Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: Fx=0, x∈-∞, -1;a+1πarcsinx, x∈-1, 1;1, x∈1, +∞. Определить

Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: Fx=0, x∈-∞, -1;a+1πarcsinx, x∈-1, 1;1, x∈1, +∞. Определить параметр a, найти выражение для плотности вероятности fx, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 0,5;3. Построить графики Fx и fx.

Функция распределения непрерывной случайной величины должна быть непрерывна в любой точке. Пользуясь этим, определим неизвестный параметр a. Так как в точке x=1 функция распределения также непрерывна, получаем уравнение для нахождения неизвестного параметра
a+1πarcsin1=1
a+1π∙π2=1
a+12=1
a=12
Функция распределения имеет вид
Fx=0, x∈-∞, -1;12+1πarcsinx, x∈-1, 1;1, x∈1, +∞.
Плотность вероятности равна первой производной от функции распределения
fx=F'x=0, x∈-∞, -1;1π1-x2, x∈-1, 1;0, x∈1, +∞.
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞-1x∙0dx+-11x∙1π1-x2dx+1∞x∙0dx=1π-11x1-x2dx=-1π1-x2-11=0
Дисперсия
DX=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞-1x2∙0dx+-11x2∙1π1-x2dx+1∞x2∙0dx-02=1π-11x21-x2dx=u=x2dv=11-x2dxdu=2xdxv=arcsinx=1πx2arcsinx-11--112xarcsinxdx=t=arcsinx, x=sint, dx=costdtx→1, t→π2; x→-1,t→-π2 =1ππ2+π2--π2π22tsintcostdt=1ππ--π2π2tsin2tdt=u=tdv=sin2tdtdu=dtv=-12cos2t=1ππ+12tcos2t-π2π2--π2π212cos2tdt=1ππ-π4-π4-14sin2t-π2π2=1ππ-π2=1-12=12=0,5
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале 0,5;3
P0,5≤X≤3=F3-F0,5=1-12-1πarcsin12=12-1π∙π6=12-16=26=13≈0,3333
Вероятность также можно найти используя плотность распределения
P0,5≤X≤3=0,511π1-x2=1πarcsinx0,51=1ππ2-π6=13≈0,3333