Титульный лист 
 

      Содержание 

      Введение

      Подобно тому как Луна движется вокруг Земли, Земля в свою очередь обращается вокруг Солнца. Вокруг Солнца обращаются Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и другие планеты Солнечной системы. Ньютон доказал, что движение планет вокруг Солнца происходит под действием силы притяжения, направленной к Солнцу и убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния от него. Земля притягивает Луну, а Солнце - Землю, Солнце притягивает Юпитер, а Юпитер - свои спутники и т. д. Отсюда Ньютон сделал вывод, что все тела во Вселенной взаимно притягивают друг друга.

      Силу взаимного притяжения, действующую между Солнцем, планетами, кометами, звездами и другими телами во Вселенной, Ньютон назвал силой всемирного тяготения.

      Сила  всемирного тяготения, действующая  на Луну со стороны Земли, пропорциональна массе Луны. Очевидно, что сила всемирного тяготения, действующая со стороны Луны на Землю, пропорциональна массе Земли. Эти силы по третьему закону Ньютона равны между собой. Следовательно, сила всемирного тяготения, действующая между Луной и Землей, пропорциональна массе Земли и массе Луны, т. е. пропорциональна произведению их масс.

      Распространив установленные закономерности - зависимость силы тяжести от расстояния и от масс взаимодействующих тел - на взаимодействие всех тел во Вселенной, Ньютон открыл в 1682 г. закон всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

      Векторы сил всемирного тяготения направлены вдоль прямой, соединяющей тела.

      Закон всемирного тяготения в такой  форме может быть использован  для вычисления сил взаимодействия между телами любой формы, если размеры  тел значительно меньше расстояния между ними. Ньютон доказал, что для  однородных шарообразных тел закон  всемирного тяготения в данной форме применим при любых расстояниях между телами. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.

      Силы  всемирного тяготения называют гравитационными силами, а коэффициент пропорциональности G в законе всемирного тяготения называют гравитационной постоянной.

      Цель данной работы является рассмотреть астрономическую вселенную и закон всемирного тяготения.

      Исходя  из цели, поставлены следующие задачи:

      - рассмотреть понятия масса инертная и гравитационная, принцип эквивалентности;

      - рассмотреть движение планет и законы Кеплера;

      - рассмотреть закон всемирного  тяготения;

      - рассмотреть гравитационное поле Земли.

      Работа  состоит из введения, четырех параграфов, заключения, списка литературы.

      В работе были использованы учебные издания, пособия и другие источники.

      1. Масса инертная и гравитационная. Принцип эквивалентности

     Галилей в опытах с использованием наклонной  плоскости открыл явление падения  всех тел на Земле с одинаковым ускорением. Масса т связана с весом тела, но вес зависит от массы того тела, к которому притягивается масса т. Вес не может служить коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением, поэтому ввели понятие инертной массы М, характеризующей «нежелание» тела сдвинуться с места. Масса не зависит от направления движения (это многократно проверялось экспериментально) и с погрешностью до 10^-9 является скалярной величиной. (В отличие от векторной, каждое значение скалярной величины можно выразить одним, действительным, числом, а совокупность значений изобразить на линейной шкале — таковы длина, площадь, время и т.д.)

     Ньютон  связал понятия массы и веса тела. Он предположил, что Луна падает на Землю так же, как камень или  яблоко, но с ускорением во столько  раз меньшим, во сколько квадрат  земного радиуса меньше квадрата расстояния между центрами Земли и Луны. Гипотеза зависимости притяжения между точечными массами от квадрата расстояний возникла из геометрической аналогии. Поскольку Луна находится на расстоянии r от Земли в 60 земных радиусов R, а период ее обращения Т = 27,3 сут = 2,36 • 10⁶ с, Ньютон оценил отношение ускорений Луны W_c и камня g как 1/3600. Так как g = 9,8 м/с², центростремительное ускорение Луны

     т.е. g примерно в 60² раз больше ускорения Луны. Итак, сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко или камень, находящийся на орбите Луны, уменьшится в 3600 раз, что и соответствует отношению квадратов расстояний. Значит, сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. В расчетах принято, что небесные тела взаимодействуют так, как будто вся их масса сосредоточена в центре масс. Доказать это строго Ньютон сумел лишь через 20 лет с помощью созданного им интегрального исчисления.

