Автоморфизм A:R5→R5 задан в стандартном базисе пространства R5 матрицей A. Найти ядро и образ

Автоморфизм A:R5→R5 задан в стандартном базисе пространства R5 матрицей A. Найти ядро и образ линейного оператора A, указать их размерности. A=-110-11 2-1120 1-1233 21212 -232-6-4

Найдем сначала ядро оператора A.
По определению ядро линейного оператора A kerA есть множество всех векторов x, которые A переводит в нулевой вектор. Это означает, что kerA состоит из векторов, координаты которыx x1, x2, x3, x4, x5 (в некотором базисе e1,e2,e3,e4,e5) удовлетворяет условию:
Ax=0 → -110-11 2-1120 1-1233 21212 -232-6-4e1e2e3e4e5=00000
То есть, kerA соответствует пространству L решений системы:
-x1+2x2+x3+2x4-2x5=0x1-x2-x3+x4+3x5=0x2+2x3+2x4+2x5=0-x1+2x2+3x3+x4-6x5=0x1+3x3+2x4-4x5=0
Для этого сначала с помощью элементарных преобразования над строками приведем матрицу A к трапецивидной форме и найдем ранг матрицы A.
A~-10000 21000 10200 23-100 -211-50
Так как ненулевых строк 4, то ранг матрицы A равен 4