Золотое сечение. 13

 

Реферат              на тему : «Золотое сечение»                                                                                                Образовательная область: математика                                          Предмет: геометрия                         Выполнила: ученица 8 класса МОУ гимназия №9                                                                         Вьюшина Вероника                                                  Преподаватель: Зайкова Татьяна Константиновна                                                                                                                                                                   Екатеринбург                                      2002

 

 

 

                                  Содержание.

 

 

Содержание  ……………………………………………………… Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ……………………………………………………………….. История золотого сечения ………………………………… Построение пропорции ……………..………………… Второе золотое сечение…………………………………… "Золотые" фигуры………………………………………….. Числа Фибоначчи…………………………………………… Золотое сечение в искусстве……………………………… Заключение. Практическое применение……………….. Литература………………………………………………………..

2   3-4 5-7 8 9 10-12 13-15 16-17 18 19 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         1.Введение. Пропорция золотого

        сечения. Ф и φ.

                                        "Геометрия обладает двумя великими

                                       сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

                                       второе - деления отрезка в крайнем и среднем

                                                                                                  отношении"

                                                                   Иоганн Кеплер 

 

Правильные  многоугольники привлекали внимание древнегреческих  учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".

 Интерес Дюрера к  построению правильных многоугольников  отражает использование их в  Средние века в арабских и  готических орнаментах, а после  изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей. 

 Средневековые способы  построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам.  Дюрер, конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.

 Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.

 Записанное в виде  равенства отношений золотое  сечение имеет вид 

                                                АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение

                  Ф = 1+1/Ф

То есть Ф удовлетворяет уравнению

                  Ф²- Ф-1=0

Это уравнение имеет один положительный корень

                  Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".

 

Такое обозначение принято  в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                2.История золотого сечения

 

Принято считать, что понятие о золотом делении  ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий  философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор  свое знание золотого деления позаимствовал  у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

 Греки же были искусными  геометрами. Даже арифметике обучали  своих детей при помощи геометрических  фигур. Квадрат Пифагора и диагональ  этого квадрата были основанием  для построения динамических

 

 

прямоугольников.

 

    Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в

 частности, вопросам  золотого деления.

 Парфенон  имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого  деления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В дошедшей до нас  античной литературе золотое деление  впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

 

 В эпоху  Возрождения усиливается интерес  к золотому делению среди ученых  и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.  Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

 

 Леонардо  да Винчи также много внимания  уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

 

 В то же  время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился  Альбрехт Дюрер. Он делает наброски  введения к первому варианту  трактата о пропорциях. Дюрер  пишет: "Необходимо, чтобы тот,  кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

 

 Судя по  одному из писем Дюрера, он  встречался с Лукой Пачоли  во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает  теорию пропорций человеческого  тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

 

 Построение  ряда отрезков золотой пропорции  можно производить как в сторону  увеличения (возрастающий ряд), так  и в сторону уменьшения (нисходящий  ряд).

 

 Если на прямой произвольной  длины, отложить отрезок m(φ), рядом  откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

 

 

 

 

В последующие века правило  золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда  со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

 

                 

 

 

 

 

 

               3. Построение пропорции.

Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.

 

 

 

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Именно эти  отрезки использовал Евклид при  построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

 Звездчатый  пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее  время существует гипотеза, что пентаграмма  – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

 

 

 

                        

 

 

 

                    4.Второе золотое сечение.

Болгарский  журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал  статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция  обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

 

 

 

 

На рисунке  показано положение линии второго  золотого сечения. Она находится  посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнем и среднем отношении можно не единственным способом.

 

 

                    5. "Золотые" фигуры.

 

5.1.Золотой прямоугольник:

 Если построить квадрат  со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.

 Чтобы убедиться в  этом, заметим, что по теореме  Пифагора

                     МС²=а²+(а/2)²=5а²/4

                                                                                          

 В силу  чего

                     АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ

 

Прямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

Можно ли считать, что прямоугольник  с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне  убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?

 

5.2.Золотой треугольник:

Проводим прямую АВ. От точки А

  откладываем на ней три раза отрезок О

 произвольной  величины, через

 полученную  точку Р проводим     перпендикуляр  к линии

 АВ, на перпендикуляре  вправо и влево от точки  Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd₁

откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Она разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad₁ и dd₁ пользуются для построения «золотого»

прямоугольника.

 

 

 

      

       5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для построения пентаграммы  необходимо построить  правильный пятиугольник.

 Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и  Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр  к радиусу ОА, восстановленный  в точке О, пересекается с  окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

 Каждый конец пятиугольной  звезды представляет собой золотой  треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

 Есть и  золотой кубоид- это прямоугольный  параллелепипед с ребрами,   имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

 Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».

Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника

из центра описанной окружности. Начнем с

 отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС - 3a - 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС получаем,

    180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

                   Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

                               CN²      = а² – (а/2j) ²= а² (1-4j ²)

Отсюда имеем (АС/а) ²  = (1+1/2j) ²  + (1-1/4j ²) = 2+1/j = 1 + j =j ²

Итак, АС =  jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать            

5.4.Спираль Архимеда.

 

Последовательно отсекая  от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью  окружности, мы получим довольно изящную  кривую. Первым внимание на неё обратил  древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

 

 

 

 

В настоящее  время спираль Архимеда широко используется в технике.

                       

                              6.Числа Фибоначчи.

 

С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci - сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)

 В 1202г. им была  написана книга "Liber abacci", то есть "Книга об абаке" . "Liber abacci" представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами.

 Сообщаемый в книге  материал поясняется на большом  числе задач, составляющих значительную  часть этого трактата.

 Рассмотрим одну такую  задачу:

    "Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что  через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения"

 

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пары кроликов	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

 

                                                

 

 

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность:

 

                                            u₁, u₂ … u_n

 

в которой каждый член равен  сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2

 

                                             u_n=u_n-1+u_n-2.

 

 Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи  разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального  значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

 

Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около  иррационального числа Ф могут стать

более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

 

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

 

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

 

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

 

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

 

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

 

По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи  каждый новый член будет делить следующий  со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.

 

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

 

Пpи делении любого члена  последовательности Фибоначчи на следующий  за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1 : 1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношения также не должно быть конца.

 

При делении каждого числа  на следующее за ним через одно, получаем число 0.382

 

1:0.382=2.618

 

Подбирая таким образом  соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянем также 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

 

Тут необходимо отметить, что  Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа  Фибоначчи играют роль во всем, что  имеет отношение к правильным пятиугольникам - выпуклым и звездчатым.

 Ряд Фибоначчи  мог бы остаться только математическим  казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого  деления в растительном и в  животном мире, не говоря уже  об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.  Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого  сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.