Вклад Б. Паскаля в развитие теории вероятностей

Министерство  сельского хозяйства РФ

ФГОУ  ВПО Тюменская государственная  сельскохозяйственная академия

Институт  экономики и финансов

Кафедра математики 
 
 
 

    РЕФЕРАТ

    на  тему: «Вклад Б. Паскаля в развитие теории вероятностей» 
 
 
 
 

Выполнила: Хубларова К.К., ст – ка 724а гр.

                                Руководитель: Антропов В.А. 
 
 
 
 
 
 
 

Тюмень, 2011 

     Содержание

                                            Введение

Одно  из произведений, написанное Паскалем, называется «Пари Паскаля», в котором он размышляет о вопросе спасения с точки зрения вероятностей. В «Пари Паскаля» говорится: «Что теряет человек, который становится Христианином? Если после его смерти оказывается, что Бога не существует, что и его вера была напрасной, этот человек ничего не потерял. На самом деле этот человек прожил свою жизнь даже более счастливо по сравнению со своими неверующими друзьями. Однако если Бог, небеса и ад всё же существуют, то этот человек попадает на небеса, а его друзья-скептики попадают в ад, теряя при этом абсолютно всё».

1. Выдающийся учёный и посвященный  Христианин

    Блез  Паскаль, один из трёх детей в семье, родился 10 июня 1623 года в небольшом  французском городке Клермон - Ферран. К сожалению, его мама умерла, когда Блезу было всего три года. После этого семья переехала в Париж.

    На  протяжении всей своей жизни Блез очень часто болел, но, несмотря на это Бог наделил его блестящим  умом. Вначале его отец боялся, что  изучение математики может перенапрягать сына, но занятия наоборот пробудили интерес Блеза к науке.

    В возрасте 14 лет, Блез начал посещать еженедельные лекции по математике. Именно из этих еженедельных собраний математиков  позже образовалась Французская  Академия Наук. Когда мальчику было всего 16 лет, он написал работу о конических сечениях, которая была признана другими математиками как ‘наиболее значительный и ценный вклад, внесённый в математику со времён Архимеда. Эта работа «стала основой современного толкования конических сечений».

1. Вычислительная  машина Паскаля

    Блез  Паскаль всегда старался сделать  так, чтобы результаты его работы в науке и математике могли  применяться на практике. Когда он был ещё подростком, он изобрёл  первую машину для вычислений — арифметическое устройство, которое могло прибавлять и отнимать. Эта машина состояла из набора колёсиков, каждое из которых было помечено числами от нуля до девяти. Колёсики были соединены с зубчатыми колёсами, так что полный поворот одного колёсика приводил в движение следующее, соседнее колёсико на одну десятую поворота. Это устройство очень помогло его отцу, который был судьёй в налоговом суде, а также всем, чья работа была связана с произведением подсчетов. Несмотря на то, что для создания этой машины требовались немалые средства, и на ней было трудно работать, вычислительная машина Паскаля стала важным этапом в последующем развитии калькуляторов и компьютеров.

2. Христианские  убеждения

    В 1646 году, Паскаль присоединился к янсенистам. Это была группа католиков во Франции, которые верили, как и Кальвин, в некоторые доктрины, включающие спасение по Божьей любви и благодати, а не по добрым делам. Паскаль верил в то, что «Бог сотворил внутри сердца каждого человека пустоту, которая не может быть заполнена ничем другим, как Богом Творцом, которого можно узнать через Иисуса Христа». Паскаль искренне верил в то, что события, которые описываются в книге Бытие, являются фактическими и реальными событиями. В Encyclopaedia Britannica говорится, что Паскаль верил в то, что «несчастье человека является лишь результатом Грехопадения», и что «Для Паскаля, как и для апостола Павла, Иисус Христос является вторым Адамом, который просто немыслим без первого».

    Став  посвященным Христианином, Паскаль продолжал свою работу в науке и математике. Эксперименты, которые Паскаль проводил с барометром, доказали теперь уже известный факт, что атмосферное давление (как показывает ртутный столбик барометра) снижается по мере увеличения высоты, а также меняется при изменении погодных условий. Паскаль внёс значительный вклад в развитие гидростатики и гидродинамики. Он показал, что «давление, действующее на замкнутую жидкость, передается неснижаемо через жидкость во всех направлениях, независимо от площади, на которую действует это давление». Известный как закон Паскаля, этот принцип лежит в основе гидравлического пресса, сконструированного Паскалем. Во время этих экспериментов с жидкостями он также изобрёл шприц.

    Паскаль также изучал циклоиду — кривую, образованную фиксированной точкой на окружности, которая катится по прямой линии. Открытие Паскалем многих физических и математических свойств циклоиды стало важным этапом для дальнейшего развития другими учёными дифференциального исчисления.