     Ньютон  записал уравнение движения под  действием силы тяжести и проверил решение в виде эллиптичных траекторий для большого класса начальных условий и не очень больших скоростей. Так он подтвердил предложенную Р. Гуком гипотезу обратно пропорциональной зависимости силы тяготения от квадрата расстояний. На камень внутри Земли внешние слои не действуют или поле внутри однородной сферы равно нулю, поэтому однородный шар (или шаровой слой) притягивает точки внешней области так же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре шара. Если же интересоваться силой, которая действует внутри Земли или другого тела с распределенной массой, то зависимость от расстояния будет иной.

     Ньютон  провел серию опытов с маятниками разной массы для повторения опытов X. Рена и Э. Мариотта по удару и убедился, что свинцовый и деревянный шары падают с одинаковыми ускорениями. Земля одинаково действует на оба шара. Но если действие измерять не ускорением, а силой, удерживающей шары в равновесии на весах, то ее влияние на свинцовый шар будет больше, чем на деревянный. Такое влияние Земли на каждое тело можно выражать тяжестью, измеренной на весах, путем сравнения с тяжестью тела, принятой за единицу. И он ввел понятие силы F = MW как меры действия одного тела на другое, отождествляя вес с силой действия, оказываемого на него Землей. Далее Ньютон указал, что, если бы вокруг Земли вращалось несколько лун, то все они двигались бы под действием аналогичной силы и их движение определялось бы законами Кеплера. Затем Ньютон перешел к изучению других планет и планетных систем (это определение он ввел после открытия спутников у Юпитера и Сатурна), считая, что силы тяготения должны иметь одну природу и у поверхности Земли, и в космосе. Признание материального единства мира - результат коперниканской революции. Если нет различия между земным и небесным и законы едины для всей Вселенной, то их можно изучать и на Земле. Квадрат расстояния в знаменателе отражает евклидову метрику пространства. То есть в трехмерном пространстве поверхность сферы пропорциональна квадрату радиуса.

     По  Копернику, пространство однородно и изотропно, в нем нет выделенных направлений и точек. В пространстве - евклидова геометрия, и физическим действием обладают только те точки, в которых сосредоточена материя. Поэтому на Земле тела падают в направлении не геометрического центра мира (у него - это центр Солнца), а материального центра Земли. Это утверждение справедливо и для других небесных тел - в этом коперниканский принцип универсальной гравитации как функции массы тел.

     Инертная  масса определена динамически: прикладывается известная сила, измеряется ускорение и из формулы F = MW выводится масса М. В законе тяготения гравитационную массу определяют статически: измеряют силу взаимодействия между двумя телами, расположенными на определенном расстоянии. У Ньютона масса — единственная причина гравитационного взаимодействия. Галилей пришел к выводу о пропорциональности гравитационной т и инертной М масс, будто бы сбрасывая тела с высоты.

     Ньютон  не объяснил причину этой пропорциональности; она следует из опытов Галилея: все  тела на Земле падают с одинаковым ускорением. Тот факт, что никогда не было обнаружено различия инертной и гравитационной масс, наводит на мысль, что тяготение может быть эквивалентно ускорению. Эйнштейн истолковал этот эффект как истинную природу тяготения и положил его в основу ОТО, возведя равенство масс в принцип эквивалентности. В соответствии с ним, для наблюдателя в свободно падающем лифте законы физики такие же, как и в инерциальных системах отсчета СТО — действия ускоренного движения и силы тяжести полностью взаимно уничтожаются. «Невесомость» человека в спутнике — проявление принципа эквивалентности. А поиски следствий из этого принципа приводят к ОТО. Если тело выделяет энергию Е в форме излучения, то его масса уменьшается на Е/с². Масса отражает то, что сохраняется при превращении тел из одного агрегатного состояния в другое.

