Вклад ученых Казани в развитие математики

   Содержание

1. Введение

2. Чеботарёв
• Теория Галуа и алгебраический числа
• Проблема резольвент
• Проблемы распределения корней
• Теория групп
• Теория алгебраических функций

3.   Лобачевский

• Неевклидова геометрия

4.  Ибрагимов

• Введение в теорию марковских цепей
• Классификация состояний марковских цепей
• Примеры использования

   Математика- одна из важнейших наук в современном  мире. История математики знает множество не только зарубежных учёных, но и учёных России. Это- Левенштейн В. И. внесший в 1965 году  понятие дистанции редактирования, так же это и уроженец города Тула, Артамонов В. А.- Автор более 100 научных работ по универсальной алгебре, ассоциативной алгебре и некоммутативной алгебраической геометрии. Первооткрыватель клонов полилинейных операций и мультиоператорных алгебр, но и не малый вклад внесли учёные Казани.

   Цель  работы рассказать о казанских математиках  и показать на сколько важны их достижения. 

Чеботарёв. 

Николай Григорьевич Чеботарев родился 15 июня 1894 г. в семье юриста в г. Каменец-Подольский. Еще гимназистом младших классов он стал увлеченно заниматься математикой, обнаружив при этом склонность к самостоятельному творчеству. В 1912 г. Николай Григорьевич поступил в Киевский университет, где основательно изучил теорию Галуа, методы которой на протяжении всей своей жизни он так успешно применял к решению почти всех интересовавших его задач. На втором курсе он принимал активное участие в математическом семинаре под руководством профессора Д.А.Граве, выступал с докладами и продолжал самостоятельное изучение теории аналитических и алгебраических функций, я также теории алгебраических чисел и получил великолепный самостоятельный результат - доказал арифметическую теорему монодромии: " композит всех групп инерции нормального поля есть группа Галуа этого поля". В 1915 г. Киевский университет в связи с войной был эвакуирован в Саратов, где Чеботарев продолжал интенсивно заниматься математикой в тесном общении с Борисом Николаевичем Делоне, одним из выдающихся учеников Д.Д.Граве, впоследствии членом-корреспондентом АН СССР. Б.Н.Делоне ввел Чеботарева в курс современных проблем теории алгебраических чисел, по которым Николай Григорьевич впоследствии получил фундаментальные результаты. В 1916 г. Чеботарев был оставлен при университете " для приготовления к профессорскому званию" под руководством Д.А.Граве. В 1918 г., после сдачи магистерских экзаменов, был избран приват-доцентом университета и, кроме основной работы, занимался преподавательской деятельностью в средних учебных заведениях Киева. 1918-1921 гг. Николай Григорьевич называл киевским периодом, в течение которого он написал несколько работ, опубликованных значительно позднее. В 1921 г. Чеботарев переехал к своим родителям в Одессу, где он успешно занимался математикой и получил блестящие результаты, принесшие ему мировую известность, поставив его в ряд с классиками мировой математики. Диапазон научных интересов Николая Григорьевича был очень широк. Он занимался исследования ми конкретных, трудных задач классической математики из самых различных ее разделов. В 1927 г. Чеботарев был приглашен и избран по конкурсу профессором кафедры математики в Казанском университете н в 1928 г. приступил к своим обязанностям, которые исполнял без перерыва до 2 июля 1947 г., когда после тяжелой операции он скончался. В Казани Николай Григорьевич продолжает интенсивно работать: издает книги и учебные пособия, создает Казанскую алгебраическую школу. 
 

Теория  Галуа и алгебраический числа.

Главный результат  в теории Галуа, полученный Чеботаревым, состоит в решении проблемы Фробениуса об определении плотности множества простых чисел, при надлежащих заданному классу автофизмов группы Галуа нормального расширения поля рациональных чисел.