3. Теория  Вероятности

    Над Теорией Вероятностей Паскаль работал  вместе с другим известным математиком  – Ферма. Переписка между этими  двумя учёными «показывает, что Паскаль и Ферма в равной степени участвовали в создании теории». Несмотря на то, что их исследования проводились с использованием разных игровых ситуаций, эта теория имеет огромное количество применений. Она лежит в основе всех систем страхования и представляет огромную ценность для многих других отраслей науки, таких как квантовая физика, где поведение элементарных частиц можно описать с помощью вероятностей. Именно Паскалю принадлежит изобретение простого метода для определения вероятности результатов, который известен сегодня как Треугольник Паскаля.      

                                           1.4    Возвращение

В какой-то момент своей жизни Паскаль увлёкся  азартными играми. Он стал посещать вечеринки, и, к сожалению, этот образ  жизни отвлёк его внимание. Однако в 1654 году в жизни Паскаля произошел  случай, в результате которого ему чудом удалось избежать смерти. Случилось так, что лошади понесли экипаж, в котором он находился. Животные погибли, а Паскаль остался целым и невредимым. Будучи убеждённым, что именно Бог спас его от смерти, Блез стал по-другому смотреть на свою жизнь.

    Последние годы жизни Паскаля посвящены  написанию произведений на духовные темы. Он написал известный цикл, состоящий из 18 писем, известных как «Письма к Провинциалу», которые, по мнению критиков, положили начало зарождения современной французской прозы. К работам Паскаля также относится выдающаяся книга под названием Pensees (в переводе с французского «Мысли»), в которой он пишет о том, что является основой его Христианской веры.

    Паскаль осознал, что человеческая мудрость и образованность не может дать всех знаний. Он писал, что «Вера показывает нам то, чего не могут показать наши чувства, и что вера вовсе не противоречит нашим чувствам». Он также признал, что Бог – не просто Создатель, но также любящий и близкий Бог. «Бог Авраама, Бог Исаака, Бог Иакова, Бог Христиан – и есть Богом любви и утешения».

    Одно  из произведений, написанное Паскалем, называется Пари Паскаля, в котором  он размышляет о вопросе спасения с точки зрения вероятностей. В  Пари Паскаля говорится:

    «Что теряет человек, который становится Христианином? Если после его смерти оказывается, что Бога не существует, что и его вера была напрасной, этот человек ничего не потерял. На самом деле этот человек прожил свою жизнь даже более счастливо по сравнению со своими неверующими друзьями. Однако если Бог, небеса и ад всё же существуют, то этот человек попадает на небеса, а его друзья-скептики попадают в ад, теряя при этом абсолютно всё».

     Незадолго до своей смерти Паскаль писал: «Я простираю руки к моему Спасителю, который пришел на эту землю, чтобы пострадать и умереть за меня». Паскаль умер в Париже 19 августа 1662 года. Но, несмотря на короткую жизнь, сопровождаемую постоянными болезнями и болью, этот преданный Христианин внёс выдающийся вклад в науку, математику и литературу.

          2. Вклад Б. Паскаля в развитие теории вероятностей

     Обычно  считают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых — Б.Паскаля (1623-1662) и П.Ферма (1601-1665). От этой переписки сохранилось лишь три письма Паскаля (от 29 июля, 24 августа и 27 октября 1654 г.) и четыре письма П. Ферма (одно письмо без даты и письма от 9 августа, 29 августа, 25 сентября 1654 г.). Самое первое письмо Б. Паскаля утрачено и о его содержании можно судить лишь по ответу Ферма.

     В 1950-1951 гг., в связи с приближавшимся 150-летним юбилеем М. В. Остроградского (1801-1862), Гнеденко Б.В. было поручено изучить архив этого ученого, хранящийся в Государственной публичной библиотеке УССР. Среди рукописей нашелся фрагмент (лист 904), явно относившийся к вводной лекции по теории вероятностей. Из литературных источников известно, что в 1858 г. Остроградский прочитал в Михайловском артиллерийском училище двадцать лекций по теории вероятностей с целью развития кругозора слушателей и их научной инициативы. Более того, три из них даже были изданы. Однако ни одной из них не удалось найти. Тем интереснее было познакомиться с обнаруженным фрагментом, который можно считать полезным, привести здесь полностью.

     Теорию вероятностей должно отнести к наукам нового времени, ибо настоящее ее начало не восходит дальше половины XVII столетия. Правда, некоторые предметы, относящиеся к этой науке, были известны во времена весьма отдаленные и постоянно делались расчеты, основанные на продолжительности средней жизни, известны были морские страхования, знали число случайностей в азартных играх, но только в самых простых, найдены были величины ставок или закладов, безобидных для игроков, но подобные выводы не были подчинены никаким правилам. Однако же теорию вероятностей считают наукой нового времени и ее начало относят к первой половине XVII столетия, ибо прежде этой эпохи вопросы о вероятностях не были подчинены математическому анализу и не имелось никаких точных общих правил для решения их.

