однородный сплошной цилиндр, имеющий радиус 𝑟 = 0,1 м и массу 𝑚 = 1 кг, может вращаться вокруг оси, совпадающей с его осью симметрии (ось 𝑧). На цилиндр намотана нить, за которую тянут так, что зависимость угла поворота цилиндра от времени имеет вид 𝜑(𝑡) = 𝐵𝑡 5 , где 𝐵 = 1 рад ∙ с −5 . Определить момент времени, когда сила натяжения нити 𝑇 станет равной (Решение → 15460)

Заказ №38688

56. однородный сплошной цилиндр, имеющий радиус 𝑟 = 0,1 м и массу 𝑚 = 1 кг, может вращаться вокруг оси, совпадающей с его осью симметрии (ось 𝑧). На цилиндр намотана нить, за которую тянут так, что зависимость угла поворота цилиндра от времени имеет вид 𝜑(𝑡) = 𝐵𝑡 5 , где 𝐵 = 1 рад ∙ с −5 . Определить момент времени, когда сила натяжения нити 𝑇 станет равной 28 Н, если со стороны оси на вращающийся цилиндр действует постоянный тормозящий момент, величина которого |𝑀тр| = 2 Н ∙ м.

Решение

Дано: 𝑚 = 1 кг; 𝑟 = 0,1 м; 𝜑(𝑡) = 𝐵𝑡 5 ; 𝐵 = 1 рад ∙ с −5 ; |𝑀тр| = 2 Н ∙ м; 𝑇 = 28 Н. 𝜏 =? Определим угловое ускорение цилиндра как функция времени: 𝜀(𝑡) = 𝜑̈(𝑡) = ⅆ ⅆ𝑡 (5𝐵𝑡 4 ) = 20𝐵𝑡 3 . Задача решается с помощью основного уравнения вращательного движения твердого тела. Ось вращения 𝑧 в данном случае совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место равенство 𝐽𝑧𝜀 = ∑𝑀𝑘, где ∑ 𝑀𝑘 − сумма моментов сил, действующих на цилиндр; 𝐽𝑧 − главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси 𝑧). Главный момент инерции цилиндра зависит только от его массы, геометрических размеров и расположения оси вращения. В данном случае, для сплошного цилиндра радиусом 𝑟, когда ось симметрии диска совпадает с осью вращения, момент инерции определяется по формуле