Еще в древности, во времена Евклида, была поставлена задача найти закон распределения простых чисел в натуральном ряде 1, 2. 3, 4, 5, То что простых чисел бесконечное множество, доказывается просто и было известно Евклиду, но закономерность их расположения не удавалось установить на протяжении более двух тысяч лет, несмотря на усилия выдающихся математиков. Так как натуральный ряд чисел 1. 2. 3,.. является арифметической прогрессией с разностью, равной единице, то получается, что в этой прогрессии лежит бесконечное множество простых чисел, а именно, все простые числа. Если взять арифметическую прогрессию общего вида mx+a,где наибольший общий делитель (m,a) неравен 1, то такая прогрессия не содержит ни одного простого числа. Остается случай, когда s=1.В 1937 Г. Дирихле доказал одну из глубоких теорем теории чисел: "В прогрессии mx+а, где (m,а)=1. лежит бесконечно много простых чисел". При решении этой задачи Дирихле ввел понятие плотности множеств простых чисел. Плотность множества всех простых чисел равна единице откуда следует, что плотность любого подмножества простых чисел не превосходит единицы. Дирихле доказал, что в прогрессиях простые числа распределены с одинаковой плотностью и указал численное значение этой плотности.

Фробениус поставил следующую задачу: определить плотность  множества простых чисел, принадлежащих  заданному классу подстановок произвольного нормального расширения поля рациональных чисел. Эту задачу Фробениусу решить не удалось, он решил другую, более частную: нашел плотность множества простых чисел принадлежащих другую, болеелегкую: нашел плотность множества простых чисел принадлежащих к отделу группы Галуа.

Но теорема  Фробениуса не является обобщением теоремы  Дирихле на любые поля алгебраических чисел. В 1922 г. Чеботарев решил проблему Фробениуса, доказав более общую  теорему.

Теорема Чеботарева является обобщением теоремы Дирихле на поля алгебраических чисел. При решении проблемы Фробениуса Николай Григорьевич применил созданный им метод присоединения к нормальному полю К поля деления круга W-метод, сыгравший выдающуюся роль в прогрессе теории алгебраических чисел. Этот метод в 1927 г. позволил Э.Артину доказать свой закон взаимности, что давало возможность отобразить арифметические свойства поля К в его группу Галуа аналогично основной теореме теории Галуа. отражающей алгебраические свойства поля К в группу Галуа. После доказательства артиновского закона взаимности теория полей классов была перестроена коренным образом. Работа Н.Г.Чеботарева впервые была опубликована в 1923 г. в Известиях Российской академии наук и в переводе на немецкий язык в журнале "Math.Ann." в 1925 г. и сразу же привлекла внимание математиков как советских, так и зарубежных, занявшихся улучшением и упрощением доказательства теоремы Чеботарева. Насколько важное значение имеет закон о плотностях простых чисел, доказанный Николаем Григорьевичем. можно судить по тому, что и в настоящее время пределы его применения все более расширяются; он применяется в проблеме построения полей с заданной группой Галуа, в теории абелевых l-адических представлений полей, в современном изложении теории Галуа и теории полей классов. Подробный комментарий к работе Чеботарева о плотности дан И.Р.Шафаревичем (см.: Чеботарев Н.Г. Собр. соч., т. 3).В области теории алгебраических чисел Чеботаревым написано свыше десяти работ, которые по служили отправной точкой для исследований молодых математиков.

Отметим хорошо известную классическую задачу древности, поставленную еще Гиппократом и  привлекавшую внимание крупнейших математиков  на протяжении двух с половиной тысяч  лет, задачу о кадрировании круговых луночек при помощи циркуля и линейки. Основная роль в решении этой задачи принадлежит Чеботареву. который решил ее благодаря синтезу результатов Дедекинда. Оре и других. В 1934 г. Николай Григорьевич решил задачу для случая, когда отношение угловых мер дуг, ограничивающих луночку, соизмеримо и равно m/n, где m,n- взаимно простые и оба нечетные, а в 1947 г. его ученик А.В.Дороднов исследовал вторую половина задачи, когда одно из чисел m,n - четное. Так была решена геометрическая задача методом современной алгебры. 
 