     Паскаль, а за ним Ферма, учёные XVII столетия, по справедливости считаются основателями науки о вероятностях. Первый вопрос, относящийся к этой науке, и довольно сложный, решен Паскалем. Вопрос был предложен Паскалю кавалером де Мере и состоял в следующем условии. Два игрока начали игру, состоящую из данного числа партий, положим 30-ти, розыгрыш каждой партии непременно выигрывается одним из игроков, и тот из них, кто выиграл бы прежде другого тридцать партий, считался окончательно выигравшим и взял бы обе ставки, внесенные вначале игры. Но игроки согласились прекратить игру, не окончив ее, т. е. одному не хватало до выигрыша тридцати партий некоторого числа, например, трех партий, а другому, положим, пятнадцати партий. Внесенные ставки для безобидности, конечно, должны быть разделены между игроками так, чтобы тот, кому недостает до выигрыша большего числа партий, получил бы меньшую сумму, а противник его большую, именно безобидный раздел требует, чтобы каждый игрок получил часть внесенной суммы, пропорциональную вероятности своего выигрыша. Итак, нужно найти эту вероятность. Паскаль нашел ее, а потом вопрос де Мере предложил Ферма. Последний немедленно нашел решение и даже для случая более сложного, когда игра происходит не между двумя только, а между произвольным числом игроков.

     Замечательно, что имя кавалера де Мере, человека светского и не имевшего никакого преуспевания на поприще математических наук, остается навсегда в истории этих наук».

     Мы  видим теперь, что оценка, данная роли Паскаля и Ферма Остроградским, несколько завышена. Впрочем, такой же точки зрения придерживаются многочисленные историки науки. Однако в переписке Паскаля с Ферма еще отсутствует понятие вероятности, и оба они ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов. Конечно, у этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая, как мы знаем, отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном, как мы теперь сказали бы, вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и в весьма несовершенной форме — теорем о сложении и умножении вероятностей. Точнее сказать, не вероятностей, а шансов, благоприятствующих тому или иному событию. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретиковероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей.

     Толчком к появлению интересов Паскаля к задачам, приведшим к теории вероятностей, послужили встречи и беседы с одним из придворных французского королевского двора — шевалье де Мере (1607-1648). Де Мере интересовался философией, литературой и одновременно был страстным игроком. В этой страсти были истоки тех задач, которые он предложил Паскалю. Вот эти вопросы:

1. Сколько раз надо подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз сразу двух шестерок, были бы больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно?
2. Как нужно разделить ставку между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков?

     Де  Мере претендовал, что первую задачу он решил. Однако при ближайшем рассмотрении в его рассуждениях легко обнаружить ошибку. А именно, в одном из писем де Мере Паскалю содержится такая фраза: «Если в одном случае есть один шанс из в единственной попытке и в другом случае один шанс из , то отношение соответствующих чисел есть . Таким образом, ».

     Обозначения и смысл этой фразы требуют  пояснения. В приведенном письме речь идет о следующем: при бросании одной кости имеется различных исходов и выпадению шестерки благоприятствует один из них. При бросании двух костей сразу выпадению шестерки на двух костях благоприятствует лишь один исход из возможных. При бросании одной кости (= 4) раз число благоприятствующих исходов для выпадения шестерки превосходит число благоприятствующих случаев ее невыпадения. Символом обозначим число бросаний двух костей, при котором число благоприятствующих случаев выпадения одновременно двух шестерок превзойдет число благоприятствующих случаев для их невыпадения ни разу. Из правила де Мере вытекает, что уже при 24 бросаниях двух костей наступает интересующее нас событие.

     В действительности правило де Мере ошибочно, поскольку вероятность того, что при четырех бросаниях одной кости ни разу не появится шестерка, равна и, значит, искомая вероятность равна . В этом пункте де Мере оказался прав, но при 24 бросаниях двух костей вероятность ни разу не выбросить сразу две шестерки равна (35/36)²⁴ = 0,509, а искомая вероятность хотя бы раз выбросить две шестерки сразу есть 1 - (35/36)²⁴ = 0,491. Легко понять, что двадцати четырех бросаний еще недостаточно, а нужно по меньшей мере двадцать пять бросаний двух костей, чтобы вероятность выпадения сразу двух шестерок превосходила 0,5.

     При изложении мы воспользовались современным  языком и употребляли понятие вероятности. Подход де Мере был обычным для того времени и ограничивался лишь подсчетом числа благоприятствующих тому или иному событию шансов.

     Основное  содержание писем Паскаля и Ферма  посвящено разделу ставки. Решение, предложенное Паскалем, в подробностях изложено в письме от 29 июля:

     «Вот  примерно, что я делаю для определения  стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля.