2. Движения  планет и законы Кеплера

     Вокруг  Солнца вращаются девять крупных  планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон. Последние  три планеты не видны невооруженным глазом, и они были открыты недавно — в 1783, 1846 и 1930 гг. соответственно. Недавно была открыта десятая планета Седна, которую причислили к большим планетам, хотя по своим характеристикам она больше подходит к астероидам полосы Эдгеворта—Купера (от 30 до 100 а. е. от Солнца). И. Кеплер, великий немецкий астроном и математик, открыл три закона движения планет. Первые два были получены на основе исследования движения Марса по наблюдениям Тихо Браге и опубликованы в 1609 г.

     Кеплер  установил, что орбита Марса не окружность, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Такая же закономерность оказалась и для движения других планет. Это и есть первый закон Кеплера (рис. 3.1, а). Большая полуось АВ эллипса равна полусумме (PF + PS) расстояний от любой точки эллипса до его фокусов F и S. Эксцентриситет эллипса равен отношению OS/OB. Наиболее вытянутые орбиты у комет. Эллиптичность наиболее заметна у Меркурия (его эксцентриситет е = 0,21) и Плутона (е = 0,25). Для Земли е = 0,017, т.е. орбита Земли почти окружность (149,6 млн км): в январе она на 2,5 млн км ближе к Солнцу, а в июле на то же расстояние дальше.

     Второй  закон Кеплера: каждая планета движется по своей орбите так, что ее радиус-вектор SP описывает за равные промежутки времени равные площади (рис. 3.1, б). Пары точек Р₁ Р₂ и Р₃, Р₄ выбраны так, что отрезки дуг планета проходит за одинаковое время.

     Это значит, что чем ближе планета  к Солнцу, тем больше скорость движения по орбите. Так, Марс вблизи перигелия  движется

     со  скоростью 26,5 км/с, а вблизи афелия — 22 км/с. Скорости комет меняются от 500 до 1 км/с. Земля движется со скоростью 29 км/с, причем в январе несколько быстрее.

     Третий  закон движения планет Кеплера (1618) гласит: отношение кубов больших  полуосей орбит двух планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца. Этот закон позволил оценить размеры Солнечной системы. Для круговых орбит это означало, что

     Ньютон  при формулировке закона всемирного тяготения использовал эти законы. Он сумел показать, что они выполняются только в случае, если силы, действующие между тяготеющими телами, пропорциональны закону обратных квадратов, а массы сосредоточены в центре масс. Ньютон математически доказал, что тело массы т будет двигаться относительно тела М по одной из кривых — эллипсу, параболе или гиперболе. Эти кривые можно получить, пересекая конус плоскостями под разными углами. Поэтому их называют коническими сечениями. Так что Ньютон обобщил I закон Кеплера.

     Третий  закон Кеплера соответствовал его представлениям о гармонии и физической причинности, выражая связь между мгновенными значениями меняющихся величин. Так в XVII в. фактически был сделан первый шаг к математическому анализу. Кеплер понимал, что открытые им численные закономерности могут стать основой новой небесной механики, но не знал причины именно такого движения планет. Он считал очевидным, что сила, действующая на планеты, должна меняться с расстоянием по закону обратных квадратов, и исходил из внешней аналогии со светом, интенсивность которого меняется как 1/r². Законы Кеплера подходят и для окружностей, поскольку орбиты планет вытянуты очень мало.

