Имеются следующие данные об уровне механизации работ Х (%) и производительности труда Y (т/ч) для 14-ти однотипных предприятий. Таблица 1 Данные по предприятиям х 40 38 44 48 49 55 64 62 68 63 69 75 77 84 у 28 32 36 38 39 41 42 45 46 48 49 51 53 56 Задача: (Решение → 8367)

заказ №38669

Имеются следующие данные об уровне механизации работ Х (%) и производительности труда Y (т/ч) для 14-ти однотипных предприятий. Таблица 1 Данные по предприятиям х 40 38 44 48 49 55 64 62 68 63 69 75 77 84 у 28 32 36 38 39 41 42 45 46 48 49 51 53 56 Задача: Определить эмпирический коэффициент корреляции и сделать вывод о наличии и виде зависимости Y от Х. Построить методом наименьших квадратов прямую, изображающую эту зависимость. Вычислить среднее значение затрат (?) для х = 85 и построить для этого значения доверительный интервал с надежностью 95%

Решение:

1. Найдем значение линейного коэффициента корреляции Коэффициент парной корреляции оценивает тесноту и направление линейной связи между переменными. Чем ближе значение коэффициента к единице (по модулю), тем более тесная связь между признаками. x y x y x y x y xy x y r          cov , где  x  y , - средние квадратические отклонения признаков. Для расчета стром вспомогательную таблицу 2. Расчет средний квадратических отклонений: 3758,143-59,714 13,869 2 2 2  x  x  x   1921,857 43,143 7,781 2 2 2  y  y  y    Расчет коэффициента корреляции: 0,969 13,869 7,781 2680,786 59,714 43,143     ryx  Вывод. Коэффициент корреляции показывает, что связь между производительностью труда и уровнем механизации работ очень тесная и прямая. С увеличением уровня механизации работ производительность труда тоже в среднем возрастает. Таблица 2 Вспомогательная таблица расчетов 443 № i x i y 2 i x i i x y 2 i y i y ˆ i  2 i  1 40 28 1600 1120 784 32,43 -4,43 19,61 2 38 32 1444 1216 1024 31,34 0,66 0,43 3 44 36 1936 1584 1296 34,60 1,40 1,95 4 48 38 2304 1824 1444 36,78 1,22 1,50 5 49 39 2401 1911 1521 37,32 1,68 2,82 6 55 41 3025 2255 1681 40,58 0,42 0,18 7 64 42 4096 2688 1764 45,47 -3,47 12,06 8 62 45 3844 2790 2025 44,39 0,61 0,38 9 68 46 4624 3128 2116 47,65 -1,65 2,71 10 63 48 3969 3024 2304 44,93 3,07 9,43 11 69 49 4761 3381 2401 48,19 0,81 0,66 12 75 51 5625 3825 2601 51,45 -0,45 0,20 13 77 53 5929 4081 2809 52,54 0,46 0,21 14 84 56 7056 4704 3136 56,34 -0,34 0,12 Итого 836 604 52614 37531 26906 604,00 0,00 52,26 Среднее 59,714 43,143 3758,143 2680,786 1921,857 2. Определим параметры линейного уравнения регрессии Общий вид линейного уравнения парной регрессии: i a bxi y ˆ   , где i y ˆ - расчетные теоретические значения результативного признака для i-го наблюдения; a и b – оценки параметров линейного уравнения парной регрессии; b – коэффициент регрессии, который показывает на сколько в среднем изменяется значение результативного признака у при увеличении фактора х на единицу измерения; xi – значение факторного признака для i-го наблюдения. Параметры линейного уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Для определения параметров необходимо решить систему линейных уравнений: 444                      n i i i n i i n i i n i i n i i x a x b x y na x b y 1 1 2 1 1 1 Для расчета параметров используем готовые формулы, которые вытекают из этой системы: 0,544 13,869 7,781 0,969 2 2          x y yx r x x xy x y b   a  y bx  43,143 – 0,544×59,714 = 10,688 Получили линейное уравнение парной регрессии: i i y ˆ 10,688 0,544x Вывод. Коэффициент регрессии b показывает, что при увеличении уровня механизации работ на 1% значение производительности труда в среднем увеличивается на 0,544 т/ч. Свободный член а = 10,688 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на результативный признак. Т.е. воздействие прочих факторов увеличивает значение производительности труда. Теоретические (расчетные) значения результативного показателя получаем путем последовательной подстановки i x в уравнение регрессии. Рассчитываем остатки, как разность фактических и расчетных значений: i i i