А) Вычислить в точке x=0,1 с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа первую и вторую производные,

А) Вычислить в точке x=0,1 с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа первую и вторую производные, заданные таблицей x 1 1,1 1,2 1,3 y 3 3,531 4,128 4,797 Б) Вычислить в точке x=0,2 с помощью интерполяционных многочленов Ньютона первую и вторую производные функции, заданной таблицей x y 0 1,2833 0,2 2,3606 0,4 3,5969 0,6 2,9577 0,8 3,5472 1 4,2833

А) Приведем форму записи интерполяционного многочлена Лагранжа в общем виде:
Lnx=j=0nf(xj)Lnj(x)
Здесь:
Lnjx=k=1;k≠jnx-xkxj-xk=x-x0…x-xj-1x-xj+1…(x-xn)xj-x0…xj-xj-1xj-xj+1…(xj-xn)
Для многочлена третьей степени получаем:
L3x=fx0x-x1x-x2x-x3x0-x1x0-x2x0-x3+fx1x-x0x-x2x-x3x1-x0x1-x2x1-x3+
+fx2∙x-x0x-x1x-x3x2-x0x2-x1x2-x3+fx3∙x-x0x-x1x-x2x3-x0x3-x1x3-x2
Подставляя наши данные:
L3x=3x-1,1x-1,2x-1,31-1,11-1,21-1,3+3,531x-1x-1,2x-1,31,1-11,1-1,21,1-1,3+
+4,128x-1x-1,1x-1,31,2-11,2-1,11,2-1,3+4,797x-1x-1,1x-1,21,3-11,3-1,11,3-1,2=
=x3+2x
Находим первую и вторую производные:
ddxL3x=3x2+2
d2dx2L3x=6x
И значения производных в точке x=0,1:
ddxL3xx=0,1=3∙0,12+2=2,03
d2dx2L3xx=0,1=6∙0,1=0,6
Б) Форма записи интерполяционного многочлена Ньютона в общем виде:
Pnx=k=0nfx0;x1;…;xkwk(x)
Здесь w0x≡1,wkx=x-x0…x-xk-1, а fx0;x1;…;xk–разделенные разности соответствующего порядка

. Т.е. для многочлена пятой степени имеем:
P5(x)=fx0+fx0;x1x-x0+fx0;x1;x2x-x0x-x1+
+fx0;x1;x2;x3x-x0x-x1x-x2+
+fx0;x1;x2;x3;x4x-x0x-x1x-x2x-x3+
+fx0;x1;x2;x3;x4;x5x-x0x-x1x-x2x-x3x-x4
Разделенные разности первого порядка вычисляем по формуле:
fxi;xi+1=fxi+1-fxixi+1-xi
Разделенные разности -го, старше первого порядка вычисляем по формуле:
fxi;…;xi+k=fxi+1;…;xi+k-fxi;…;xi+k-1xi+k-xi
Вычисляем таблицу разделенных разностей:
x
y
Разделенные разности
1 2 3 4 5
0 1,2833 5,3865 1,9875 -42,3854 133,8203 -242,8385
0,2 2,3606 6,1815 -23,4438 64,67083 -109,0182
0,4 3,5969 -3,196 15,35875 -22,5438
0,6 2,9577 2,9475 1,8325
0,8 3,5472 3,6805
1 4,2833
Тогда интерполяционный многочлен Ньютона:
P5(x)=1,2833+5,3865x+1,9875xx-0,2-42,3854xx-0,2x-0,4+
+133,8203xx-0,2x-0,4x-0,6-242,8385xx-0,2x-0,4x-0,6x-0,8≈
≈1,2833-14,1502x+183,4351x2-542,9437x3+619,4973x4-242,8385x5
Находим первую и вторую производные:
ddxP5x=-14,1502+366,8702x-1628,8311x2+2477,9892x3-1214,1925x4
d2dx2P5x=366,8702-3257,6622x+7433,9676x2-4856,77x3
И значения производных в точке x=0,2:
ddxP5xx=0,2=
=-14,1502+366,8702∙0,2-1628,8311∙0,22+2477,9892∙0,23-1214,1925∙0,24≈
≈11,9518
d2dx2P5xx=0,2=
=366,8702-3257,6622∙0,2+7433,9676∙0,22-4856,77∙0,23≈-26,1577