     Вращение  — одно из основных видов движения в поле тяготения, и ему также соответствует определенная энергия. При равномерном движении по окружности скорость v равна длине окружности деленной на период Т, т.е. на время одного оборота. Отсюда для кинетической энергии получим

     Гравитация  — источник центростремительной силы для небесных тел. Приравнивая эти две силы, можно получить важные соотношения между периодом Т и радиусом вращения r планеты или спутника: Разделив обе части на -m,

     получим: Перенесем зависимость от г в левую

     часть: и избавимся от дробей: Отсю-

     да: Так мы пришли к третьему закону Кеплера

     для движения планет: — кубы радиусов (или больших по-

     луосей) орбит относятся как квадраты периодов.

     Итак, закон тяготения Ньютона связан с законами Кеплера, полученными из наблюдений за движением планет Солнечной системы. Закон тяготения Ньютона и законы Кеплера пригодны для движений под действием тяготения в задаче двух тел, где одно является центральным, а второе вращается вокруг него по эллипсу или окружности.

     Условием  движения спутника по круговой орбите (1-я космическая скорость) является равенство силы тяготения и центростремительной силы. Это правило входит в законы планетных движений: квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей (радиусов). Условием для отрыва ракеты от Земли и выхода на параболическую (незамкнутую) траекторию (2-я космическая скорость) может служить равенство кинетической и потенциальной энергий гравитации.

     При притяжении тела Землей В 1798 г.

     английский  физик и химик Генри Кавендиш измерил G с помощью точных крутильных весов (притяжение двух тел измерялось по углу закручивания нити, который регистрировался отраженным световым лучом) и получил значение 6,67-10^-11 Н м²/кг². 

      3. Закон всемирного тяготения.

      Дадим вначале определение закону Всемирного тяготения Ньютона и основным величинам в нем применяемым, а в последствии рассмотрим что  именно привело к открытию этого закона, и действительно ли яблоку мы обязану появлению этого величайшего открытия.

      1. Между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними

      F12 = g (m1m2/R2) R12/R

      где F12 - сила тяготения, действующая на точку с массой m1, R12 - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку, обладающую массой m2, R = |R12| - расстояние между точками. Коэффициент g называется гравитационной постоянной (постоянной тяготения). Он численно равен силе взаимного притяжения между двумя материальными точками, которые обладают одинаковыми массами, равными единице массы, и находятся друг от друга на расстоянии, равном единице длины. Гравитационная постоянная определяется опытным путем. Ее численное значение зависит только от выбора системы единиц измерения:

      g = 6.67*10-11 Н*м2/кг2 = g = 6.67*10-8 дин*см2/г2 

      По  третьему закону Ньютона сила F21 действующая па материальную точку с массой m2 численно равна силе F12, но направлена в противоположную сторону:

      F12 = - F21

      2. Весом тела называется сила Р, с которой неподвижное относительно Земли тело давит на опору вследствие притяжения его к Земле. Вес тела равен векторной разности силы F тяготения тела к Земле и центростремительной силы Fц обусловливающей участие тела в суточном вращении Земли:

      P = F - FЦ

      причем

      Fц  = mw2 Rcos j,

      где m - масса тела, w - угловая скорость суточного вращения Земли, R - радиус Земли, а j - географическая широта места наблюдения А.

      На  географических полюсах (j  = 90°) FЦ = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что радиус Земли и центростремительная сила зависят от географической широты, вес тел максимален на полюсах и минимален на экваторе. Однако это различие не превышает 0,55%. Поэтому во многих технических задачах можно пренебречь влиянием на вес тела суточного вращения Земли и отличием ее формы от сферической.

      Центром тяжести тела называется точка приложения равнодействующей сил веса всех частиц этого тела. Центр тяжести тела совпадает с его центром инерции.

      3. Свободным падением называется движение тела под действием единственной силы, равной его весу. Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и так же, как их вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g, принятое для барометрических расчетов и при построении систем единиц, равно 9.80665 м/сек2.

