Имеются данные по 10 предприятиям: № Производительность труда, млн. руб. на 1 рабочего Энерговооруженность квт час на 1 рабочего Доля рабочих ручного труда в общей численности рабочих 1 9,8 4,8 40 2 6,7 2,6 59 3 12,4 7,0 38 4 6,9 3,8 57 5 11,8 5,5 31 6 7,3 3,0 56 7 8,4 3,4 45 8 10,7 5,2 35 9 11,1 5,4 32 10 7,3 2,9 54 (Решение → 41231)

Заказ №49749

Имеются данные по 10 предприятиям: № Производительность труда, млн. руб. на 1 рабочего Энерговооруженность квт час на 1 рабочего Доля рабочих ручного труда в общей численности рабочих 1 9,8 4,8 40 2 6,7 2,6 59 3 12,4 7,0 38 4 6,9 3,8 57 5 11,8 5,5 31 6 7,3 3,0 56 7 8,4 3,4 45 8 10,7 5,2 35 9 11,1 5,4 32 10 7,3 2,9 54 1.Определите эндогенные и экзогенные переменные задачи. Выдвинете гипотезу о виде связи между зависимой и независимыми переменными, и запишите соответствующую модель. 2.Найдите оценки параметров модели из задания 1, запишите полученное оценочное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров при переменных. Задачу решить в Пакете анализа данных MS Excel. 3.Определите парные коэффициенты корреляции с помощью инструмента Корреляция MS Excel. Между какими показателями коэффициент корреляции наибольший, сделайте выводы. Выясните возможную мультиколлинеарность в модели. 4.Используя найденные парные коэффициенты корреляции, вычислить частные коэффициенты корреляции. Сделайте выводы. 5.Определить коэффициент детерминации, множественный коэффициент корреляции, скорректированный коэффициент детерминации, сделайте выводы. 6.Найдите коэффициенты эластичности по всем переменным. Определите, какой фактор оказывает наибольшее влияние на У. 7.Определить значимость параметров модели. Определите доверительные интервалы для параметров множественной регрессии. 8.Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера. 9.Проверьте выполнение условий Гаусса-Маркова на основе критерия Дарбина-Уотсона. Сделайте выводы. 10. Проверьте выполнение условий Гаусса-Маркова на основе теста Спирмена. Сделайте выводы. 11.Подведите общий итог: можно ли использовать данную модель для прогноза? Если нет, то, как следует изменить модель для ее практического использования?