Проблема резольвент.

Пусть дано алгебраическое уравнение степени n с коэффициентами зависящими от k параметров. Проблема резольвент Клейна состояла в том, чтобы найти такое преобразование Чирнгаузена, при котором коэффициенты резольвенты зависели бы от возможно меньшего числа параметров. В 1900 г. Д.Гильберт обобщил эту проблему.

Н.Г. Чеботарев, занимаясь проблемой резольвент Клейна - Гильберта, опубликовал ряд работ; в которых среди различных результатов содержится и такой: для того, чтобы уравнение имело k-параметрическую резольвенту Клейна, необходимо и достаточно, чтобы его группа Галуа была подгруппой группы Ли, допускающей представление в k-мерном пространстве. В 1943 г. Николай Григорьевич занимается проблемой резольвент Гильберта, вводя в исследование задачи предложенное им новое понятие критического многообразия.

Результаты  работ Чеботарева по проблеме резольвент были высоко оценены специалистами  и Советским правительством, за совокупность работ ему была присуждена Сталинская премия первой степени.

Проблемы  распределения корней.

Еще в Одессе Николай Григорьевич распространил  теорию исключения переменных для многочленов  целые трансцендентные функции  и применил свой метод к нахождению критериев однолистности аналитических  функций. Эта проблема привела его к постановке целого ряда новых проблем о продолжаемости полиномов. Содержание проблемы состоит в следующем: дан многочлен и множество M; требуется дописать к многочлене старшие так, чтобы все корни нового многочлена лежали в множестве M. Если это возможно, то многочлен называется M-продолжаемым.

В 1936 г. ученик Чеботарева, в то время его аспирант, Л.И.Гаврилов решил проблему К-продолжаемости, где К-окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Оказалось, что всякий многочлен К-продолжаем.

Проблемой R-продолжаемых многочленов, где R - вещественная ось, успешно занимался другой аспирант Чеботарева - Н.Н.Мейман. Эта проблема оказалась весьма трудной, так как необходимые и достаточные условия для R-продолжаемости выражаются бесконечным множеством неравенств, налагаемых на коэффициенты многочлена. Однако Мейман нашел алгоритм, при помощи которого конечным числом действий задача может быть решена. За эту работу, поданную как кандидатская диссертация, Н. Н. Мейман по лучил сразу ученую степень доктора физико-математических наук Осталась нерешенной проблема H-продолжаемости, где H - левая полуплоскость. По-видимому, она весьма трудна. Ее возникновение было вызвано приложен иен к решению инженерных задач при конструировании паровых турбин.

Теория  групп.

Проблема теории резольвент тесно связана с теорией  групп Ли. Занимаясь резольвентами, Николай Григорьевич заинтересовался  теорией групп Ли и получил  в этой области ряд результатов. Так, в 1938 г, он предложил доказательство гипотезы Картана, высказанной в 1894 г. о том, что " подгруппы наибольшего порядка простых групп Ли суть регулярные подгруппы&quot. Эта теорема позволяет заключить, что проблема резольвент Клейка дает худшее приведение числа параметров, чем проблема резольвент Гильберта. По теории групп Ли Чеботарев опубликовал восемь работ.

В 1940 г. Николай  Григорьевич издает книгу "Теория групп Ли", являющуюся первой книгой на русском языке по группам Ли. Книга сразу получила признание  у математиков и физиков, применяющих  в своих исследованиях методы теории групп Ли. В этой области математики Чеботареву особенно посчастливилось, он имеет двух учеников, которые внесли в науку вклад огромного значения.

При работе над  проблемой резольвент Н.Г.Чеботарев  встретился с вопросом об "одевании" конечных групп группами Ли, что привело к задаче о представлении алгебр Ли матрицами. Эту тему он дал своему аспиранту И.Д.Адо.

В 1935 г. И. Д. Адо  решил задачу, доказав Теорему (Адо). Эта работа была подана как кандидатская диссертация, но ученый совет присудил за нее сразу ученую степень доктора физико-математических наук, и она принесла двадцатипятилетнему И.Д.Адо мировую известность. Полученный результат вошел в современные монографии по теории алгебр Ли и называется теоремой Адо.