      Закон всемирного тяготения был открыт англичанином И. Ньютоном в 1666г. Закон звучит следующим образом: сила гравитационного притяжения двух материальных точек прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

      Закон справедлив и для протяженных  тел со сферически-симметричным распределением массы, при этом r - расстояние между  центрами симметрии тел. Для несферических  тел закон соблюдается приближенно, причем тем точнее, чем больше расстояние между телами (между их центрами масс) по отношению к размерам тел.

      Все это нам хорошо известно, и кажется  без математических выкладок добавить больше нечего нужно. Но это не так. В Астрономии, например, очень важно  проследить некоторые явления и  сделать определенные выводы и следствия из этого закона.

      Согласно  формуле F = G*m1*m2/r2

      где r - расстояние между телами, а G - гравитационная постоянная, сила притяжения пропорциональна  массам и обратно пропорциональна  квадрату расстояния. Но масса пропорциональна  кубу линейного размера тела. Это означает, что если размеры тел и расстояния между ними (при сохранении их плотностей) пропорционально увеличить, например, в 10 раз, то их массы возрастут в 1000 раз, а квадрат расстояния - только в 100, поэтому сила притяжения увеличится в 10 раз! То есть при увеличении масштаба масса растет на порядок быстрее, чем квадрат расстояния! Из-за ничтожного значения гравитационной постоянной силы притяжения между отдельными предметами на поверхности Земли крайне малы по сравнению с силой притяжения самой Земли, но уже в межпланетных масштабах (сотни миллионов километров) увеличение масс компенсирует G и гравитация становится главной силой.

      При уменьшении масштабов проявляется  обратный эффект, хоть это уже из биологии. Если, к примеру, уменьшить человека до размеров муравья, т.е. примерно в 100 раз, то его масса уменьшится в 1 000 000 раз. А поскольку сила мышц примерно пропорциональна их поперечному сечению, т.е. квадрату линейного размера, то она уменьшится только в 10 000 раз, т.е. будет 100-кратный выигрыш в силе! Нетрудно догадаться, что фактически насекомые обитают в условиях сильно пониженной по сравнению с более крупными животными гравитации. Поэтому вопрос о том, какой вес смог бы поднять муравей, если бы был размером со слона, просто не имеет смысла. Строение тела насекомых и вообще всех мелких животных оптимально именно для пониженного тяготения, и ноги у муравья просто не выдержат веса тела, не говоря уже о каком-то дополнительном грузе. Так сила тяжести накладывает ограничения на размеры наземных животных, и самые крупные из них (например, динозавры), по-видимому, существенную часть времени проводили в воде.

      Летательные способности в животном мире также  ограничены массой тела. Не только сила мышц, но и площадь крыльев растет пропорционально квадрату линейных размеров, т.е. для при некоторой предельной массе тела полеты становятся невозможными. Эта критическая масса составляет примерно 15-20 кг, что соответствует весу самых тяжелых из земных птиц. Поэтому очень сомнительно, что древние гиганские ящеры действительно могли летать; скорее всего, их крылья позволяли им только планировать с дерева на дерево.

      И замечание не совсем по теме. Достаточно распространено мнение, что занятия  тяжелой атлетикой замедляют  рост спортсменов, поэтому, мол, среди тяжелоатлетов так много низкорослых. На самом деле низкорослость штангистов действительно наблюдается, но только в ограниченных весовых категориях, особенно среди легковесов. В одной книжке по атлетизму приводится даже пояснение, что низкорослые побеждают чаще оттого, что им приходится поднимать штангу на меньшую высоту. На мой взгляд, такой довод совершенно неубедителен. Но предлагается и следующее объяснение. Каждый тип ткани (мышцы, кости, кожа, жировая прослойка и т.д.), из которых состоит тело, составляет определенный процент от его общего веса. И если предположить, что эти пропорции одинаковы для двух человек разного роста, то более низкий человек, естественно, будет весить меньше. Однако если он за счет мышц наберет такую же массу тела, что и высокий, то это будет означать, что абсолютная мышечная масса у него больше (поскольку немышечной ткани у него просто меньше по определению). А больше мышечная масса - больше сечения мышц, и, следовательно, в этих условиях при равной массе тела низкий тяжелоатлет действительно сильнее высокого, поэтому последние просто отсеиваются.

