💯 Линейная алгебра.ти (все ответы на тест Синергия / МТИ / МосАП, август 2022) (Решение → 16270)

Линейная алгебра / Высшая математика > Линейная алгебра

• ответы на все 83 вопроса из теста по данной дисциплине
• результат 93...100 баллов из 100
• вопросы отсортированы по возрастанию в лексикографическом порядке

Линейная алгебра.ти

1. Учебные материалы

Векторы называются компланарными, если:

Тип ответа: Одиночный выбор

• они лежат в одной плоскости
• они перпендикулярны одной плоскости
• они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

Векторы a и b взаимно перпендикулярны (ортогональны), причем |a| = 5 и |b| = 12. Определите |a + b|

Тип ответа: Одиночный выбор

• 8,5
• 7
• 17
• 13

Векторы AC = a и BD = b служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразите вектор DA через векторы a и b

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) DA = (a − b) / 2
• 2) DA = (a + b) / 2
• 3) DA = −(a + b) / 2

Вычислите (3 12/17 + 4 5/21) - 1 12/17

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 6 5/21
• 2) 6 12/17
• 3) 6 2/3
• 4) 6 1/3

Вычислите выражение ((13 1/4 - 2 5/27 - 10 5/6) ⋅ 230,04 + 46,75) / 0,01

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1000
• 10
• 10000

Вычислите определитель |(-5, 2, 1), (3, 4, 0), (2, -1, 3)|

Тип ответа: Одиночный выбор

• -89
• -53
• 89
• 2

Вычислите определитель |(1, 3, -2), (5, 1, 4), (3, 2, 1)|

Тип ответа: Одиночный выбор

• 56
• 1
• 0
• -42

Вычислите определитель |(5, -1), (2, 4)|

Тип ответа: Одиночный выбор

• 18
• 22
• 3
• 6

Вычислите определитель D = |(1, -2, 3), (3, 5, -1), (4, 1, 2)|

Тип ответа: Одиночный выбор

• -20
• 20
• 10
• -10

Вычислите определитель. |(-5, 2, 1), (3, 4, 0), (2, -1, 3)|

Тип ответа: Одиночный выбор

• -89
• 102
• 89
• -53

Вычислите произведение матриц ((1, 2), (-2, -1)) ⋅ ((3, 0), (-2, 1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((3, 0), (4, −1))
• 2) ((−1, 2), (−4, −1))
• 3) ((3, 0), (−4, −1))
• 4) ((−1, 2), (4, 1))

Вычислите с точностью до десятых (3/5 + 0,425 - 0,005) : 0,1 / (30,5 + 1/3 + 3 1/3)

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,3
• 0,2
• 0,1

Дано: |a| = 8, |b| = 8, (a, ᷍ b) = π/3. Найдите a ⋅ b

Тип ответа: Одиночный выбор

• -20
• 40
• 10
• 32

Дано: |a₁| = 3, |a₂| = 4, (a₁,᷍ a₂) = 2π/3. Вычислите (a₁ + a₂)²

Тип ответа: Одиночный выбор

• 144
• 12
• 11
• 13

Даны векторы a = {1; 2; -1} и b = {2; -1; 3}. Найдите npab — проекцию вектора b на ось вектора a

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) √(2/3)
• 2) √(3/2)
• 3) −√(2/3)
• 4) −√(3/2)

Даны вершины треугольника ABC: A(3;-1), B(4;2) и C(-2;0). Укажите уравнения его сторон

Тип ответа: Одиночный выбор

• x-y+10=0, 3x-3y+2=0, x+5y+2=0
• 3x-y=0, x+3y-6=0, x-5y+3=0
• 3x-y-10=0, x-3y+2=0, x+5y+2=0

Даны прямые (x + 2) / 2 = y / -3 = (z - 1) / 4 и (x - 3) / α = (y - 1) / 4 = (z - 7) / 2. При каком значении α они перпендикулярны?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) α = 2
• 2) α = 4
• 3) α = 1
• 4) α = −2