Второй ученик В.В.Морозов в 1938 г. решил проблему перечисления всех примитивных представлений неполупростых групп Ли, а в 1943 г. в своей докторской диссертации разыскал все неполупростые максимальные подгруппы простых групп Ли и в дальнейшем опубликовал ряд работ, результаты которых также вошли в монографии по алгебрам Ли. Кроме плодотворной научной и педагогической деятельности. Э. В. Морозов принял на себя труд по продолжению деятельности Казанской алгебраической школы, которую он возглавлял на протяжении двадцати восьми лет, заведуя кафедрой алгебры после Н. Г. Чеботарева.

Теория  алгебраических функций.

Задачами из теории алгебраических функций Н.Г.Чеботарев  интересовался, будучи еще студентом  второго курса университета. Первая задача, которую он поставил перед  собой - обосновать при помощи теории Галуа инвариантные свойства полей алгебраических функций. В 1948 г. опубликована книга "Теория алгебраических функций & quot. Б которой поставлена проблема перечисления всех подполей поля алгебраических функций, являющаяся аналогом основной теоремы теории Галуа для полей алгебраических чисел (Чеботарев подчеркивал, что, насколько ему известно, эта задача никем не ставилась, по-видимому, она весьма трудна). Известно, что каждому полю алгебраических функций рода g от одной независимой переменной можно СОПОСТАВИТЬ v- функцию от аргументов. Возникает вопрос, можно ли исходя от заданной v-функции от h аргументов придти к полю алгебраических функций рода h? Этой задачей занимался Пуанкаре и дал эскиз доказательства для любого h. Николай Григорьевич провел полное доказательство и предложил свой способ узнавать, когда выполняются условия разрешимости задачи. 

Алгебраическая функция, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. Алгебраическая функция принадлежит к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочлены например, 
 
 
 
  называются рациональными, а прочие Алгебраические функции - иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить Алгебраические функции, выражаемые с помощью радикалов например, 
 
 
 
  Однако существуют Алгебраическая функция, которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y⁵ + 3ух⁴ + x⁵ = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций, встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x^a (если a - иррациональное число), показательная а^х, логарифмическая и т. д. Общая теория Алгебраическая функция представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (Алгебраическая функция составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией. Самая общая Алгебраическая функция многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида: 
 
Р_о(х, у, z, ...)uⁿ + P₁(x, y, z, ...)u^n-1 + … +P_n(x, y, z, ...) = 0,          (1) 
 
где Р₀, Р₁, ..., P_n - какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P₀ можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P₁/P₀), частным случаем которой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P₀ = const ¹ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни. 
 
  При n ³ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная Алгебраическая функция всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...

Лобачевский.

Николай Иванович Лобачевский (20 ноября (1 декабря) 1792, Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856, Казань), великий русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения.

Неевклидова геометрия.

   Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.

   7 февраля 1826 года Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829—1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.

Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.

   Однако  научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку. Среди коллег его почти никто не поддерживает, растут непонимание и невежественные насмешки.

Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале Ф.Булгарина «Сын отечества» в 1834 году:

Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор  математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая  немного бы принесла чести и последнему школьному учителю? Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего.

   Но  Лобачевский не сдаётся. В 1835—1838 он публикует в «Учёных записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем выходит наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

   Не  найдя понимания на родине, он пытается найти единомышленников за рубежом. В 1840 году Лобачевский печатает на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое изложение его основных идей. Один экземпляр получает Гаусс, «король математиков» той поры.

   Как много  позже выяснилось, Гаусс и сам  тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему. Ознакомившись  с результатами Лобачевского, он выразил свою симпатию к идеям русского учёного косвенно: рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества. Восторженные отзывы о Лобачевском Гаусс доверил только своим дневникам и самым близким друзьям.