     Предположим, что один выиграл две партии, а  другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по 2 выигранных партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.

     Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: „Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля"».

     Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной, и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. В обоих случаях рассуждения при решении подобны тем, которые уже были проведены. Ответы же, предложенные Паскалем, таковы: в первом случае один игрок должен получить 56, а второй — 8 пистолей; во втором же — 44 и 20.

     Решение, которое для задачи Паскаля предложил  Ферма, дошло до нас только по изложению, которое содержится в письме Паскаля  от 24 августа. Письмо же Ферма с оригинальным текстом не сохранилось. Пусть до выигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В — трех партий. Тогда для завершения игры достаточно сыграть еще максимум четыре партии. Их возможные исходы представлены в виде следующей табл.1:

     Таблица 1

     В этой таблице символом А обозначен выигрыш соответствующей партии игроком А, символом В — игроком В. Номера партий идут по строкам, номера исходов — по столбцам. В первых одиннадцати исходах выигрывает игрок А, в последних пяти — игрок Б. Таким образом, ставка между игроками А и В должна быть разделена в отношении 11 к 5. Иными словами, игрок А получит 11/16, а игрок В — 5/16 ставки. Совершенно очевидно, что Ферма, так же как и Паскаль, делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры. Но этого понятия в их руках еще нет, и они вынуждены искать иные способы выражения своих идей. В результате они сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы. Это отчетливо видно из письма Паскаля от 27 октября, в котором он писал: «Сударь, я очень доволен Вашим последним письмом, я любуюсь методом в отношении партий, тем более, что я хорошо понимаю, он полностью Ваш, ничего общего не имеет с моим и легко приводит к той же самой цели».

     В письме от 24 августа Паскаль высказал сомнение в том, что метод Ферма  можно распространить на число игроков, большее двух. Однако Ферма показал, что теми же рассуждениями можно  решить задачу о разделении ставки и для случая трех игроков. Это решение им было использовано в задаче о трех игроках, когда до окончания игры игроку А недостает одной выигрышной партии, а игрокам В и С — по две. Это решение вновь сопровождается таблицей, смысл которой пояснять уже нет необходимости (табл.2):

     Таблица 2

     В своем письме Паскаль отметил, что  Ж. Роберваль (1604-1675) спросил его, зачем рассматривать продолжение игры до четырех партий в тех случаях, когда уже ясно, какой из игроков выигрывает игру? Паскаль явно понимал, что это необходимо для сохранения равновозможности всех перечисляемых случаев. Так, в первых четырех исходах первой таблицы игрок А выигрывает всю игру уже после двух партий. Точно так же в первых девяти исходах второй таблицы игрок А выигрывает игру после первой партии. Тем не менее Ферма доводит таблицу до конца и рассматривает все возможные исходы четырех партий. Этим самым Паскаль и Ферма избежали ошибки, которую допустил в следующем столетии Д'Аламбер (1717-1783), когда подсчитывал число равновероятных случаев при бросании двух монет.

     При рассмотрении второй таблицы Паскаль  допустил неточность в рассуждениях. А именно, он считал, что из 27 возможных исходов бесспорно благоприятствуют игроку А лишь 13, а исходы 5, 11, 19 столбцов, так же как 9, 15 и 24, благоприятствуют сразу и игроку А и игроку В (как А, так и С), поэтому их следует брать с половинным весом. В результате Паскаль предлагал делить ставку в отношении 16:5, 5:5,5.

     Паскаль одновременно с размышлениями над  проблемами, составившими содержание его переписки с Ферма, разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованный в 1665 г. и внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики. В этом трактате имеется параграф, в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки. Правило, предложенное Паскалем, состоит в следующем: пусть игроку А до выигрыша всей игры не хватает m партий, а игроку В — n партий, тогда ставка должна делиться между игроками в таком отношении: 

                                                        Заключение

     Несмотря на то, что  их исследования проводились с использованием разных игровых ситуаций, эта теория имеет огромное количество применений. Она лежит в основе всех систем страхования и представляет огромную ценность для многих других отраслей науки, таких как квантовая физика, где поведение элементарных частиц можно описать с помощью вероятностей. Именно Паскалю принадлежит изобретение простого метода для определения вероятности результатов, который известен сегодня как Треугольник Паскаля.

                                   Список литературы

1. http://www.stmaria.ru/index.php/geroivery/227--16231662.html
2. http://www.kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_345.htm
3. Б.В. Гнеденко. «Очерк по истории теории вероятностей»
4. http://verschool.nm.ru/files/dejateli.html
5. А.А.Марков. «Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятности»
6. Реньи А. «Письма о вероятности»
7. Р. Дельтейль, Р. Юрон. «Вероятности, ошибки»