Даны прямые. При каком значении α они перпендикулярны? (x + 2) / 2 = y / -3 = (z - 1) / 4 и (x - 3) / α = (y - 1) / 4 = (z - 7) / 2

Тип ответа: Одиночный выбор

• α = - 2
• α = 1
• α = 4
• α=2

Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислите проекцию вектора a = {1; -3; 1} на вектор MN

Тип ответа: Одиночный выбор

• 4
• 25
• 75
• 3

Какая из перечисленных дробей является смешанной периодической дробью?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2,75(12)
• 3,14
• 8,(11)
• 7,(3)

Какие векторы называются коллинеарными?

Тип ответа: Одиночный выбор

• только лежащие на перпендикулярных прямых
• только лежащие на одной прямой
• лежащие на одной прямой или на параллельных прямых

Какие числа называются целыми?

Тип ответа: Одиночный выбор

• только положительные числа
• только натуральные числа и числа, противоположные натуральным
• натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0
• только числа, оканчивающиеся на 0

Какое из перечисленных чисел является иррациональным?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 3,141592 …
• 2) 5,4(15)
• 3) 4,99
• 4) 1/2

Какой из перечисленных векторов коллинеарен вектору AB = (4; -8)

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) MK = (2/3; −3/2)
• 2) LN = (3/2; −2/3)
• 3) EF = (3/2; −3/4)
• 4) CD = (2/3; −4/3)

Матричное уравнение A•X=B имеет решение:

Тип ответа: Одиночный выбор

• X = A-1B
• X = B A-1
• X = A B
• X = A · B
• X = B · A

Матрица называется невырожденной, если:

Тип ответа: Одиночный выбор

• ее определитель равен нулю
• ее определитель равен единице
• ее определитель не равен нулю
• ее определитель равен положительному числу

Матрица A -1 является обратной матрицей к матрице A , если:

Тип ответа: Одиночный выбор

• только A -1• A = E
• A -1• A = A • A -1= E
• только A• A -1= E
• A -1• A = A • A -1= 1

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений предполагает использование:

Тип ответа: Одиночный выбор

• алгебраического сложения
• определителей системы
• формул для вычисления неизвестных
• последовательного исключения неизвестных

Найдите А В-А С , где A = ((2, -3), (0, 1)); B = ((1, 3), (0, 4)); C = ((2, 3), (0, 5))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((4, −2), (−3, 1))
• 2) ((4, 2), (3, −1))
• 3) ((4, 2), (3, 1))
• 4) ((−2, 3), (0, −1))

Найдите А·В, где A = ((5, 0, 2, 3), (4, 1, 5, 3), (3, 1, -1, 2); B = ((6), (-2), (7), (4))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((56), (69), (27))
• 2) ((56), (66), (17))
• 3) ((56), (49), (17))
• 4) ((56), (69), (17))

Найдите А×В, где A = ((5, 0, 2, 3), (4, 1, 5, 3), (3, 1, -1, 2)); B = ((6), (-2), (7), (4))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((56), (69), (17))
• 2) ((56), (49), (17))
• 3) ((56), (66), (17))
• 4) ((56), (69), (27))

Найдите АВ-АС, где

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((−2, 3), (0, −1))
• 2) ((4, 2), (3, 1))
• 3) ((4, 2), (3, −1))
• 4) ((4, −2), (−3, 1))

Найдите значение выражения -3 ⋅ (2/3)² - 0,5²

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 1 11/12
• 2) −1 5/12
• 3) −1 2/9
• 4) −1 7/12

Найдите значение выражения при a=2 ((a + 1)² / (a² - 1) - 1) ⋅ (1 - a / (a + 1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 2
• 2) 1
• 3) 1/3
• 4) 2/3

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-y-3=0 и 4x+3y-11=0

Тип ответа: Одиночный выбор

• (1; 3)
• (1; 2)
• (2; 2)
• (2;1)