Это избрание состоялось в 1842 году. Однако положения Лобачевского оно не укрепило. Ему осталось работать в родном университете ещё четыре года.

   Лобачевский не был единственным исследователем в этой новой области математики. Венгерский математик Янош Бойяи независимо от Лобачевского в 1832 году опубликовал своё описание неевклидовой геометрии. Но и его работы остались неоценёнными современниками.

   Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько  десятилетий ситуация в науке  коренным образом изменилась. Большую  роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова. Осознание того, что у евклидовой геометрии имеется полноценная альтернатива, произвело огромное впечатление на научный мир и придало импульс другим новаторским идеям в математике и физике.

   Ибрагимов

Ибрагимов Ильдар Абдуллович: Действительный член РАН (1997), заведующий лабораторией отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН; родился 15 июля 1932 г. в г. Ленинграде; окончил в 1956 г. ЛГУ; главные направления научной деятельности: теория вероятностей, теория стационарных процессов, теория процессов Маркова, теория функции и метрическая теория чисел; женат, имеет двоих детей.

Введение  в теорию марковских цепей

Цепью Маркова  называют такую последовательность случайных событий, в которой  вероятность каждого события  зависит только от состояния, в котором процесс находится в текущий момент и не зависит от более ранних состояний. Конечная дискретная цепь определяется:

1. множеством состояний S = {s₁, …, s_n}, событием является переход из одного состояния в другое в результате случайного испытания
2. вектором начальных вероятностей (начальным распределением) p⁽⁰⁾ = {p⁽⁰⁾(1),…, p⁽⁰⁾(n)}, определяющим вероятности p⁽⁰⁾(i) того, что в начальный момент времени t = 0 процесс находился в состоянии s_i
3. матрицей переходных вероятностей P = {p_ij}, характеризующей вероятность перехода процесса с текущим состоянием s_i в следующее состояние s_j, при этом сумма вероятностей переходов из одного состояния равна 1:

∑_j=1…n  p_ij = 1

Пример матрицы  переходных вероятностей с множеством состояний S = {S₁, …, S₅}, вектором начальных вероятностей p⁽⁰⁾ = {1, 0, 0, 0, 0}:

С помощью вектора начальных вероятностей и матрицы переходов можно вычислить стохастический вектор p⁽ⁿ⁾ — вектор, составленный из вероятностей p⁽ⁿ⁾(i) того, что процесс окажется в состоянии i в момент времени n. Получить p⁽ⁿ⁾ можно с помощью формулы:

p⁽ⁿ⁾ = p⁽⁰⁾×P ⁿ

Векторы p⁽ⁿ⁾ при росте n в некоторых случаях стабилизируются — сходятся к некоторому вероятностному вектору ρ, который можно назвать стационарным распределением цепи. Стационарность проявляется в том, что взяв p⁽⁰⁾ = ρ, мы получим p⁽ⁿ⁾ = ρ для любого n. 
Простейший критерий, который гарантирует сходимость к стационарному распределению, выглядит следующим образом: если все элементы матрицы переходных вероятностей P положительны, то при n, стремящемуся к бесконечности, вектор p⁽ⁿ⁾ стремится к вектору ρ, являющемуся единственным решением системы вида  
p × P = p. 
Также можно показать, что если при каком-нибудь положительном значении n все элементы матрицы P ⁿ положительны, тогда вектор p⁽ⁿ⁾ все-равно будет стабилизироваться.

