Составить математическую модель задачи, решить задачу графическим и симплекс-методом. Кондитерская фабрика для производства двух видов карамели K1 и K 2 использует три вида основного сырья: сахар, патоку, фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 тонны карамели каждого вида, запасы сырья, а также прибыль от реализации 1 т карамели приведены в таблице. (Решение → 11070)

заказ №38669

Составить математическую модель задачи, решить задачу графическим и симплекс-методом. Кондитерская фабрика для производства двух видов карамели K1 и K 2 использует три вида основного сырья: сахар, патоку, фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 тонны карамели каждого вида, запасы сырья, а также прибыль от реализации 1 т карамели приведены в таблице. Найти оптимальный план производства карамели K1 и K 2 , обеспечивающий максимальную прибыль. 215 Вид сырья Вид карамели Запасы сырья, т. Сахар 0,5 0,8 80 Патока 0,4 0,3 60 Фруктовое пюре 0,1 0,1 12 Прибыль, усл.ден.ед 108 112 Решение. Ведем переменные задачи: пусть x1 - объем выпуска изделия , x2 - объем выпуска изделия . Тогда на выпуск изделия будет израсходовано 0,5x1  0,8x2 кг сырья первого вида, 0,4x1  0,3x2 кг сырья второго вида, 0,1x1 x2 - третьего вида. Суммарная прибыль составит 108x1 +112x2 денежных единиц. Так как нельзя израсходовать сырья больше, чем имеется, то математическая модель задачи будет иметь вид: 1) Система ограничений 2) по смыслу задачи переменные , 3) целевая функция - суммарная прибыль от реализации изделий Поскольку задача содержит две переменные, она допускает графическое решение. Введем систему декартовых координат на плоскости . Каждое из неравенств системы ограничений определяет полуплоскость с границей, задаваемой прямой. Множество решений системы есть пересечение полуплоскостей, представляющее собой выпуклый многоугольник или выпуклую незамкнутую многоугольную область. Выпишем соответствующие уравнения граничных прямых: 216 Проведем на плоскости эти прямые. Направление полуплоскости можно определить по одной точке, принадлежащей ей, например, точке О(0,0). В нашем случае при x1=0 и x2=0 все неравенства обращаются в верные числовые неравенства: 0 80; 0 0; 0 12 . Следовательно, точка О(0,0) принадлежит всем трем полуплоскостям. Покажем эти полуплоскости штриховкой на рисунке 1. Рисунок 1 217 Так как x1 , x2 , то многоугольник решений представляет общую часть полуплоскостей, попавшую в первую координатную четверть. Обозначим его АВCD на рисунке 2. Рисунок 2. Многоугольник решений системы ограничений Рассмотрим целевую функцию задачи . Эту функцию можно изобразить на плоскости в виде сетки параллельных прямых. Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 0: . Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z (х). Начало вектора– точка (0; 0), конец – точка (108; 112). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую 218 до последнего касания обозначенной области. На рисунке 3 эта прямая обозначена пунктирной линией. Прямая Z(X)=const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых и , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: ; ; ; ; ; Откуда найдем максимальное значение целевой функции: Z(X)    Таким образом, для того, чтобы получить максимальную прибыль, равную 13226,6 ден. ед., следует выпускать вида карамели и т. вида карамели К2.

Поскольку система ограничений задачи состоит из неравенств, то задача является задачей линейного программирования в общем виде. Для решения задачи симплекс-методом необходимо привести ее к каноническому виду. Введя дополнительные переменные x3, x4, x5 0 в каждое неравенство системы ограничений, получим основную задачу вида: ; Основная задача является канонической запишем ее в векторной форме Z(x)=CX max при ограничениях и условиях Х , где СХ – скалярное произведение векторов С=(108,112,0,0,0) и Х=( ), векторы ; ; ; В= . Заполним симплекс таблицу 1. Базис В 6 10 0 0 0 Оценочные отношения 0 80 0,5 0,8 1 0 0 0 60 0,4 0,3 0 1 0 0 12 0,1 0,1 0 0 1 Вычислим соответствующие оценки