Найдите координаты точки K пересечения прямой (x - 1) / 2 = (y - 2) / 3 = (x - 3) / 4 с плоскостью 2x + 5y - 3z = 0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) K(1/7; 5/7; 9/7)
• 2) K(2/7; 5/7; 9/7)
• 3) K(1/7; 5/7; 3/7)
• 4) K(1/7; 2/7; 9/7)

Найдите обратную матрицу для матрицы A = ((2, 2, 3), (1, -1, 0), -1, 2, 1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) A⁻¹ = ((1, -2, 7), (0, 1, -2), (0, 0, 1))
• 2) A⁻¹ = ((1, -4, -3), (1, -5, -3), (-1, 6, 4))
• 3) A⁻¹ = ((-3, 1, -4), (-3, 1, -5), (4, -1, 4))
• 4) A⁻¹ = ((1, 4, 3), (1, -5, 3), (1, 6, -4))

Найдите общее решение системы {9x₁ - 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ = 4; 6x₁ - 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 5; 3x₁ - x₂ + 3x₃ + 14x₄ = -8

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) {x₁ = c; x₂ = 11 + c; x₃ = −7; x₄ = 0
• 2) {x₁ = c; x₂ = 13 + c; x₃ = −7; x₄ = 1
• 3) {x₁ = 1 − c; x₂ = 13 + c; x₃ = −7; x₄ = 0
• 4) {x₁ = c; x₂ = 3c − 13; x₃ = −7; x₄ = 0

Найдите острый угол между прямыми (x - 1) / 1 = (y + 2) / -1 = z / √2 и (x + 2) / 1 = (y - 3) / 1 = (z + 5) / √2

Тип ответа: Одиночный выбор

• 60°
• 30°
• 90°
• 45°

Найдите ранг матрицы. ((0, 1, 0,1 4, 3, 1), (0, 1, 3, 2, 2, 1), (2, 1, 0, 0, 1, 1), (-1, 2, -1, -1, -1, -1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1
• 2
• 3
• 4

Найдите решение системы {2x - 4y + 3z = 1; x - 2y + 4z = 3; 3x - y + 5z = 2

Тип ответа: Одиночный выбор

• {(-1;0;-1)}
• {(1;0;-1)}
• {(1;0;1)}
• {(-1;0;1)}

Найдите угол между векторами a=2m+4n и b=m-n, где m и n –единичные векторы и угол между m и n равен 120°

Тип ответа: Одиночный выбор

• 90
• 180
• 100
• 120

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M1(3;2), M2(4;-1)

Тип ответа: Одиночный выбор

• x+y-12=0
• 3x+2y-11=0
• 3x+y-11=0
• 3x-y+11=0

Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x+3y-8=0 и x-4y+5=0 и через точку M1(-2; 3)

Тип ответа: Одиночный выбор

• 5x+13y-29=0
• 5x+3y-29=0
• 5x+13y-9=0
• 3x+8y-18=0

Найдите λ, если a = (4; -3), |λa| = 15

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 2 1/7
• 2) 3 или −3
• 3) 3
• 4) 2 1/7 или −2 1/7

Найдите λ, если b = (-6; 8), |λb| = 25

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 1 11/14 или -1 11/14
• 2) 1 11/14
• 3) 2,5 или -2,5
• 4) 2,5

Напишите каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ox , если даны a=6 и b=2

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² / 36 + y² / 4 = 1
• 2) x² / 6 − y² / 2 = 1
• 3) x² / 36 − y² / 4 = 1

Определите полуоси гиперболы 25x^2-16y^2=1

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) a = 1/5; b = 1/2
• 2) a = 1/5; b = 1/3
• 3) a = 1/3; b = 1/4
• 4) a = 1/5; b = 1/4

Определите полуоси гиперболы x^2/16 - y^2 = 1

Тип ответа: Одиночный выбор

• a=4, b=6
• a=4, b=1
• a=3, b=8
• a=6, b=1

Определите уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости

Тип ответа: Одиночный выбор

• x-y+3z-11=0
• -x+y+3z-11=0
• x-y-3z+11=0
• x-y+11z-3=0
• y' = 2

Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b=2 и составляющей с осью Ox угол j=45°