Решение

1. Определите эндогенные и экзогенные переменные задачи. Выдвинете гипотезу о виде связи между зависимой и независимыми переменными и запишите соответствующую модель. Эндогенные переменные – это зависимые переменные, обозначаются через y, в нашей задаче – производительность труда, млн. руб. на 1 рабочего. Экзогенные переменные – это переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, обозначаются через х. К ним относятся: х1 – энерговооруженность квт час на 1 рабочего, х2 – Доля рабочих ручного труда в общей численности рабочих. 2.Найдем оценки параметров модели, уравнение множественной регрессии. Решим задачу с помощью Пакета Анализа данных в MS Excel, используя инструмент Регрессия: Для этого, воспользуемся вкладкой Данные, команда Анализ данных, Регрессия. Заполним диалоговое окно: Рис.2.1 Диалоговое окно Регрессия Рис.2.2 Результат выполнения регрессионного анализа Выборочное уравнение множественной регрессии, характеризующее зависимость производительности труда от энерговооруженности и доли рабочих ручного труда в общей численности рабочих имеет вид: 𝑌̂ = 10,005 + 0,821𝑥1 − 0,097𝑥2 Интерпретация параметров модели: параметр 0,821 показывает, при увеличении энерговооруженности (х1) на 1 квт час (при неизменном х2) производительность труда (y) увеличится в среднем на 0,821 млн. руб. на человека, а при увеличении доли рабочих ручного труда в общей численности рабочих (х2) на 1 (при неизменном х1) производительность труда в среднем снизится на 0,097 млн. руб. на человека. Подставим значение х1 и х2 в полученное уравнение регрессии, найдем необходимые суммы для расчета оценок параметров полученного уравнения. Составим промежуточную таблицу: Таблица 2.1 𝑦 𝑥1 𝑥2 𝑦̂ 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 𝑒𝑖 2 = (𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 ) 2 (𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 ) 2 1 9,8 4,8 40 10,0585 -0,2585 0,0668 0,3136 2 6,7 2,6 59 6,4037 0,2963 0,0878 6,4516 3 12,4 7 38 12,0601 0,3399 0,1155 9,9856 4 6,9 3,8 57 7,5839 -0,6839 0,4677 5,4756 5 11,8 5,5 31 11,5087 0,2913 0,0849 6,5536 6 7,3 3 56 7,0240 0,2760 0,0762 3,7636 7 8,4 3,4 45 8,4222 -0,0222 0,0005 0,7056 8 10,7 5,2 35 10,8733 -0,1733 0,0300 2,1316 9 11,1 5,4 32 11,3293 -0,2293 0,0526 3,4596 10 7,3 2,9 54 7,1363 0,1637 0,0268 3,7636 Сумма 92,4 43,6 447 92,4 - 1,0088 42,604 Среднее 9,24 4,36 44,7 4,2604 Несмещенной оценкой дисперсии ошибки модели σ2 является величина, которая находится по формуле: 𝜎̂ 2 = 𝑅𝑆𝑆 𝑛 − 𝑚 где 𝑛 — объем выборки, а 𝑚 — число коэффициентов модели, 𝑅𝑆𝑆 — сумма квадратов остатков (остаточная сумма квадратов). Таким образом, получим: 𝜎̂ 2 = 1,0088 10 − 3 = 0,1441 Стандартная ошибка модели равна: 𝜎̂ = √𝜎 2 = √0,144 = 0,3796 Рассчитанная стандартная ошибка совпадает со стандартной ошибкой, полученной в результате дисперсионного анализа. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии имеют следующие значения: 𝑆𝑎 = 1,566; 𝑆𝑏1 = 0,159; 𝑆𝑏2 = 0,021 3.Определим парные коэффициенты корреляции с помощью инструмента Корреляция MS Excel. Для этого, воспользуемся вкладкой Данные, команда Анализ данных, Корреляция. Заполним диалоговое окно: Рис.2.3 Диалоговое окно Корреляция Таблица 2.2 Матрица парных коэффициентов корреляции Рис.2.4 Результат Корреляции Из таблицы, мы видим, что: 𝑟𝑦𝑥1 = 0,9503; 𝑟𝑦𝑥2 = −0,9416; 𝑟𝑥1𝑥2 = −0,8335 Значения парного коэффициента корреляции свидетельствует об умеренной линейной связи между переменными Y и X1,. Теснота связи между переменными Y и Х2 умеренная и обратная. Таким образом, можно сказать, что оба фактора умеренно влияют на производительность труда, наибольшее влияние оказывает энерговооруженность. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции 𝑟𝑥𝑗𝑥𝑖 > 0,7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность. В нашем случае, оба коэффициента корреляции |𝑟| < 0,7, что говорит об отсутствии мультиколлинеарности факторов. 4.Используя найденные парные коэффициенты корреляции, вычислим частные коэффициенты корреляции. Коэффициенты частной корреляции, они оценивают влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии, определяются по формулам: 𝑟𝑦𝑥1/𝑥2 = 𝑟𝑦𝑥1 − 𝑟𝑦𝑥2 ∙ 𝑟𝑥1𝑥2 √(1 − 𝑟𝑦𝑥2 2 ) ∙ (1 − 𝑟𝑥1𝑥2 2 ) = 0,8895 𝑟𝑦𝑥2/𝑥1 = 𝑟𝑦𝑥2 − 𝑟𝑦𝑥1 ∙ 𝑟𝑥1𝑥2 √(1 − 𝑟𝑦𝑥1 2 ) ∙ (1 − 𝑟𝑥1𝑥2 2 ) = −0,8692 𝑟𝑥1𝑥2/𝑦 = 𝑟𝑥1𝑥2 − 𝑟𝑦𝑥1 ∙ 𝑟𝑦𝑥2 √(1 − 𝑟𝑦𝑥1 2 ) ∙ (1 − 𝑟𝑦𝑥2 2 ) = 0,585 Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции. Наиболее тесно связаны y и x1: 𝑟𝑦𝑥1/𝑥2 = 0,8895, слабее y и x2: 𝑟𝑦𝑥2/𝑥1 = −0,8692 . Межфакторная зависимость меньше, чем парная: |𝑟𝑥1𝑥2/𝑦| = 0,585 < |𝑟𝑥1 𝑥2 | = 0,8335 5.Определим: коэффициент детерминации, множественный коэффициент корреляции, скорректированный коэффициент детерминации. Для нахождения коэффициента детерминации воспользуемся формулой: 𝑅 2 = 1 − 𝑅𝑆𝑆 𝑛 ∙ 𝑆𝑦 2 Таблица 2.3 𝑦 𝑥1 𝑥2 (𝑦𝑖 − 𝑦) 2 (𝑥1𝑖 − 𝑥1 ) 2 (𝑥2𝑖 − 𝑥2 ) 2 1 9,8 4,8 40 0,3136 0,1936 22,09 2 6,7 2,6 59 6,4516 3,0976 204,49 3 12,4 7 38 9,9856 6,9696 44,89 4 6,9 3,8 57 5,4756 0,3136 151,29 5 11,8 5,5 31 6,5536 1,2996 187,69 6 7,3 3 56 3,7636 1,8496 127,69 7 8,4 3,4 45 0,7056 0,9216 0,09 8 10,7 5,2 35 2,1316 0,7056 94,09 9 11,1 5,4 32 3,4596 1,0816 161,29 10 7,3 2,9 54 3,7636 2,1316 86,49 Сумма 92,4 43,6 447 42,604 18,564 1080,1 Среднее 9,24 4,36 44,7 4,2604 1,8564 108,01 𝑆𝑦 2 = 1 𝑛 ∑(𝑦𝑖 − 𝑦) 2 = 4,2604 𝑅 2 = 1 − 𝑅𝑆𝑆 𝑛 ∙ 𝑆𝑦 2 = 1 − 1,0088 10 ∙ 4,2604 = 0,9763 Вывод: Доля дисперсии зависимой переменной , объясненная построенной моделью составляет 97,63%, остальные 2,37% дисперсии объяснить не удалось. Скорректированный коэффициент детерминации вычисляем по формуле: 𝑅 2 корр = 1 − 𝑛 − 1 𝑛 − 𝑚 ∙ (1 − 𝑅 2 ) = 1 − 10 − 1 10 − 3 ∙ (1 − 0,9763) = 0,9696 Для интерпретации скорректированного коэффициента детерминации оценим модель без включения в нее независимой переменной х2, т. е. рассмотрим зависимость производительности труда y от энерговооруженности х1.