Квадратичные функции двух аргументов Вариант 4

1. Заданную квадратичную функцию двух аргументов z = z(x, y) запишите в матричном виде (для
квадратичной части используйте симметричную матрицу). Укажите grad z, dz, d²z и матрицу
Гессе (матрицу вторых производных) в точке (0,0). Почему всегда можно использовать именно
симметричную матрицу?
2. Найдите "стационарную" точку функции z, т.е. ту точку P(x₀,y₀), в которой dz = 0 ( grad z = 0 ) и напишите в матричной форме разложение z(x₀ + Δx, y₀ + Δy) по степеням величин Δx, Δy (разложение Тейлора в найденной точке). Укажите grad z, dz, d²z и матрицу Гессе (матрицу вторых производных) в точке (x₀,y₀). Почему после перехода от точки (0,0) к точке (x₀,y₀) матрица Гессе в разложении Тейлора не изменилась? Изменится ли она, если z(x, y) будет функцией другого типа?
3. Напишите характеристическое уравнение для симметричной матрицы A коэффициентов
квадратичной части функции z. Найдите его корни λ₁, λ₂, т.е. собственные числа матрицы A.
4. Укажите канонический вид квадратичной формы. Укажите сигнатуру квадратичной формы.
Вычислите угловые миноры матрицы A. По критерию Сильвестра проверьте правильность
найденной ранее сигнатуры.
5. Для каждого из собственных чисел найдите подпространства собственных векторов (т.е.
базисные векторы этих подпространств). Укажите размерность этих подпространств и кратности
собственных чисел, породивших их. Убедитесь, что они совпадают. Для всякой ли матрицы такое
совпадение обязательно?
Проверьте, что собственные векторы, порожденные разными собственными числами,
ортогональны. Для всякой ли матрицы это обязательно?
6. Если какое-то из собственных чисел кратное (повторяющееся), то задействуйте ортогонализацию
Грама - Шмидта для того, чтобы базис подпространства собственных векторов этого собственного числа был ортогональным.
7. Нормируйте полученные собственные векторы на единицу. Составьте из них матрицу S.
Убедитесь, что она ортогональна. Каков геометрический смысл ее столбцов при замене
переменных?
8. Используйте полученные точку P и матрицу S перехода к новой системе координат UV.
Непосредственным вычислением проверьте, что переход от XY к UV дает канонический вид
функции z. Нарисуйте обе системы координат и изокванты (горизонтали) функции z.
9. Коротким Берг-штрихом укажите направление стока воды (как на географических картах) и
направление grad z из некоторых точек на линиях уровня.
10. Изобразите вид графика функции z = z(x,y) в осях OXYZ (без соблюдения масштаба).
11. Укажите минимальное и максимальное по модулю значения квадратичной части функции z на
единичной окружности x²+y²=1. Укажите число обусловленности симметричной матрицы A коэффициентов квадратичной части функции z. Что значит это число?

7 страниц

Предварительный просмотр