Тип ответа: Одиночный выбор

• y=2x-2
• y=2x+2
• y=x-2
• y=x+2

Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b=2 и составляющей с осью Ox угол φ=45°

Тип ответа: Одиночный выбор

• y = x + 2
• y = x – 2
• y = 2x + 2
• y = 2x – 2

Определите эксцентриситет равносторонней гиперболы

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ε = 2√3
• 2) ε = 2√2
• 3) ε = √3
• 4) ε = √2

Определитель системы трех линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными равен 5. Это означает, что:

Тип ответа: Одиночный выбор

• система имеет нулевое решение
• система имеет множество решений
• система не имеет решения
• система имеет единственное решение

При каком значении l векторы MP и KD коллинеарны, если M(-3; 2), P(-1; -2), K(2; 1), D(5; l)?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) -3 5/6
• 2) -4
• 3) -4,5
• 4) -5

При каком положительном значении параметра t прямые, заданные уравнениями 3tx-8y+1=0 и (1+t)x-2ty=0, параллельны?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2
• 3
• 2/3
• 3/2

Раскройте определитель |(a, b), (b, a)|

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) (a + b)²
• 2) (a - b)²
• 3) a² + b²
• 4) (a − b)(a + b)

Решите матричное равнение A X+A X A=B , где A = ((1, 2), (0, 3)); B = ((4, 8), (6, 6))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((0, 1), (1, 1))
• 2) ((0, −1), (1, 0))
• 3) ((0, 1), (−1, 0))
• 4) ((0, 1), (1, 0))

Решите систему уравнений методом Крамера {2x - 4y + 3z = 1; x - 2y + 4z = 3; 3x - y + 5z = 2

Тип ответа: Одиночный выбор

• {(-1;0;1)}
• {(1;0;1)}
• {(1;0;-1)}
• {(-1;0;-1)}

С помощью метода Крамера (определителей) можно найти решение:

Тип ответа: Одиночный выбор

• любой системы линейных алгебраических уравнений
• системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей
• системы линейных алгебраических уравнений с вырожденной матрицей
• системы однородных уравнений

Система линейных уравнений называется определенной, если:

Тип ответа: Одиночный выбор

• она имеет хотя бы одно решение
• она имеет ровно два решения
• она имеет единственное решение
• она имеет бесконечное множество решений

Система линейных уравнений называется совместной, если:

Тип ответа: Одиночный выбор

• она имеет только нулевое решение
• она не имеет решений
• она имеет только одно решение
• она имеет хотя бы одно решение

Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси a=5 и b=4

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² / 15 − y² / 8 = 1
• 2) x² / 5 + y² / 2 = 1
• 3) x² / 25 + y² / 16 = 1

Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству -8;4?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 12
• 10
• 13
• 11
• 9

Составьте уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые (x - 2) / 3 = (y + 1) / 2 = (z - 3) / -2 и (x - 1) / 3 = (y - 2) / 2 = (z + 3) / -2

Тип ответа: Одиночный выбор

• 6x – 20y – 11z + 1 = 0
• 6x + 20y – 11z + 1 = 0
• 6x – 20y – 11z = 0
• x – 20y – 10z + 1 = 0

Укажите канонические уравнения прямой {x + 3y - 5z - 7 = 0; 2x - 3y + 3z + 4 = 0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) (x − 1) / −6 = (y − 2) / −13 = z / −9
• 2) (x − 1) / 24 = (y − 2) / 7 = z / 3
• 3) (x + 1) / −6 = (y + 2) / −13 = z / −9
• 4) (x − 1) / −6 = (y − 2) / 13 = z / −9

Укажите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M1(3; 2; 5) и M2(-1; 3; -2)

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) (x - 3) / 4 = (y - 2) / 1 = (z - 5) / 7
• 2) (x - 3) / -4 = (y - 2) / 1 = (z - 5) / -7
• 3) (x + 1) / 2 = (y - 3) / 1 = (z + 2) / 3
• 4) (x - 3) / 2 = (y - 2) / 1 = (z - 5) / 3

Укажите каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 8, а малая полуось b=3

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² / 9 + y² / 25 = 1
• 2) x² / 5 + y² / 3 = 1
• 3) x² / 25 − y² / 9 = 1
• 4) x² / 25 + y² / 9 = 1

Укажите натуральный ряд чисел:

Тип ответа: Одиночный выбор

• -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9
• ...,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
• 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...