Марковская цепь изображается в виде графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги — переходам между ними. Вес дуги (i, j), связывающей вершины s_i и s_j будет равен вероятности p_i(j) перехода из первого состояния во второе. Граф, соответствующий матрице, изображенной выше:

Классификация состояний марковских цепей

При рассмотрении цепей Маркова нас может интересовать поведение системы на коротком отрезке  времени. В таком случае абсолютные вероятности вычисляются с помощью  формул из предыдущего раздела. Однако более важно изучить поведение системы на большом интервале времени, когда число переходов стремится к бесконечности. Далее вводятся определения состояний марковских цепей, которые необходимы для изучения поведения системы в долгосрочной перспективе. 
Марковские цепи классифицируются в зависимости от возможности перехода из одних состояний в другие.  
Группы состояний марковской цепи (подмножества вершин графа переходов), которым соответствуют тупиковые вершины диаграммы порядка графа переходов, называются эргодическими классами цепи. Если рассмотреть граф, изображенный выше, то видно, что в нем 1 эргодический класс M₁ = {S₅}, достижимый из компоненты сильной связности, соответствующей подмножеству вершин M₂ = {S₁, S₂, S₃, S₄}. Состояния, которые находятся в эргодических классах, называются существенными, а остальные — несущественными (хотя такие названия плохо согласуются со здравым смыслом). Поглощающее состояние s_i является частным случаем эргодического класса. Тогда попав в такое состояние, процесс прекратится. Для S_i будет верно p_ii = 1, т.е. в графе переходов из него будет исходить только одно ребро — петля.

Поглощающие марковские цепи используются в качестве временных  моделей программ и вычислительных процессов. При моделировании программы состояния цепи отождествляются с блоками программы, а матрица переходных вероятностей определяет порядок переходов между блоками, зависящий от структуры программы и распределения исходных данных, значения которых влияют на развитие вычислительного процесса. В результате представления программы поглощающей цепью удается вычислить число обращений к блокам программы и время выполнения программы, оцениваемое средними значениями, дисперсиями и при необходимости — распределениями. Используя в дальнейшем эту статистику, можно оптимизировать код программы — применять низкоуровневые методы для ускорения критических частей программы. Подобный метод называется профилированием кода.

Например, в алгоритме  Дейкстры присутствуют следующие состояния  цепи:

• vertex (v), извлечение новой вершины из очереди с приоритетами, переход только в состояние b;
• begin (b), начало цикла перебора исходящих дуг для процедуры ослабления;
• analysis (a), анализ следующей дуги, возможен переход к a, d, или e;
• decrease (d), уменьшение оценки для некоторой вершины графа, переход к a;
• end (e), завершение работы цикла, переход к следующей вершине.

Остается задать вероятности переходом между  вершинами, и можно изучать продолжительности  переходов между вершинами, вероятности  попадания в различные состояния и другие средние характеристики процесса.

Аналогично, вычислительный процесс, который сводится к обращениям за ресурсами системы в порядке, определяемом программой, можно представить  поглощающей марковской цепью, состояния  которой соответствуют использованию ресурсов системы – процессора, памяти и периферийных устройств, переходные вероятности отображают порядок обращения к различным ресурсам. Благодаря этому вычислительный процесс представляется в форме, удобной для анализа его характеристик.

Цепь Маркова  называется неприводимой, если любое состояние S_j может быть достигнуто из любого другого состояния S_i за конечное число переходов. В этом случае все состояния цепи называются сообщающимися, а граф переходов является компонентой сильной связности. Процесс, порождаемый эргодической цепью, начавшись в некотором состоянии, никогда не завершается, а последовательно переходит из одного состояния в другое, попадая в различные состояния с разной частотой, зависящей от переходных вероятностей. Поэтому основная характеристика эргодической цепи –  
вероятности пребывания процесса в состояниях S_j, j = 1,…, n, доля времени, которую процесс проводит в каждом из состояний. Неприводимые цепи используются в качестве моделей надежности систем. Действительно, при отказе ресурса, который процесс использует очень часто, работоспособность всей системы окажется под угрозой. В таком случае дублирование такого критического ресурса может помочь избежать отказов. При этом состояния системы, различающиеся составом исправного и отказавшего оборудования, трактуются как состояния цепи, переходы между которыми связаны с отказами и восстановлением устройств и изменением связей между ними, проводимой для сохранения работоспособности системы. Оценки характеристик неприводимой цепи дают представление о надежности поведения системы в целом. Также такие цепи могут быть моделями взаимодействия устройств с задачами, поступающими на обработку.