        
Рис. 1 Приливные силы.

      Однако  вернемся к астрономии. Если рассмотреть  действие силы тяготения тела О (условно  изобразим его точкой) на протяженное  тело с центром Q (рис. 1), то можно заметить, что на разные части тела действуют разные силы. Так, самая близкая точка В будет притягиваться сильнее, чем самая далекая А (из-за различия в расстояниях), поэтому вдоль линии QO, соединяющей центры тяжестей обеих тел, тело О будет стремиться растянуть отрезок АВ. На точки С и D, удаленные от линии OQ, сила притяжения будет действовать под углом к линии QO, и эту силу можно разложить на две компоненты: одна направлена параллельно направлению QO, а другая - перпендикулярно к нему - по направлению к центру тела Q. То есть на точки, не лежащие на оси OQ, действует сила, стремящаяся сжать тело в направлении, перпендикулярном направлению на притягивающее тело О. Эти силы растяжения и сжатия называются приливными силами. Их действие на Землю со стороны Луны и Солнца вызывает (как нетрудно догадаться по названию) приливы и отливы.

      Чтобы оценить высоту приливной волны  на Земле, можно произвести вычисления, подобные оценке сжатия Земли. Для простоты забудем о суточном вращении Земли  и предположим, что вся ее несферичность вызвана притяжением Луны. Приравнивая вес каждого элементарного объема, находящегося на расстоянии r от центра Земли на ее радиусе, перпендикулярном направлению на Луну и направленном на Луну, получим:

      m*gп(r) = m*gл(r) - G*m*Mл/b2

      где gп(r) - ускорение свободного падения  на радиусе, перпендикулярном направлению  на Луну, gл(r) - ускорение на радиусе, направленном на Луну, Mл - масса Луны, b - расстояние до Луны, равное разности большой полуоси a орбиты Луны и радиус-вектора r. Зависимость ускорения свободного падения на обеих радиусах одинакова: gп(r) = gл(r) = GM/r2, где М - масса, заключенная внутри радиуса r : M(r) = r*4*p*r3/3, где r - плотность вещества. Если все это подставить в уравнение, сократить на m и G и принтегрировать по всему радиусу Земли, то получится:

      Rп2 = Rл2 - Mл/2/p/r*(1/a - 1/(a-Rл)). Если подставить сюда значения радиуса Земли, массы и большой полуоси Луны, получится Rл - Rп ~ 7.3 м, что намного больше высоты реальной приливной волны, однако можно предположить, что в действительности из-за вращения твердая оболочка Земли не успевает изменять свою форму, и реально приливную волну образуют в основном водная и воздушная оболочка, а полная амплитуда колебания твердой коры не превышает одного метра.

      Для планет приливные силы ограничивают минимальное расстояние, на которое к ним может приблизиться достаточно крупное тело, например, спутник. Очень эффектно это проявились при недавнем падении кометы Шумейкеров-Леви на Юпитер, когда ядро кометы разорвало на множество частей, падение которых вызвало столько откликов в научном мире. Минимальный радиус круговой орбиты, на которой спутник не разрушается под действием приливных сил центрального тела, называется пределом Роша. Если масса спутника намного меньше массы планеты, то зависимость предела Роша aR от радиуса планеты R, плотностей спутника rs и планеты rp выглядит следующим образом:

      aR = 2.46*(rs/rp)1/3*R (5)

      Внутри  сферы с радиусом aR невозможна также  гравитационная конденсация вещества с образованием единого тела. Такова, вероятно, причина образования колец планет-гигантов.

      Теперь  обратимся к истории, и рассмотрим события тех далеких времен на заре науки. Закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном в 1682 г. Еще в 1665 г. 23-х летний И. Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс. У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара. В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.