Укажите натуральный ряд чисел

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
• …,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
• -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9

Укажите уравнение окружности радиуса R=8 с центром в точке C(2;-5)

Тип ответа: Одиночный выбор

• (x-2)^2+(y+5)^2=8^2
• (x+2^)2-(y+5)^2=8^2
• (x+2)^2+(y-5)^2=8^2
• (x-2)^2-(y+5)^2=8^2

Укажите уравнение окружности, для которой точки А(3;2) и В(-1;6) являются концами одного из диаметров

Тип ответа: Одиночный выбор

• (x-1)^2-(y+4)^2=8
• (x-1)^2+(y-4)^2=8
• (x-1)^2-(y+4)^2 =64
• (x-1)^2+(y-4)^2=16

Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(2;6) и ее центр совпадает с точкой C(-1;2)

Тип ответа: Одиночный выбор

• (x+1)^2+(y-2)^2=25
• (x-1)^2-(y+2)^2=5
• (x-1)^2-(y+2)^2=25
• (x+1)^2+(y-2)^2=36

Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(3;1), а ее центр лежит на прямой 3x-y-2=0

Тип ответа: Одиночный выбор

• (x-2)^2+(y-4)^2=16
• (x-2)^2-(y+4)^2=5
• (x-2)^2-(y+4)^2=10
• (x-2)^2+(y-4)^2=10

Укажите уравнение окружности, проходящей через точку(4;5), с центром в точке(1;-3)

Тип ответа: Одиночный выбор

• (x-4)^2+(y-5)^2=49
• (x-1)^2+(y+3)^2=7
• (x-1)^2+(y-3)^2=49
• (x-1)^2+(y+3)^2=73

Укажите уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, а прямая 3x-4y+20=0 является касательной к окружности

Тип ответа: Одиночный выбор

• x^2+y^2=16
• x^2 +y^2 =8
• x^2+y^2=9
• x^2-y^2=16

Укажите уравнение параболы с вершиной в точке O и фокусом F(4;0)

Тип ответа: Одиночный выбор

• y^2=16x
• x^2=16y
• y^2=8x
• y^2=4x

Упростите выражение 5 / (1 + 4/x) ⋅ ((x - 4) / (x² + 4x) - 16 / (16 - x²))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 5 / (x + 4)
• 2) 4x / (x + 4)
• 3) 4x / (x - 4)
• 4) 5 / (x - 4)

Упростите иррациональное выражение √(-22)^2

Тип ответа: Одиночный выбор

• 22
• -22
• √22
• -√22

Уравнение 3x – 4y + 12 = 0 преобразуйте к уравнению в отрезках

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x/−4 + y/3 = 1
• 2) x/4 + y/3 = 1
• 3) x/−4 − y/3 = 1
• 4) x/4 − y/3 = 1

Установите взаимное расположение прямых (x - 2) / 4 = (y + 1) / -3 = (z - 1) / -2 и (x - 7) / 5 = (y - 1) / 6 = (z - 3) / 1

Тип ответа: Одиночный выбор

• прямые перпендикулярны
• прямые параллельны
• прямые скрещиваются
• прямые пересекаются, но не перпендикулярны

Чему равен определитель матрицы системы? {2x - 4y = 1; 3x + 5y = -2

Тип ответа: Одиночный выбор

• -2
• -3
• 22
• -7

Что называется скалярным произведением двух векторов?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) число, определяемое по формуле a ⋅ b = |a| ⋅ |b|
• 2) число, определяемое по формуле a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ sinφ
• 3) число, определяемое по формуле a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ cosφ