмен с окружающей средой не успевает произойти. Образование капель тумана доказывает, что при адиабатном расширении воздуха его температура понизилась и опустилась ниже точки росы.

     Поскольку при адиабатном сжатии температура  газа повышается, то давление газа с  уменьшением объема растет быстрее, чем при изотермическом процессе. Понижение температуры газа при адиабатном расширении приводит к тому, что давление газа убывает быстрее, чем при изотермическом расширении.

     График  адиабатного процесса в координатных осях p, V представлен на (рис.10).

     

     Рис.10 График адиабатного процесса в координатных p, V 

     На  этом же рисунке для сравнения  приведен график изотермического процесса.

     Адиабатное  охлаждение газов при их расширении используется в машинах для сжижения газов. Охлаждение газа при адиабатном расширении происходит в грандиозных масштабах в атмосфере Земли. Нагретый воздух поднимается вверх и расширяется, так как атмосферное давление падает с увеличением высоты. Это расширение сопровождается значительным охлаждением. В результате водяные пары конденсируются и образуют облака.

 

Заключение 

     Таким образом, убедились в том, что  основные газовые законы (Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля) представляют собой частные случаи уравнения  Клапейрона – Менделеева.

     Из  данной работы можно сделать вывод, что уравнения состояния содержит в себе в качестве частных случаев газовые законы, связывающие изменение двух термодинамических параметров при неизменном значении третьего.

     Для данной массы газа:

1. при T = сonst pV = const
2. при p = const
3. при V = const

     Работа  и количество теплоты – характеристики процессов, при которых меняется внутренняя энергия.

     В изохорном процессе (V = const) работа равна нулю и ΔU = Q.

     При изотермическом процессе (T = сonst) внутренняя энергия идеального газа не меняется и Q = A'.

     А также в изобарном процессе (p = const) передаваемая система теплота идет на изменение внутренней энергии системы и совершение работы:

     

     И в адиабатном процессе (в теплоизолированной системе):

     

     При обмене теплотой в изолированной  системе без совершения работы выполняется  уравнения теплового баланса: